Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 7: Строка 7:
 
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
 
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
 
<li>Матрица Грама формы <math>\sigma</math>: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. Обобщенная матрица Грама: <math>(\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2}){}</math>. Теорема о матрице Грама.
 
<li>Матрица Грама формы <math>\sigma</math>: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. Обобщенная матрица Грама: <math>(\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2}){}</math>. Теорема о матрице Грама.
<p><u>Теорема о матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math> (координаты вычисляются относительно <math>e</math>);<br>(2) для любых <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V</math> выполнено <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}{}</math>.</i></p>
+
<p><u>Теорема о матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math> (координаты вычисляются относительно <math>e</math>);<br>(2) для любых <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V{}</math> выполнено <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}{}</math>.</i></p>
 
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
 
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
 
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
 
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
Строка 69: Строка 69:
 
<ul><li>Отн.-е одинак. ориентированности (<math>V</math> — кон.-мерн. в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0</math>. Утверждение: <math>V\ne\{0\}\,\Rightarrow\,|\mathrm{OB}(V)/{\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim}|=2</math>.
 
<ul><li>Отн.-е одинак. ориентированности (<math>V</math> — кон.-мерн. в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0</math>. Утверждение: <math>V\ne\{0\}\,\Rightarrow\,|\mathrm{OB}(V)/{\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim}|=2</math>.
 
<li>Ориентация пр.-ва <math>V</math> — выбор эл.-та <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. Знак набора векторов: <math>\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)</math>. Теорема о знаке базиса и формах объема.
 
<li>Ориентация пр.-ва <math>V</math> — выбор эл.-та <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. Знак набора векторов: <math>\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)</math>. Теорема о знаке базиса и формах объема.
<p><u>Теорема о знаке базиса и формах объема.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное простр.-во с ориентацией и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено<br><math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, а также множество <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)</math>, равное <math>\,\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e{}</math>, не зависит от выбора базиса <math>e</math>.</i></p>
+
<p><u>Теорема о знаке базиса и формах объема.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное простр.-во с ориентацией и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено<br><math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, а также множество <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)</math>, равное <math>\,\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e{}</math>, не зависит от выбора упорядоченного базиса <math>e</math>.</i></p>
 
<li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
 
<li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
 
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.
 
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.

Версия 18:00, 10 августа 2018

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры

8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

8.1  ¯-Билинейные формы
  • Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
  • Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
  • Матрица Грама формы : . Обобщенная матрица Грама: . Теорема о матрице Грама.

    Теорема о матрице Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено (координаты вычисляются относительно );
    (2) для любых и выполнено .

  • Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
  • Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
  • Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: и .
  • Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
  • Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
8.2  ¯-Квадратичные формы
  • Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
  • ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
  • Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующие факты:
    — симметричная билинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем
    следующие факты: — полуторалинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , и .
  • Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
  • Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
  • Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
  • Топологическая невырожденность ( или , — нормир. пр.-во, ): — биекция.
  • Пример: или , и ; тогда топологич. невырождена (без док.-ва).
  • Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
  • Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , и
    ; тогда , если и только если и форма невырождена.
  • Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополнение: .
  • Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
    (1) , , и ;
    (2) если и форма невырождена, то , а также и ;
    (3) и, если , то форма невырождена;
    (4) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : ).
8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  • Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогональн. коорд. (): .
  • Ортонормированный базис ( или ): — диагональная матрица с на диагонали.
  • Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
    тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор).
  • Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

    Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
    (2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).

    Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
    (1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
    (2) если или , то сущ.-т такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали.

  • Лемма об ортогональном проекторе. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , , ,
    форма невырождена и ; тогда и, если , то
    .
  • Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , , ,
    , форма невырождена и ; тогда .
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
    и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
    матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
    обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено и ,
    а также (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
  • Ортогонал. системы функций: и (), (), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

9   Геометрия в векторных пространствах над или

9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  • Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: и .
  • Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: и .
  • Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть или , — вект. пр.-во над и ; тогда
    (1) если и , то и, если , то форма невырождена и ;
    (2) если , то , если и только если ;
    (3) если и , то , если и только если .
  • Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
    для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если .
  • Индексы инерции формы : и .
  • Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
    (1) (и, значит, число не зависит от );
    (2) (и, значит, число не зависит от );
    (3) .
  • Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — векторные пространства над полем , ,
    и ; тогда , если и только если , и .
  • Сигнатура формы : (или ). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
9.2  Предгильбертовы пространства
  • Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
  • Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
  • Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
  • Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
    (1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
    (2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
    (3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля).
  • Метрика: . Расст. между подмн.-вами: . Теорема о расстояниях и проектировании.

    Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть — предгильбертово пространство и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) если , то для любых выполнено ;
    (3) если , то и для любых выполнено ;
    (4) если , то для любых и выполнено и (это нерав.-во Бесселя).

  • Метод наименьших квадратов: замена системы , где , и , на систему .
  • Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
  • Псевдоевклидовопсевдоунитарное пр.-во сигнатуры — кон.-мерн. вект. пр.-во над с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры .
9.3  Ориентация, объем, векторное произведение
  • Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
  • Ориентация пр.-ва — выбор эл.-та мн.-ва . Знак набора векторов: . Теорема о знаке базиса и формах объема.

    Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — векторное простр.-во с ориентацией и ; тогда для любых выполнено
    , а также множество , равное , не зависит от выбора упорядоченного базиса .

  • Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
  • Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.

    Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если векторы попарно ортогональны, то .

  • Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
  • Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то .
  • Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
  • Векторное произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.

    Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
    (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
    (2) и ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) если , то для любых выполнено и .

10   Алгебры

10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • -Алгебра — вект. пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из .
  • Примеры: , , , , ; -алгебры , , , . Структурн. константы алгебры: .
  • Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Инъект. гомоморфизмы -алгебр: и .

    Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство
    над полем , получающееся из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображ.-е , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм алгебр с .

  • Алгебра с делением: и . Примеры: , ; -алгебры с делением , и алгебра октонионов (октав) .
  • Моноидная алгебра ( — моноид): ; общий вид эл.-та: (); умнож.-е в : свертка.
  • Алгебра многочленов от свободн. переменных: . Одночлены: . Степень. Однородные многочлены.
  • Алгебра многочленов от комм. перем.: . Одночлены: (). Степень. Однор. многочлены.
  • Алгебра многочленов от антикомм. перем.: .
10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  • -Алгебра Ли — -алгебра, умножение в которой антисимметрично () и удовлетв.-т тождеству Якоби ().
  • Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: . Алгебра : вект. простр.-во с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
  • Примеры: , , трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но , — подалгебра алгебры Ли .
  • Матричные алгебры Ли: , , , , .
  • Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть , , , и ; тогда
    (1) если , то , и, если , то ;
    (2) если , то , а также, если , то , и, если , то .
  • Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы -алгебр Ли: , и .

    Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и -алгебра Ли; обозначим через векторное пространство над полем , получающееся
    из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — гомоморфизм алгебр Ли.

  • Алгебра дифференцирований -алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
  • Пример: пусть — открытое множество в и ; тогда — дифференцирование алгебры .