Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 60: | Строка 60: | ||
<ul><li><u>Теорема о внешнем произведении антисимметричных полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k,k'\!\in\mathbb N_0</math>, <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V</math>; тогда<br>(1) если <math>n=\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\omega=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}\!=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}</math>;<br>(2) для любых <math>w_1,\ldots,w_{k+k'}\!\in V</math> выполнено <math>(\omega\wedge\omega')(w_1,\ldots,w_{k+k'})=\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le k+k',\,1\le j_1'<\ldots<j_{k'}'\le k+k'}\!\!\!\!\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,j_1',\ldots,j_{k'}'}\omega(w_{j_1},\ldots,w_{j_k})\,\omega'(w_{j_1'},\ldots,w_{j_{k'}'})</math>.</i> | <ul><li><u>Теорема о внешнем произведении антисимметричных полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k,k'\!\in\mathbb N_0</math>, <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V</math>; тогда<br>(1) если <math>n=\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\omega=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}\!=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}</math>;<br>(2) для любых <math>w_1,\ldots,w_{k+k'}\!\in V</math> выполнено <math>(\omega\wedge\omega')(w_1,\ldots,w_{k+k'})=\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le k+k',\,1\le j_1'<\ldots<j_{k'}'\le k+k'}\!\!\!\!\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,j_1',\ldots,j_{k'}'}\omega(w_{j_1},\ldots,w_{j_k})\,\omega'(w_{j_1'},\ldots,w_{j_{k'}'})</math>.</i> | ||
<li>Внутреннее произведение с вектором <math>v</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\iota_v\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{k-1}V\\\omega&\mapsto\bigl((v_2,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v,v_2,\ldots,v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. | <li>Внутреннее произведение с вектором <math>v</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\iota_v\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{k-1}V\\\omega&\mapsto\bigl((v_2,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v,v_2,\ldots,v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
− | < | + | <li><math>\forall\,k,k'\!\in\mathbb N_0,\,\omega\in\Omega^k(M),\,\omega'\!\in\Omega^{k'}\!(M)\;\bigl(\mathrm d(\omega\wedge\omega')=\mathrm d\omega\wedge\omega'+(-1)^k\,\omega\wedge\mathrm d\omega'\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm d</math> — супердифференцирование алгебры <math>\,\Omega(M)</math>). |
<li>Векторное произведение в коорд.-х: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\varepsilon^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i}_{j_1,\ldots,j_{n-1}}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. | <li>Векторное произведение в коорд.-х: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\varepsilon^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i}_{j_1,\ldots,j_{n-1}}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. | ||
<li>Оператор Ходжа в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\,\lambda_1,\ldots,\sharp\,\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Пример: <math>*\,1=\mathrm{vol}\,</math>. | <li>Оператор Ходжа в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\,\lambda_1,\ldots,\sharp\,\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Пример: <math>*\,1=\mathrm{vol}\,</math>. | ||
Строка 76: | Строка 76: | ||
<li>В коорд.: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\frac\partial{\partial x^{i_1}}\!\otimes\ldots\otimes\!\frac\partial{\partial x^{i_p}}\!\otimes\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_q}</math>. Пример: <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math> — поле форм от <math>k</math> перем.-х. | <li>В коорд.: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\frac\partial{\partial x^{i_1}}\!\otimes\ldots\otimes\!\frac\partial{\partial x^{i_p}}\!\otimes\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_q}</math>. Пример: <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math> — поле форм от <math>k</math> перем.-х. | ||
