Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 81: Строка 81:
 
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
 
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
 
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во с ориентацией, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>; тогда существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и<br><math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math> (и, значит, <math>a</math> — оператор поворота на угол <math>\varphi</math> против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором <math>e_1</math>).</i>
 
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во с ориентацией, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>; тогда существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и<br><math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math> (и, значит, <math>a</math> — оператор поворота на угол <math>\varphi</math> против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором <math>e_1</math>).</i>
<li><u>Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\tau\in\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>a</math> — линейный оператор,<br>соответствующий форме <math>\tau</math> относительно изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto(\,\mid\,)_a\end{align}\!\biggr)</math> (то есть <math>\forall\,v,w\in V\;\bigl((a(v)\!\mid\!w)=\tau(v,w)\bigr){}</math>); тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис, ортогональный относительно формы <math>\tau</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>);<br>(2) множ.-во значений квадр. формы <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to\mathbb R\\v&\mapsto\tau(v,v)\end{align}\!\biggr)</math> на единичной сфере в <math>V</math> (то есть <math>\{\tau(v,v)\mid v\in V,\,\|v\|=1\}</math>) равно <math>[\min\mathrm{Spec}(a);\max\mathrm{Spec}(a)]</math>.</i></ul>
+
<li><u>Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во, <math>\tau\in\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>a</math> — лин. оператор, соответств.<br>форме <math>\tau</math> относит.-но изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto(\,\mid\,)_a\end{align}\!\biggr)</math> (то есть <math>\forall\,v,w\in V\;\bigl((a(v)\!\mid\!w)=\tau(v,w)\bigr){}</math>); тогда в <math>V</math> сущ.-т ортонормированный базис,<br>ортогональный относит.-но формы <math>\tau</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>), а также <math>\{\tau(v,v)\mid v\in V,\,\|v\|=1\}=[\min\mathrm{Spec}(a);\max\mathrm{Spec}(a)]</math>.</i></ul>
  
 
<h5>12.5&nbsp; Специальная ортохронная группа Лоренца</h5>
 
<h5>12.5&nbsp; Специальная ортохронная группа Лоренца</h5>

Версия 20:00, 16 августа 2018

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11   Линейные операторы (часть 2)

11.1  Многочлены и ряды от линейных операторов
  • Эвалюация — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором : .
  • Минимальный многочлен лин. оператора : , нормирован, ; .
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: . Утверждение: пусть — нильпот. лин. оператор; тогда .

    Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .

  • Кратности: (алгебраич. кратность), . Теорема о минимальном многочлене.

    Теорема о минимальном многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда делит
    (и, значит, для любых выполнено ), а также .

  • Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) если , то (то есть -инвариантное подпространство);
    (2) если и делит , то ;
    (3) если , и многочлены попарно взаимно просты, то
    (и, значит, ).
  • Проектор (идемпотент): (). Отражение: (, если ).
  • Ряд от лин. оператора ( — нормир. пр.-во): . Достат. условие сходимости ( — банах. пр.-во, ): .
  • Экспонента от непрерывного линейн. оператора в банах. пр.-ве: . Пример: . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    Пусть — банахово пр.-во; тогда для любых выполнено , а также и .

11.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
  • Собственные подпространства: ; геометрическая кратность: . Лемма о собственных подпространствах.

    Лемма о собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
    попарно различны; тогда
    (1) ;
    (2) если и — независимые множества, то — независимое множество;
    (3) если , то для любых выполнено .

  • Теорема о диагонализации линейных операторов. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (у2) (то есть многочлен раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в );
    (у3) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора );
    (у4) .
  • Обобщенные собственные подпростр.-ва: ; относительные геометрич. кратности: .
  • Жорданова клетка: . Пример: если , то и .
  • Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено и, если , то ;
    (2) для любых выполнено ;
    (3) и .
  • Корневые подпространства: . Нильпотентные части линейного оператора : .
  • Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и многочлен расклад.-ся в
    произв.-е многочленов степени в (если , то это условие выполнено для любых в силу алгебр. замкнутости поля ); тогда
    (1) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора );
    (2) для любых выполнено (и, значит, — нильпотентный линейный оператор) и .
11.3  Жорданова нормальная форма линейного оператора
  • — независимое мн.-во относит.-но : . — порождающее мн.-во относит.-но : .
  • Базис в относительно — независ. и порожд. подмн.-во в относительно . Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

    Теорема 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) — базис пространства относительно ;
    (у2) — независимое множество и (и, значит, если , то );
    (у3) для любого вектора существуют единственные такие и , что ;
    (у4) — максимальное независимое множество относительно ;
    (у5) — минимальное порождающее множество относительно .

