Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 39: | Строка 39: | ||
<h5>3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами</h5> | <h5>3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами</h5> | ||
<ul><li>Симметрическая степень: <math>\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}</math>. Внешняя степень: <math>\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}</math>. | <ul><li>Симметрическая степень: <math>\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}</math>. Внешняя степень: <math>\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>\iota</math> канонический изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota\bigr)</math> (напоминание: <math>\mathrm{pat}_u(\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k)=\lambda_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_{u^{-1}(k)}</math> и <math>(\mathrm{paf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})</math>);<br>(2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> | + | <li><u>Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>\iota</math> канонический изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota\bigr)</math> (напоминание: <math>\mathrm{pat}_u(\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k)=\lambda_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_{u^{-1}(k)}</math> и <math>(\mathrm{paf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})</math>);<br>(2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV</math> (далее пространства <math>\,\mathsf S^kV^*</math> и <math>\,\mathrm{SMulti}_kV</math> отождествляются);<br>(3) <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*\!\cong\mathrm{AMulti}_kV</math> (далее пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*</math> и <math>\,\mathrm{AMulti}_kV</math> отождествляются).</i> |
<li>Оператор симметризации: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u</math>. Оператор альтернирования: <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании. | <li>Оператор симметризации: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u</math>. Оператор альтернирования: <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании. | ||
<p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, а также <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (и, значит, <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> | <p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, а также <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (и, значит, <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> | ||
Строка 55: | Строка 55: | ||
<li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
<li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по неубыванию;<br>(2) <math>\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по | + | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по неубыванию;<br>(2) <math>\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию;<br>(3) <math>\mathsf S(V)\cong K[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и <math>\,\mathsf\Lambda(V)\cong K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.</i> |
+ | <li><u>Теорема о внешнем произведении антисимметричных полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k,k'\!\in\mathbb N_0</math>, <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V</math>; тогда<br>(1) если <math>n=\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\omega=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}\!=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}</math>;<br>(2) для любых <math>w_1,\ldots,w_{k+k'}\!\in V</math> выполнено <math>(\omega\wedge\omega')(w_1,\ldots,w_{k+k'})=\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le k+k',\,1\le j_1'<\ldots<j_{k'}'\le k+k'}\!\!\!\!\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,j_1',\ldots,j_{k'}'}\omega(w_{j_1},\ldots,w_{j_k})\,\omega'(w_{j_1'},\ldots,w_{j_{k'}'})</math>.</i></ul> | ||
<h3>3.6 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 2)</h3> | <h3>3.6 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 2)</h3> | ||
<h5>3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа</h5> | <h5>3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа</h5> | ||
− | <ul><li>Каноническая форма объема псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math> | + | <ul><li>Каноническая форма объема в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>. |
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама. | <li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама. | ||
<p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math>, <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_n)</math>; тогда<br><math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}</math> и, если <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}</math>.</i></p> | <p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math>, <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_n)</math>; тогда<br><math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}</math> и, если <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}</math>.</i></p> | ||
Строка 68: | Строка 69: | ||
<li>Векторное произведение в коорд.-х: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\varepsilon^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i}_{j_1,\ldots,j_{n-1}}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении. | <li>Векторное произведение в коорд.-х: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\varepsilon^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i}_{j_1,\ldots,j_{n-1}}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении. | ||
<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>.</i></p> | ||
− | <li>Оператор Ходжа в | + | <li>Оператор Ходжа в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\,\lambda_1,\ldots,\sharp\,\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Пример: <math>*\,1=\mathrm{vol}\,</math>. |
<li>Пример: <math>\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}</math>. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. | <li>Пример: <math>\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}</math>. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. | ||
− | <p><u>Лемма об операторе Ходжа в координатах.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклид. пр.-во с ориент., <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math>, <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le i_1,\ldots,i_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,j_{k+1},\ldots,j_n}\omega^{i_1,\ldots,i_k}</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и <math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^ | + | <p><u>Лемма об операторе Ходжа в координатах.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклид. пр.-во с ориент., <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math>, <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le i_1,\ldots,i_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,j_{k+1},\ldots,j_n}\omega^{i_1,\ldots,i_k}</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и <math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_n}</math>, где<br><math>j_{k+1},\ldots,j_n</math> образуют дополнительный набор к <math>j_1,\ldots,j_k</math> (то есть <math>\{j_1,\ldots,j_n\}=\{1,\ldots,n\}</math> и <math>j_{k+1}\!<\ldots<j_n</math>); в частности, <math>*\,\mathrm{vol}=(-1)^{\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}</math>.</i></p> |
<p><u>Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевкл. пр.-во с ориент., <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>*\!*\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств);<br>(2) для любых <math>\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}</math>, где <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\wedge k}\omega)</math> (в координатах <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>);<br>(3) для любых <math>v,w\in V</math> вып. <math>*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)</math>, и, если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> вып. <math>(u\times v)\times w=(-1)^q\,((u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u)</math>.</i></p></ul> | <p><u>Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевкл. пр.-во с ориент., <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>*\!*\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств);<br>(2) для любых <math>\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}</math>, где <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\wedge k}\omega)</math> (в координатах <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>);<br>(3) для любых <math>v,w\in V</math> вып. <math>*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)</math>, и, если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> вып. <math>(u\times v)\times w=(-1)^q\,((u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u)</math>.</i></p></ul> | ||
Версия 03:00, 11 декабря 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существ. единств. такой , что
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензор типа в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых его элементов и выполнено
, а также — алгебра многочленов от своб. перем.-х.