<li>Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на <math>M</math>: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_1}}{\partial x^{k_1}}\!\circ\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_p}}{\partial x^{k_p}}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_q}}{\partial x^\tilde{j_q}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}\!</math>. | <li>Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на <math>M</math>: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_1}}{\partial x^{k_1}}\!\circ\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_p}}{\partial x^{k_p}}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_q}}{\partial x^\tilde{j_q}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}\!</math>. | ||
− | <li>Пр.-во | + | <li>Пр.-во дифференциальн. <math>k</math>-форм: <math>\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm{Tens}_k(M)\mid\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{AMulti}_k(\mathrm T_mM)\bigr)\}</math>. Алгебра диффер. форм: <math>\Omega(M)=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)</math>.</ul> |
<h5>16.2 Дифференциальные операции на многообразиях</h5> | <h5>16.2 Дифференциальные операции на многообразиях</h5> | ||
− | <ul><li> | + | <ul><li>Производная Ли: <math>\mathcal L_vf=\mathrm df(v)</math>. Утверждение: <i><math>\mathcal L_v\!\in\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))</math> и <math>\mathcal L_v=0\,\Rightarrow\,v=0</math></i>. Коммутатор вект. полей: <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_{[v,w]}=[\mathcal L_v,\mathcal L_w]\bigr)</math>. |
− | + | <li><u>Теорема о коммутаторе.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие и <math>n=\dim M</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math>, определяя в координатах векторное поле <math>[v,w]</math> на <math>M</math> по формуле <math>[v,w]=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i-w^j\,\partial_jv^i\bigr)\frac\partial{\partial x^i}</math>, имеем<br>следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция <math>[\,,]</math> удовлетворяет определению коммутатора;<br>(2) операция коммутатора <math>[\,,]</math> на <math>M</math> определена однозначно;<br>(3) <math>\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относ.-но операции <math>[\,,]</math>, и отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))\\v&\mapsto\mathcal L_v\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм алгебр Ли (без док.-ва сюръективности).</i> | |
− | <li><u>Теорема о коммутаторе.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие и <math>n=\dim M</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math>, определяя в координатах векторное поле <math>[v,w]</math> на <math>M</math> по формуле <math>[v,w]=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i-w^j\,\partial_jv^i\bigr)\frac\partial{\partial x^i}</math>, имеем<br>следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция <math>[\,,]</math> удовлетворяет определению коммутатора;<br>(2) <math>\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли | + | <li>Внешний дифференциал: <math>\mathrm d</math> — супердифференц.-е алгебры <math>\Omega(M)</math> и <math>\forall\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\mathrm d(f)=\mathrm df\,\land\,\mathrm d(\mathrm df)=0\bigr)</math>. Утверждение: <i><math>\omega|_U=0\,\Rightarrow\,(\mathrm d\omega)|_U=0</math></i>. |
− | <li>Внешний дифференциал: <math>\mathrm d</math> — | + | <li><u>Теорема о внешнем дифференциале.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие и <math>n=\dim M</math>; тогда<br>(1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\Omega^k(M)</math>, определяя в координатах форму <math>\mathrm d\omega</math> на <math>M</math> по формуле <math>\mathrm d\omega=(k+1)\!\!\!\sum_{1\le j_0,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\partial_{[j_0}\omega_{j_1,\ldots,j_k]}\,\mathrm dx^{j_0}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math><br>(эта формула эквивалентна формуле <math>\mathrm d\omega=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\mathrm d\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>), имеем следующие факты: это определение не зависит от<br>выбора системы координат (эскиз доказательства), и операция <math>\mathrm d</math> удовлетворяет определению внешнего дифференциала;<br>(2) операция внешнего дифференциала <math>\mathrm d</math> на <math>M</math> определена однозначно.</i> |
− | < | + | <li>Утверждение: <math>\mathrm d^2=0</math>. Замкнутая форма: <math>\mathrm d\omega=0</math>. Точная форма: <math>\omega=\mathrm d\psi</math> (<math>\Rightarrow\,\mathrm d\omega=0</math>). Лемма Пуанкаре: в <math>\mathbb R^n</math> замкнутые формы точны (без доказат.-ва). |
− | + | ||
− | + | ||
