Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
<ul><li>Пространство билинейных форм: <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>V=K^n</math>, <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg</math> (<math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math>, <math>s\in V</math>). | <ul><li>Пространство билинейных форм: <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>V=K^n</math>, <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg</math> (<math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math>, <math>s\in V</math>). | ||
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>. | <li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>. | ||
− | <li>Матрица Грама | + | <li>Матрица Грама: <math>(\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2}){}</math>. Утверждение: <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>. Лемма о матрице Грама. |
+ | <p><u>Лемма о матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>,<br><math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V</math>; тогда <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}{}</math>.</i></p> | ||
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>. | <li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>. | ||
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>. | <li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>. | ||
Строка 15: | Строка 16: | ||
<h5>8.2 ¯-Квадратичные формы</h5> | <h5>8.2 ¯-Квадратичные формы</h5> | ||
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)</math>. | <ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)</math>. | ||
− | <li>¯-Квадратичная форма в коорд.: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math> | + | <li>¯-Квадратичная форма в коорд.: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math> (если <math>\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K</math>, то <math>\kappa(v)</math> — однор. многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>). |
<li><u>Теорема о поляризации квадратичных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты:<br><math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i> | <li><u>Теорема о поляризации квадратичных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты:<br><math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i> | ||
<li><u>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем<br>следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i> | <li><u>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем<br>следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i> | ||
Строка 28: | Строка 29: | ||
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>. | <li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>. | ||
<li>Нахождение координат вектора при помощи невырожд. формы: <math>v^e=\sigma^{e,e}\!\cdot((\flat_\sigma v)_e)^\mathtt T\!=\sigma^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_n)\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Теорема о базисах и невырожденных формах. | <li>Нахождение координат вектора при помощи невырожд. формы: <math>v^e=\sigma^{e,e}\!\cdot((\flat_\sigma v)_e)^\mathtt T\!=\sigma^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_n)\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Теорема о базисах и невырожденных формах. | ||
− | <p><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math> | + | <p><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math> и<br><math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K){}</math>, если и только если <math>(v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U){}</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i></p> |
<li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополн.-е: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>. | <li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополн.-е: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>. | ||
<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul> | <li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul> | ||
Строка 34: | Строка 35: | ||
<h5>8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5> | <h5>8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5> | ||
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогонал. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{j=1}^n\sigma_{j,j}\,v^j\overline{w^j}</math>. | <ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогонал. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{j=1}^n\sigma_{j,j}\,v^j\overline{w^j}</math>. | ||
− | <li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — | + | <li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>. |
<li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>;<br>тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i> | <li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>;<br>тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i> | ||
<li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами. | <li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами. | ||
<p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p> | <p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p> | ||
− | <p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ. такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p> | + | <p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ.-т такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p> |
<li>Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U<\infty</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>; тогда <math>\forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)</math></i>. | <li>Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U<\infty</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>; тогда <math>\forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)</math></i>. | ||
− | <li><u> | + | <li><u>Лемма об определителе матрицы Грама.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle{}</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m){}</math>; тогда <math>\,\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{m-1}),(v_1,\ldots,v_{m-1})}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m){}</math>.</i> |
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор<br>матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>,<br>а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i> | <li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор<br>матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>,<br>а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i> | ||
<li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul> | <li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul> | ||
Строка 61: | Строка 62: | ||
<li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i> | <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i> | ||
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расст. между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проектировании. | <li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расст. между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проектировании. | ||
− | <p><u>Теорема о расстояниях и проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\le V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,v'\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>;<br>(2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>;<br>(3) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).</i></p> | + | <p><u>Теорема о расстояниях и проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V{}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,v'\!\in V{}</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>;<br>(2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>;<br>(3) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).</i></p> |
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>. | <li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>. | ||
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>. | <li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>. | ||
Строка 71: | Строка 72: | ||
<li>Теорема о знаке базиса и формах объема. Мн.-во положит. форм объема в вект. пр.-ве с ориентацией: <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)=\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, где <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>. | <li>Теорема о знаке базиса и формах объема. Мн.-во положит. форм объема в вект. пр.-ве с ориентацией: <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)=\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, где <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>. | ||
<p><u>Теорема о знаке базиса и формах объема.</u> <i>Пусть <math>V</math> — вект. простр.-во с ориентацией и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о знаке базиса и формах объема.</u> <i>Пусть <math>V</math> — вект. простр.-во с ориентацией и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>.</i></p> | ||
− | <li>Каноническая форма объема в | + | <li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>. |
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама. | <li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама. | ||
− | <p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — | + | <p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}{}</math>;<br>(2) если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}</math>.</i></p> |
<li>Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>. | <li>Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>. | ||
<li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, | <li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, | ||
Строка 81: | Строка 82: | ||
<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>.</i></p></ul> | <p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>.</i></p></ul> | ||
− | + | <h3>10 Алгебры</h3> | |
<h5>10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5> | <h5>10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5> | ||
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — вект. пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>. | <ul><li><math>K</math>-Алгебра — вект. пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>. | ||
Строка 103: | Строка 104: | ||
<p><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся<br>из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i></p> | <p><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся<br>из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i></p> | ||
<li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>. | <li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>. | ||
− | <li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul | + | <li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul> |
Версия 01:00, 23 марта 2018
Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры
8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
8.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
- Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
- Матрица Грама: . Утверждение: . Лемма о матрице Грама.