    Теорема 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
    (2) из любого порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .

  • Теорема об относительно независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем и
    , а также , , и ; тогда
    (1) если — независимое подмножество в относительно , то — инъекция и — независимое подмножество в относительно ;
    (2) если , то .
  • Диаграммы Юнга. Жорданов блок: — прямая сумма жордановых клеток , где — длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы — относительные геометрич. кратности . Корректность опред.-я.
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и многочлен раскладывается в
    произведение многочленов степени в (если , то это условие выполнено для любых в силу алгебр. замкнутости поля );
    тогда существует такой упорядоченный базис , что — прямая сумма жордановых блоков по всем .
  • Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: .
  • Утверждение: , и , а также . Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.

    Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть и ; обозначим через кривую ; тогда
    (1) если , то , и, если , то ;
    (2) если , то , а также, если , то , и, если , то .

12   Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
  • Группа автоморфизмов простр.-ва с ¯-билинейной формой: .
  • Утверждение: пусть и , или и ; тогда .
  • Ортогональная группа ( — вект. пр. над , ): ; унитарная группа ( — вект. пр. над , ): .
  • Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
    (1) Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , , , и ; тогда
    и, если форма невырождена, то условие "" можно убрать.
    (2) Пусть — псевдоевклидово пространство сигнатуры и ; тогда .
    (3) Пусть — псевдоунитарное пространство сигнатуры и ; тогда .
  • Матричные ортогонал. группы: , , и .
  • Матричные унитарные группы: , , и .
  • Примеры: , и .
  • Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: . Теорема об описании изометрий.

    Теорема об описании изометрий. Пусть — предгильбертово пространство над полем ; тогда , а также,
    обозначая через , и группу и ее подгруппы и соответственно, имеем следующие
    факты: , , и (и, значит, ).

12.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
  • Простр.-во симметричных операторов: ; условие в коорд.: .
  • Простр.-во антисимм. операторов: ; условие в коорд.: .
  • Множество положит. определ. операторов (, или ): .
  • Пример: , и ; тогда — полож. определенный оператор.
  • Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору ( невырождена): ().
  • Сопряженный оператор в координатах: . Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.

    Теорема о свойствах сопряжения. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , и форма невырождена; тогда
    (1) для любых и выполнено , и (и, значит, отобр.-е
    ¯-антиэндоморфизм -алгебры ), а также и ;
    (2) , и .

    Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , форма невырождена,
    и ; тогда , а также и .

  • Форма, связанная с линейным оператором : . Форма в коорд.: . Лемма о форме, связанной с оператором.

    Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) если форма невырождена, то отображение — изоморфизм векторных пространств;
    (2) и ;
    (3) если или , то .