<li>Ковариантная произв. вект. полей: <math>\nabla\in\mathrm{Bi}(\mathrm{Vect}(M),\mathrm{Vect}(M))</math> и <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M),\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\nabla_{fv}w=f\,\nabla_vw\,\land\,\nabla_v(fw)=(\mathcal L_vf)\,w+f\,\nabla_vw\bigr)</math>. | <li>Ковариантная произв. вект. полей: <math>\nabla\in\mathrm{Bi}(\mathrm{Vect}(M),\mathrm{Vect}(M))</math> и <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M),\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\nabla_{fv}w=f\,\nabla_vw\,\land\,\nabla_v(fw)=(\mathcal L_vf)\,w+f\,\nabla_vw\bigr)</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о ковариантной производной.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math> и в каждой системе координат из атласа на <math>M</math> заданы функции <math>\,\Gamma^i_{j,k}</math>,<br>где <math>i,j,k\in\{1,\ldots,n\}</math>, преобразующиеся при замене координ. по формуле <math>\Gamma^\tilde i_{\tilde j,\tilde k}=\sum_{r=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^r}\!\circ\xi\Bigr)\biggl(\sum_{1\le s,t\le n}\!\!\Bigl(\frac{\partial x^s}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^t}{\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\Gamma^r_{s,t}+\Bigr(\frac{\partial^2x^r}{\partial x^\tilde j\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\!\biggr)</math>;<br>тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math>, определяя в координ. векторное поле <math>\nabla_vw</math> на <math>M</math> по формуле <math>\nabla_vw=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i+\sum_{k=1}^n\Gamma^i_{j,k}v^jw^k\bigr)\frac\partial{\partial x^i}</math>, имеем<br>следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция <math>\nabla</math> удовлетворяет | + | <li><u>Теорема о ковариантной производной.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math> и в каждой системе координат из атласа на <math>M</math> заданы функции <math>\,\Gamma^i_{j,k}</math>,<br>где <math>i,j,k\in\{1,\ldots,n\}</math>, преобразующиеся при замене координ. по формуле <math>\Gamma^\tilde i_{\tilde j,\tilde k}=\sum_{r=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^r}\!\circ\xi\Bigr)\biggl(\sum_{1\le s,t\le n}\!\!\Bigl(\frac{\partial x^s}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^t}{\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\Gamma^r_{s,t}+\Bigr(\frac{\partial^2x^r}{\partial x^\tilde j\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\!\biggr)</math>;<br>тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math>, определяя в координ. векторное поле <math>\nabla_vw</math> на <math>M</math> по формуле <math>\nabla_vw=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i+\sum_{k=1}^n\Gamma^i_{j,k}v^jw^k\bigr)\frac\partial{\partial x^i}</math>, имеем<br>следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция <math>\nabla</math> удовлетворяет определению ковариантной произв.-й.</i> |
+ | <li>Векторное поле вдоль кривой: <math>v\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm TM)</math> и <math>\mathrm{pr}_M\!\circ v=\gamma</math>. Скорость <math>v</math> вдоль <math>\gamma</math>: <math>\dot v=\sum_{i=1}^n\Bigl((v^i)\!\dot{\phantom i}\!+\!\!\sum_{1\le j,k\le n}\!\!(\Gamma^i_{j,k}\!\circ\gamma)\,\dot\gamma^j\,v^k\Bigr)\Bigl(\frac\partial{\partial x^i}\!\circ\gamma\Bigr)</math>. Ускорение: <math>\ddot\gamma</math>.</ul> | ||
<h5>16.3 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</h5> | <h5>16.3 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</h5> | ||
<ul><li>Метрический тензор сигнатуры <math>(p,q)</math>: <math>g\in\mathrm{Tens}_2(M)</math> и для любых <math>m\in M</math> выполнено <math>g(m)</math> — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры <math>(p,q)</math> на <math>\mathrm T_mM</math>. | <ul><li>Метрический тензор сигнатуры <math>(p,q)</math>: <math>g\in\mathrm{Tens}_2(M)</math> и для любых <math>m\in M</math> выполнено <math>g(m)</math> — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры <math>(p,q)</math> на <math>\mathrm T_mM</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Псевдориманово многообр. сигнат. <math>(p,q)</math> — многообр. с метр. тензором сигнат. <math>(p,q)</math>. Риманово многообр.: <math>q=0</math>. Примеры: <math>\mathbb R^n</math>, пр.-во Лобачевского <math>\mathrm H^n</math>. |
