Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 88: | Строка 88: | ||
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умнож.-е в <math>K[M]</math>: свертка. | <li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умнож.-е в <math>K[M]</math>: свертка. | ||
<li>Алгебра многочленов от свободн. (некоммут.) перем.: <math>K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{i_k}</math>. Степень. Однородн. многочлены. | <li>Алгебра многочленов от свободн. (некоммут.) перем.: <math>K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{i_k}</math>. Степень. Однородн. многочлены. | ||
− | <li>Алгебра многочленов от | + | <li>Алгебра многочленов от коммутирующих переменных: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]\cong K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle/\bigl(\{x_ix_j-x_jx_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>. |
<li>Алгебра многочленов от антикоммут. (грассмановых) перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle/\bigl(\{x_ix_j+x_jx_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1^2,\ldots,x_n^2\}\bigr)</math>.</ul> | <li>Алгебра многочленов от антикоммут. (грассмановых) перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle/\bigl(\{x_ix_j+x_jx_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1^2,\ldots,x_n^2\}\bigr)</math>.</ul> | ||
Строка 96: | Строка 96: | ||
<li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathbb H^{(-)}</math>. | <li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathbb H^{(-)}</math>. | ||
<li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}</math>, <math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>. | <li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}</math>, <math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли.</u> <i>Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0) | + | <li><u>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли.</u> <i>Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0)</math>, <math>\beta\in(0;\infty]</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C))</math> и <math>\gamma(0)=\mathrm{id}_n</math>; тогда<br>(1) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)</math>;<br>(2) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n)</math>, а также, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n)</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n)</math>.</i> |
<li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>. | <li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>. | ||
<p><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся<br>из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i></p> | <p><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся<br>из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i></p> | ||
<li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>. | <li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>. | ||
<li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое множество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul> | <li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое множество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul> |
Версия 21:00, 5 января 2019
Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры
8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
8.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
- Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
- Матрица Грама формы : . Обобщенная матрица Грама: . Теорема о матрице Грама.
Теорема о матрице Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
(1) для любых выполнено (координаты вычисляются относительно );
(2) для любых и выполнено . - Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
- Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: и .
- Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
- Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
8.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующие факты:
— симметричная билинейная форма (то есть ), а также ;
(2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем
следующие факты: — полуторалинейная форма (то есть ), а также ;
(2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , и .
- Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
- Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
- Топологическая невырожденность ( или , — нормир. пр.-во, ): — биекция.
- Пример: или , и ; тогда топологич. невырождена (без док.-ва).
- Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
- Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , и
; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополнение: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) если и форма невырождена, то , а также и ;
(3) и, если , то форма невырождена;
(4) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : ).
8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогональн. коорд. (): .
- Ортонормированный базис ( или ): — диагональная матрица с на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то сущ.-т такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали. - Лемма об ортогональном проекторе. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , , ,
форма невырождена и ; тогда и, если , то . - Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , , ,
, форма невырождена и ; тогда . - Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено и ,
а также (это индуктивная формула для нахождения векторов ). - Ортогонал. системы функций: и (), (), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).
9 Геометрия в векторных пространствах над или
9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
- Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: и .
- Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: и .
- Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть или , — вект. пр.-во над и ; тогда
(1) если и , то и, если , то форма невырождена и ;
(2) если , то , если и только если ;
(3) если и , то , если и только если . - Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Индексы инерции формы : и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от );
(2) (и, значит, число не зависит от );
(3) . - Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — векторные пространства над полем , ,
и ; тогда , если и только если , и . - Сигнатура формы : (или ). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
9.2 Предгильбертовы пространства
- Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
- Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
- Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Метрика: . Расст. между подмн.-вами: . Теорема о расстояниях и проектировании.
Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть — предгильбертово пространство и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если , то для любых выполнено ;
(3) если , то и для любых выполнено ;
(4) если , то для любых и выполнено и (это нерав.-во Бесселя). - Метод наименьших квадратов: замена системы , где , и , на систему .
- Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
- Псевдоевклидовопсевдоунитарное пр.-во сигнатуры — кон.-мерн. вект. пр.-во над с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры .
9.3 Ориентация, объем, векторное произведение
- Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
- Ориентация пр.-ва — выбор эл.-та мн.-ва . Знак набора векторов: . Теорема о знаке базиса и формах объема.
Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — векторное простр.-во с ориентацией и ; тогда для любых выполнено
, а также множество , равное , не зависит от выбора упорядоченного базиса . - Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
(1) ;
(2) если векторы попарно ортогональны, то . - Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Векторное произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и ;
(3) для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .
10 Алгебры
10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
- -Алгебра — вект. пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из .
- Примеры: , , , , ; -алгебры , , , . Структурн. константы алгебры: .
- Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Инъект. гомоморфизмы -алгебр: и .
Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство
над полем , получающееся из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображ.-е , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
(2) отображение — инъективный гомоморфизм алгебр с . - Алгебра с делением: и . Примеры: , ; -алгебры с делением , и алгебра октонионов (октав) .
- Моноидная алгебра ( — моноид): ; общий вид эл.-та: (); умнож.-е в : свертка.
- Алгебра многочленов от свободн. (некоммут.) перем.: . Одночлены: . Степень. Однородн. многочлены.
- Алгебра многочленов от коммутирующих переменных: .
- Алгебра многочленов от антикоммут. (грассмановых) перем.: .
10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
- -Алгебра Ли — -алгебра, умножение в которой антисимметрично () и удовлетв.-т тождеству Якоби ().
- Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: . Алгебра : вект. простр.-во с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
- Примеры: , , трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но , — подалгебра алгебры Ли .
- Матричные алгебры Ли: , , , , .
- Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть , , , и ; тогда
(1) если , то , и, если , то ;
(2) если , то , а также, если , то , и, если , то . - Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы -алгебр Ли: , и .
Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и — -алгебра Ли; обозначим через векторное пространство над полем , получающееся
из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
(2) отображение — гомоморфизм алгебр Ли. - Алгебра дифференцирований -алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
- Пример: пусть — открытое множество в и ; тогда — дифференцирование алгебры .