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание индекса с -й позиции: . Подъем индекса с -й поз.-и: .
- Опускание индекса с -й позиции в коорд. (применение операции выражается в располож.-и индексов): .
- Подъем индекса с -й позиции в коорд. (применение операции выражается в расположении индексов): .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (далее пространства и отождествляются);
(3) и (далее пространства и отождествляются). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв.-е векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единственный такой , что ;
(2) для любых существует единственный такой , что . - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где числа суть числа , упорядоченные по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где суть , упоряд. по неубыванию;
(3) — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х. - Теорема о внешнем произведении антисимметричных полилинейных форм. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; тогда
(1) если , то для любых выполнено ;
(2) для любых выполнено .
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Каноническая форма объема в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Векторное произведение в коорд.-х: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и . - Оператор Ходжа в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией: . Пример: .
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где
образуют дополнительный набор к (то есть и ); в частности, .Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых вып. , и, если , то для любых вып. .
3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Матричная группа Лоренца: , где . Двумерная сфера: ().
- Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: и . - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (это опр.-е не завис. от выбора базиса).
- Спинорная модель пр.-ва Минковского: — пр.-во эрмит.-х матриц разм. . Матрицы Паули: , , .
- Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Пусть ; тогда и .
(2) Пусть , и ; тогда и .
(3) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
(4) Обозначая через подпространство в , имеем следующие факты: , сужение формы из пункта (3), взятое с
противоположным знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и , а также . - Утверждение: . Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва).
Теорема о бустах и поворотах. Пусть , и ; тогда — буст в с быстротой вдоль оси с направляющим
вектором , и — поворот в на угол вокруг оси с направляющим вектором . - Спинорные представления: и — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).
3.7 Многообразия (часть 2)
3.7.1 Тензорные поля, дифференциальные формы, ориентация многообразия
- Расслоение тензоров типа : . Пр.-во тензорн. полей типа : .
- Тенз. поле в коорд.: . Примеры: , .
- Преобр. координат тензорного поля при замене координат на : .
- Пр.-во дифференц. -форм: . В коорд.-х: .
- Алгебра дифференциальных форм: — ассоциат. суперкоммут. -алгебра с . Теорема о внешнем дифференциале (эскиз доказ.-ва).
Теорема о внешнем дифференциале. Пусть — многообразие; тогда существует единственный такой линейный оператор , что
(то есть — супердифференцирование алгебры ), а также
для любых выполнено и (напоминание: ). - Дифференциал в коорд.-х: . Утверждение: . Замкнутая форма: . Точная форма: .
- Ориентация многообразия — такой выбор ориентаций всех пространств , где , что .
- Атлас : ; тогда .
3.7.2 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
- Метрический тензор сигнатуры : и для любых выполнено — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры на .
- Риманово многообразие — мн.-зие с полож. опред. метр. тензором. Псевдориманово многообразие сигнат. — мн.-зие с метр. тензором сигнат. .
- Бемоль, диез и оператор Ходжа на псевдоримановом мн.-зии с ориентацией: , и .
- Градиент функции: ; ротор и дивергенция вект. поля: и ; лапласиан функции: .