  • Множество нормальных операторов ( невырождена): ; условие в коорд. (): .
12.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
  • Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда для любых
    выполнено , а также для любых таких , что , выполнено .
  • Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
    (1) — диагональная матрица;
    (2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
    (4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
    , , , .
  • Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть и ; тогда
    (1) — диагональная матрица;
    (2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
    (4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Теорема о спектральном разложении. Пусть — унитарное пр.-во и ; для любых обозначим через оператор ; тогда
    (1) для любых таких , что , вып.-но и , а также , и ;
    (2) если для любых заданы операторы , удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых выполнено .
  • Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
    Пусть — предгильбертово пространство над полем и ; тогда для любого собственного числа оператора
    выполнено , , , , а также для любых различных
    собственных чисел и оператора выполнено .
  • Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).
12.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах
  • Препятствия к диагонализ.-и над . -Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над с блоками разм. и блоками , где и .
  • -Спектр линейного оператора в конечномерном простр.-ве над : . Пример: .
  • Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
    (1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
    (2) если , то для любых выполнено .
  • Спектральная теорема для евклидовых пространств. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
    (1) -диагональная матрица;
    (2) -диагон. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица;
    (4) -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
    , , , .
  • Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть и ; тогда
    (1) -диагональная матрица;
    (2) -диагон. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица;
    (4) -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пр.-во с ориентацией, и ; тогда существуют такие и
    , что (и, значит, — оператор поворота на угол против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором ).
  • Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пр.-во, и — лин. оператор, соответств.
    форме относит.-но изоморфизма (то есть ); тогда в сущ.-т ортонормированный базис,
    ортогональный относит.-но формы (то есть ), а также .
12.5  Специальная ортохронная группа Лоренца
  • Движение со скоростью света: , где (). Теорема о сохранении скорости света. Матричная группа Лоренца: .

    Теорема о сохранении скорости света.
    Пусть ; тогда след. утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) , где .

  • Теорема о матричной группе Лоренца.
    (1) Пусть ; тогда , а также .
    (2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
    , () и ; тогда , а также
    и .
    (3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
    (4) Обозначая через ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: и .
  • Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
  • Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (опред.-е не зависит от выбора базиса).
  • Спинорная модель пространства Минковского: . Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: .
  • Матрицы Паули: , , . Утверждение: , и .
  • Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
    (1) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
    (2) Сужение на формы из пункта (1), взятое с противопол. знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и .
    (3) Для любых и таких , что , выполнено , и .
  • Теорема о бустах и поворотах. (1) Пусть , и ; тогда — буст с быстротой вдоль оси с направляющим
    вектором , а также — поворот на угол вокруг оси с направляющим вектором (эскиз доказательства).
    (2) Спинорные представления и — изоморфизмы групп (без док.-ва).

13   Многообразия (часть 1)

13.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями
  • -Мерная система координат на топол. пр.-ве — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в и ; отн.-е согласованности: — диффеоморфизм.
  • -Мерный атлас на — множество попарно согласованных -мерных систем координат на , области определения которых покрывают . Примеры.
  • -Мерное многообразие — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во с максимальным -мерным атласом . Примеры: , откр. мн.-ва в , .
  • Отобр. между многообр. и гладкое в , если существ. такие и , что , и отобр. гладкое в .
  • Утверждение: гладкость отображения не зависит от выбора систем координат. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми и : .
  • — множество кривых, проходящих через . -алгебра функций.
  • Скорость в координатах (, , , ): и .
  • Обозн.-я: и ; тогда и . Лемма о замене координат.

    Лемма о замене координат. Пусть — многообразие, , , , и ; тогда
    (1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
    (2) (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).

13.2  Касательные пространства и кокасательные пространства
  • Отнош.-е касания в (): ; инвариантная скорость: .
  • Касательное пр.-во в точке : . Базисные векторы, определяемые системой коорд. : .
  • Теорема о касательном пространстве. Преобразования при замене координат на : и .

    Теорема о касательном пространстве. Пусть — многообразие, , , и ; тогда
    (1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через столбец , имеем следующий факт:
    столбец не зависит от выбора кривой ;
    (2) отображение — биекция; определим на структуру вект. простр.-ва над так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом
    вект. простр.-в (то есть ); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;
    (3) множество — базис пространства ;
    (4) для любых выполнено (это формула разложения по базису в ).

  • Кокасательное пр.-во в точке : . Базисные ковекторы, опред. системой коорд. : . Строка коорд. ковектора: .
  • Разложение по базису в : . Преобр.-я при замене координат: и .
  • Теорема о дифференциале функции. Пусть — многообразие, и ; тогда
    (1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через число , имеем следующий
    факт: число не зависит от выбора кривой ;
    (2) для любых и таких , что , выполнено ;
    (3) обозначая через отображение , имеем следующий факт: .
  • Дифференциал в координ.-х: и . Утверждение: .
  • Производная Ли функции вдоль вектора (): . Утверждение: и .