Лемма о матрице Грама. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , , , ,
и ; тогда . - Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
- Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: и .
- Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
- Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
8.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в коорд.: (если , то — однор. многочлен степени от ).
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующие факты:
— симметричная билинейная форма (то есть ), а также ;
(2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем
следующие факты: — полуторалинейная форма (то есть ), а также ;
(2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , , .
- Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
- Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
- Топологич. невырожденность ( или , — нормир. вект. пр.-во, ): — биекция.
- Пример: или , и ; тогда топологич. невырождена (без док.-ва).
- Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
- Нахождение координат вектора при помощи невырожд. формы: . Теорема о базисах и невырожденных формах.
Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , и
; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополн.-е: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) если и форма невырождена, то , а также и ;
(3) и, если , то форма невырождена;
(4) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : ).
8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогонал. коорд. (): .
- Ортонормированный базис ( или ): — диагональная матрица с на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то сущ.-т такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали. - Утверждение: пусть , , форма невырождена и ; тогда .
- Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , , ,
, форма невырождена и ; тогда . - Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено и ,
а также (это индуктивная формула для нахождения векторов ). - Ортогонал. системы функций: и (), (), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).
9 Геометрия в векторных пространствах над или
9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
- Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: и .
- Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: и .
- Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть или , — вект. пр.-во над и ; тогда
(1) если и , то и, если , то форма невырождена и ;
(2) если , то , если и только если ;
(3) если и , то , если и только если . - Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Индексы инерции формы : и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — векторные пространства над полем , ,
и ; тогда , если и только если , и . - Сигнатура формы : (или ). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
9.2 Предгильбертовы пространства
- Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
- Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
- Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Метрика: . Расст. между подмн.-вами: . Теорема о расстояниях и проектировании.
Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть — предгильбертово пространство и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если , то для любых выполнено ;
(3) если , то для любых и выполнено и (это нерав.-во Бесселя). - Метод наименьших квадратов: замена системы , где , и , на систему .
- Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
- Псевдоевклидовопсевдоунитарное пр.-во сигнатуры — кон.-мерн. вект. пр.-во над с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры .
9.3 Ориентация, объем, векторное произведение
- Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
- Ориентация кон.-мерн. вект. пр.-ва над — выбор элемента множества . Знак набора векторов: .
- Теорема о знаке базиса и формах объема. Мн.-во положит. форм объема в вект. пр.-ве с ориентацией: , где .
Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — вект. простр.-во с ориентацией и ; тогда .
- Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
(1) ;
(2) если векторы попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Векторное произведение в коорд.-х: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и .
10 Алгебры
10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
- -Алгебра — вект. пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из .
- Примеры: , , , , ; -алгебры , , , . Структурные константы алгебры: .
- Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъект. гомоморфизмы -алгебр: и .
Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство
над полем , получающееся из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
(2) отображение — инъективный гомоморфизм алгебр с . - Алгебра с делением: и . Примеры: , ; -алгебры с делением , и алгебра октонионов (октав) .
- Моноидная алгебра ( — моноид): ; общий вид эл.-та: (); умножение в : свертка.
- Алгебра многочленов от свободных переменных: . Одночлены: . Степень. Однородные многочлены.
- Алгебра многочленов от коммут. перем.: . Одночлены: (). Степень. Однор. многочлены.
- Алгебра многочленов от антикоммут. перем.: .
10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
- -Алгебра Ли — -алгебра, умножение в которой антисимметрично () и удовлетворяет тождеству Якоби ().
- Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : вект. простр.-во с операцией . Утверждение: алгебра — алгебра Ли.
- Примеры: , , с векторным умножением — алгебра Ли, так как в алгебре Ли .
- Матричные алгебры Ли: , , , , .
- Утверждение: и (здесь или ), а также , , .
- Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы -алгебр Ли: , и .
Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и — -алгебра Ли; обозначим через векторное пространство над полем , получающееся
из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
(2) отображение — гомоморфизм алгебр Ли. - Алгебра дифференцирований -алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
- Пример: пусть — открытое подмножество в и ; тогда — дифференцирование алгебры .