Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 39: Строка 39:
 
<p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p>
 
<p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p>
 
<p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ.-т такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p>
 
<p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ.-т такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p>
<li><u>Лемма об ортогональном проекторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>U\le V</math>, <math>m=\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math>,<br>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>v\in V</math>; тогда <math>\mathrm{proj}_U(v)^e=(\sigma|_{U\times U})^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_m)\end{smallmatrix}\biggr)</math> и, если <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, то <math>\mathrm{proj}_U(v)=\sum_{j=1}^m\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j</math></i>.
+
<li><u>Лемма об ортогональном проекторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>U\le V</math>, <math>m=\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math>,<br>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>v\in V</math>; тогда <math>\mathrm{proj}_U(v)^e=(\sigma|_{U\times U})^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_m)\end{smallmatrix}\biggr)</math> и, если <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, то <math>\mathrm{proj}_U(v)=\sum_{i=1}^m\frac{\sigma(v,e_i)}{\sigma(e_i,e_i)}\,e_i</math></i>.
<li><u>Лемма об определителе матрицы Грама.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m)</math>; тогда <math>\,\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{m-1}),(v_1,\ldots,v_{m-1})}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)</math>.</i>
+
<li><u>Лемма об определителе матрицы Грама.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m)</math>; тогда <math>\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{m-1}),(v_1,\ldots,v_{m-1})}\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)</math>.</i>
 
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор<br>матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>,<br>а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i>
 
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор<br>матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>,<br>а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i>
 
<li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul>
 
<li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul>
Строка 61: Строка 61:
 
<li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i>
 
<li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i>
 
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расстояние между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проекциях.
 
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расстояние между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проекциях.
<p><u>Теорема о расстояниях и проекциях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,v'\!\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>;<br>(2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|</math>;<br>(4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).</i></p>
+
<p><u>Теорема о расстояниях и проекциях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,v'\!\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>;<br>(2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|</math>;<br>(4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{i=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{i=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это неравенство Бесселя).</i></p>
 
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
 
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
 
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}</math>.
 
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}</math>.
Строка 72: Строка 72:
 
<li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
 
<li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
 
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.
 
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.
<p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}</math>;<br>(2) если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}</math>.</i></p>
+
<p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово простр.-во с ориентацией, <math>n=\dim V</math>, <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}</math>;<br>(2) для любых <math>w_1,\ldots,w_n\in V</math> выполнено <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\cdot\mathrm{vol}(w_1,\ldots,w_n)=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(w_1,\ldots,w_n)}</math>.</i></p>
 
<li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>.
 
<li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>.
<li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.</i>
+
<li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math> и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|\hat v_m\|</math>.</i>
 
<li>Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>).
 
<li>Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>).
 
<li>Векторное произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении.
 
<li>Векторное произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении.
<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>;<br>(3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>;<br>(4) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p></ul>
+
<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пр.-во с ориентацией, <math>n=\dim V\ge1</math>, <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>, а также векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, если и только если <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math>;<br>(2) если <math>q=0</math>, то <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math> и, если <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math>, то <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>;<br>(4) если <math>n=3</math> и <math>q=0</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p></ul>
  
 
<h3>10&nbsp;&nbsp; Алгебры</h3>
 
<h3>10&nbsp;&nbsp; Алгебры</h3>

Версия 20:00, 7 мая 2020

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры

8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

8.1  ¯-Билинейные формы
  • Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
  • Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
  • Матрица Грама формы : . Обобщенная матрица Грама: . Теорема о матрице Грама.

    Теорема о матрице Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено (координаты вычисляются относительно );
    (2) для любых и выполнено .

  • Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
  • Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
  • Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: и .
  • Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
  • Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
8.2  ¯-Квадратичные формы
  • Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
  • ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
  • Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующие факты:
    — симметричная билинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем
    следующие факты: — полуторалинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , и .
  • Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
  • Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
  • Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
  • Топологическая невырожденность ( или , — нормир. пр.-во, ): — биекция.
  • Пример: или , и ; тогда топологич. невырождена (без док.-ва).
  • Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
  • Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , и
    ; тогда , если и только если и форма невырождена.
  • Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополнение: .
  • Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
    (1) , , и ;
    (2) если и форма невырождена, то , а также и ;
    (3) и, если , то форма невырождена;
    (4) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : ).
8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  • Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогональн. коорд. (): .
  • Ортонормированный базис ( или ): — диагональная матрица с на диагонали.
  • Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
    тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор).
  • Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

    Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
    (2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).

    Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
    (1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
    (2) если или , то сущ.-т такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали.

  • Лемма об ортогональном проекторе. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , , ,
    форма невырождена и ; тогда и, если , то
    .
  • Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , , ,
    , форма невырождена и ; тогда .
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
    и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
    матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
    обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено и ,
    а также (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
  • Ортогонал. системы функций: и (), (), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

9   Геометрия в векторных пространствах над или

9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  • Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: и .
  • Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: и .
  • Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть или , — вект. пр.-во над и ; тогда
    (1) если и , то и, если , то форма невырождена и ;
    (2) если , то , если и только если ;
    (3) если и , то , если и только если .
  • Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
    для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если .
  • Индексы инерции формы : и .
  • Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
    (1) (и, значит, число не зависит от );
    (2) (и, значит, число не зависит от );
    (3) .
  • Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — векторные пространства над полем , ,
    и ; тогда , если и только если , и .
  • Сигнатура формы : (или ). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
9.2  Предгильбертовы пространства
  • Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
  • Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
  • Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
  • Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
    (1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
    (2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
    (3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля).
  • Метрика: . Расстояние между подмн.-вами: . Теорема о расстояниях и проекциях.

    Теорема о расстояниях и проекциях. Пусть — предгильбертово пространство и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) если , то для любых выполнено ;
    (3) если , то и для любых выполнено ;
    (4) если , то для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя).

  • Метод наименьших квадратов: замена системы , где , и , на систему .
  • Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
  • Псевдоевклидовопсевдоунитарное пр.-во сигнатуры — кон.-мерн. вект. пр.-во над с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры .
9.3  Ориентация, объем, векторное произведение
  • Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
  • Ориентация пр.-ва — выбор эл.-та мн.-ва . Знак набора векторов: . Теорема о знаке базиса и формах объема.

    Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — векторное простр.-во с ориентацией и ; тогда для любых выполнено
    , а также множество , равное , не зависит от выбора упорядоченного базиса .

  • Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
  • Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.

    Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклидово простр.-во с ориентацией, , и ; тогда
    (1) ;
    (2) для любых выполнено .

  • Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
  • Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
    (1) ;
    (2) если и , то .
  • Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
  • Векторное произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.

    Теорема о векторном произведении. Пусть — псевдоевклидово пр.-во с ориентацией, , и ; тогда
    (1) , а также векторы независимы, если и только если ;
    (2) если , то и, если , то ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) если и , то для любых выполнено и .

10   Алгебры

10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • -Алгебра — вект. пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из .
  • Примеры: , , , , ; -алгебры , , , . Структурн. константы алгебры: .
  • Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Инъект. гомоморфизмы -алгебр: и .

    Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство
    над полем , получающееся из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображ.-е , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм алгебр с .

  • Алгебра с делением: и . Примеры: , ; -алгебры с делением , и алгебра октонионов (октав) .
  • Моноидная алгебра ( — моноид): ; общий вид эл.-та: (); умнож.-е в : свертка.
  • Алгебра многочленов от свободн. (некоммут.) перем.: . Одночлены: . Степень. Однородн. многочлены.
  • Алгебра многочленов от коммутирующих переменных: .
  • Алгебра многочленов от антикоммут. (грассмановых) перем.: .
10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  • -Алгебра Ли — -алгебра, умножение в которой антисимметрично () и удовлетв.-т тождеству Якоби ().
  • Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: . Алгебра : вект. простр.-во с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
  • Примеры: , , трехмерное евклид. пр.-во с ориент. относ.-но , — подалгебра алгебры .
  • Матричные алгебры Ли: , , , , .
  • Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть , , , и ; тогда
    (1) если , то , и, если , то ;
    (2) если , то , а также, если , то , и, если , то .
  • Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы -алгебр Ли: , и .

    Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и -алгебра Ли; обозначим через векторное пространство над полем , получающееся
    из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — гомоморфизм алгебр Ли.

  • Алгебра Ли дифференцирований -алгебры : — подалгебра алгебры .
  • Пример: пусть — открытое множество в и ; тогда — дифференцирование алгебры .