− | <li> | + | <li>Бемоль: <math>(\flat\,v)(m)=\flat_{g(m)}(v(m))</math>. Диез: <math>(\sharp\,\lambda)(m)=\sharp^{g(m)}(\lambda(m))</math>. Градиент функции: <math>\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df</math>. Градиент в коорд.: <math>(\mathrm{grad}\,f)^i=\sum_{j=1}^ng^{i,j}\,\partial_jf=\partial^if</math>. |
− | + | <li>Ориентация многообр. <math>M</math> — такой выбор ориентаций всех пр.-в <math>\mathrm T_mM</math>, где <math>m\in M</math>, что <math>\exists\,\omega\in\Omega^n(M)\;\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{VF}_{>0}(\mathrm T_mM)\bigr)</math>. Атлас <math>\mathcal A_{>0}</math>. | |
− | <li>Ориентация | + | <li>Канонич. форма объема. Оператор Ходжа: <math>(*\,\omega)(m)=*\,(\omega(m))</math>. Ротор: <math>\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v</math>. Дивергенция: <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v</math>. Лапласиан: <math>\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)</math>. |
− | + | ||
− | <li>Канонич. форма объема | + | |
− | + | ||
<li>Символы Кристоффеля на псевдориман. многообр. (<math>g</math> — метрич. тензор): <math>\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^ng^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)</math>. Теорема о связности Леви-Чивиты. | <li>Символы Кристоффеля на псевдориман. многообр. (<math>g</math> — метрич. тензор): <math>\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^ng^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)</math>. Теорема о связности Леви-Чивиты. | ||
− | <p><u>Теорема о связности Леви-Чивиты.</u> <i>Пусть <math>M</math> — псевдориманово многообразие; тогда<br>(1) символы Кристоффеля на <math>M</math> преобразуются при замене координат по формуле из теоремы о ковариантной производной и, значит, определяют<br> | + | <p><u>Теорема о связности Леви-Чивиты.</u> <i>Пусть <math>M</math> — псевдориманово многообразие; тогда<br>(1) символы Кристоффеля на <math>M</math> преобразуются при замене координат по формуле из теоремы о ковариантной производной и, значит, определяют<br>операцию ковариантной производной <math>\nabla</math> на <math>M</math> (это связность Леви-Чивиты), причем эта операция ковариантной производной обладает следующими<br>свойствами: <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\nabla_vw-\nabla_wv=[v,w]\bigr)</math> и <math>\forall\,u,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_u(g(v,w))=g(\nabla_uv,w)+g(v,\nabla_uw)\bigr)</math>;<br>(2) операция ковариантной производной <math>\nabla</math> на <math>M</math>, обладающая свойствами из пункта (1), определена однозначно (без доказательства).</i></p> |
− | <li> | + | <li>Длина кривой: <math>\int_\alpha^\beta\!\!\!\sqrt{g(\dot\gamma(\tau),\dot\gamma(\tau))}\,\mathrm d\tau</math>. Экстремальная кривая функционала длины — геодезическая: <math>\ddot\gamma=0</math> (если <math>\gamma(\alpha)=m_0</math>, <math>\gamma(\beta)=m_1</math> и <math>g(\dot\gamma,\dot\gamma)=1</math>). |
<li>Тензор Римана (кривизны): <math>\mathrm R^i_{j,k,l}=\partial_k\Gamma^i_{l,j}-\partial_l\Gamma^i_{k,j}+\sum_{t=1}^n\bigl(\Gamma^i_{k,t}\Gamma^t_{l,j}-\Gamma^i_{l,t}\Gamma^t_{k,j}\bigr)</math>. Тензор Риччи: <math>\mathrm R_{i,j}=\sum_{t=1}^n\mathrm R^t_{i,t,j}</math>. Скалярная кривизна: <math>\mathrm R=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!g^{i,j}\,\mathrm R_{i,j}</math>.</ul> | <li>Тензор Римана (кривизны): <math>\mathrm R^i_{j,k,l}=\partial_k\Gamma^i_{l,j}-\partial_l\Gamma^i_{k,j}+\sum_{t=1}^n\bigl(\Gamma^i_{k,t}\Gamma^t_{l,j}-\Gamma^i_{l,t}\Gamma^t_{k,j}\bigr)</math>. Тензор Риччи: <math>\mathrm R_{i,j}=\sum_{t=1}^n\mathrm R^t_{i,t,j}</math>. Скалярная кривизна: <math>\mathrm R=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!g^{i,j}\,\mathrm R_{i,j}</math>.</ul> |
Версия 18:00, 30 сентября 2018
Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры
|
14 Тензорные произведения векторных пространств
14.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : — минимум среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существ. единств. такой , что
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
14.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензор типа в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых его элементов и выполнено
, а также — алгебра многочленов от своб. перем.-х.
14.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание индекса с -й позиции: . Подъем индекса с -й поз.-и: .
- Опускание индекса с -й позиции в коорд. (применение операции выражается в располож.-и индексов): .
- Подъем индекса с -й позиции в коорд. (применение операции выражается в расположении индексов): .
