Алгебра, 1 семестр, 2014/15 — различия между версиями

Версия 20:34, 22 сентября 2014

Пусть $X$ - множество всех делителей $2002^{2002}$ . Обозначим НОД чисел за $(a,b)$ , а НОК за $[a,b]$ . Введём отношение эквивалентности: $a\sim b\iff \left({\frac {[a,b]}{(a,b)}},77\right)=1$ . Сколько элементов в фактормножестве $X/\sim$ ?
Найти минимальное отношение эквивалентности $\sim$ , содержащее данное отношение $R$ (т.е. $\sim$ есть транзитивное замыкание $R$ ) и количество элементов в фактормножестве $X/\sim$ .
1. $X=\mathbb {R} _{+}$ (положительные числа); $aRb\iff ab(b+1)>a^{2}+b^{3}$
2. $X=\mathbb {Z}$ ; $aRb\iff (a-3b)\vdots 121$ ( $x\vdots b$ обозначает " $x$ делится на $y$ без остатка")
Найти количество отображений $f:\{1,2,3,\dots ,n\}\to \{1,2,3,\dots ,n\}$ , обладающих указанными свойствами:
1. $f(f(x))=x$ при любом x
2. $f(f(x))=1$ при любом x.

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 # Найти минимальное отношение эквивалентности <math>\sim</math>, содержащее данное отношение <math>R</math> (т.е. <math>\sim</math> есть транзитивное замыкание <math>R</math>) и количество элементов в фактормножестве <math>X/\sim</math>.
 ## <math>X=\mathbb{R}_+</math> (положительные числа); <math>a R b \iff ab(b+1)>a^2+b^3</math>
-## <math>X=\mathbb{Z}</math>; <math>a R b \iff (a-3b) \vdots 121</math>
+## <math>X=\mathbb{Z}</math>; <math>a R b \iff (a-3b) \vdots 121</math> (<math>x \vdots b</math> обозначает "<math>x</math> делится на <math>y</math> без остатка")
 # Найти количество отображений <math>f: \{1, 2, 3, \dots , n\} \to \{1, 2, 3, \dots, n\}</math>, обладающих указанными свойствами:
 ## <math>f(f(x)) = x</math> при любом x
 ## <math>f(f(x)) = 1</math> при любом x.