15 Симметрические и внешние степени векторных пространств
15.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (далее пространства и отождествляются);
(3) и (далее пространства и отождествляются). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв.-е векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единственный такой , что ;
(2) для любых существует единственный такой , что . - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
15.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и ;
(4) и ;
(5) и . - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где числа суть числа , упорядоченные по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где суть , упоряд. по неубыванию;
(3) — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.
15.3 Операции над внешними формами
- Теорема о внешнем произведении антисимметричных полилинейных форм. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; тогда
(1) если , то для любых выполнено ;
(2) для любых выполнено . - Внутреннее произведение с вектором : .
- (то есть — супердифференцирование алгебры ).
- Векторное произведение в коорд.-х: .
- Оператор Ходжа в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией: . Пример: .
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где
образуют дополнительный набор к (то есть и ); в частности, .Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено .
16 Многообразия (часть 2)
16.1 Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
- Касательное и кокасательное расслоения: и . Структура многообр.-я на и ; отобр.-е проекции на : .
- Пр.-ва векторн. полей и ковект. полей (-форм): и .
- Умножение вект. полей и -форм на функции. Действие -форм на вект. поля. Локальные вект. поля и -формы . Утверждение: .
- Векторные поля и -формы в коорд.: и . Преобраз.-я при замене коорд.: и .
- Расслоение тензоров типа : . Пр.-во тензорн. полей типа : .
- В коорд.: . Пример: — поле форм от перем.-х.
- Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на : .
- Пр.-во дифференциальн. -форм: . Алгебра диффер. форм: .
16.2 Дифференциальные операции на многообразиях
- Производная Ли: . Утверждение: и . Коммутатор вект. полей: .
- Теорема о коммутаторе. Пусть — многообразие и ; тогда
(1) для любых , определяя в координатах векторное поле на по формуле , имеем
следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция удовлетворяет определению коммутатора;
(2) операция коммутатора на определена однозначно;
(3) — алгебра Ли относ.-но операции , и отобр.-е — изоморфизм алгебр Ли (без док.-ва сюръективности). - Внешний дифференциал: — супердифференц.-е алгебры и . Утверждение: .
- Теорема о внешнем дифференциале. Пусть — многообразие и ; тогда
(1) для любых и , определяя в координатах форму на по формуле
(эта формула эквивалентна формуле ), имеем следующие факты: это определение не зависит от
выбора системы координат (эскиз доказательства), и операция удовлетворяет определению внешнего дифференциала;
(2) операция внешнего дифференциала на определена однозначно. - Утверждение: . Замкнутая форма: . Точная форма: (). Лемма Пуанкаре: в замкнутые формы точны (без доказат.-ва).
- Ковариантная произв. вект. полей: и .
- Теорема о ковариантной производной. Пусть — многообразие, и в каждой системе координат из атласа на заданы функции ,
где , преобразующиеся при замене координ. по формуле ;
тогда для любых , определяя в координ. векторное поле на по формуле , имеем
следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция удовлетворяет определению ковариантной произв.-й. - Векторное поле вдоль кривой: и . Скорость вдоль : . Ускорение: .
16.3 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
- Метрический тензор сигнатуры : и для любых выполнено — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры на .
- Псевдориманово многообр. сигнат. — многообр. с метр. тензором сигнат. . Риманово многообр.: . Примеры: , пр.-во Лобачевского .
- Бемоль: . Диез: . Градиент функции: . Градиент в коорд.: .
- Ориентация многообр. — такой выбор ориентаций всех пр.-в , где , что . Атлас .
- Канонич. форма объема. Оператор Ходжа: . Ротор: . Дивергенция: . Лапласиан: .
- Символы Кристоффеля на псевдориман. многообр. ( — метрич. тензор): . Теорема о связности Леви-Чивиты.
Теорема о связности Леви-Чивиты. Пусть — псевдориманово многообразие; тогда
(1) символы Кристоффеля на преобразуются при замене координат по формуле из теоремы о ковариантной производной и, значит, определяют
операцию ковариантной производной на (это связность Леви-Чивиты), причем эта операция ковариантной производной обладает следующими
свойствами: и ;
(2) операция ковариантной производной на , обладающая свойствами из пункта (1), определена однозначно (без доказательства). - Длина кривой: . Экстремальная кривая функционала длины — геодезическая: (если , и ).
- Тензор Римана (кривизны): . Тензор Риччи: . Скалярная кривизна: .