Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 32: | Строка 32: | ||
<p><u>Теорема о свертках тензоров малой валентности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)</math>, <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)</math>, <math>a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)</math> и <math>\lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)</math>;<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))</math> и <math>\flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о свертках тензоров малой валентности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)</math>, <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)</math>, <math>a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)</math> и <math>\lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)</math>;<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))</math> и <math>\flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)</math>.</i></p> | ||
<li><u>Теорема об обратном метрическом тензоре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}</math> (тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> — обратный тензор по отношению к тензору <math>\sigma</math>);<br>(2) под действием канонического изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> переходит в форму <math>(\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)</math>;<br>(3) для любых <math>\lambda\in V^*</math> выполнено <math>\sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)</math>.</i> | <li><u>Теорема об обратном метрическом тензоре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}</math> (тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> — обратный тензор по отношению к тензору <math>\sigma</math>);<br>(2) под действием канонического изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> переходит в форму <math>(\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)</math>;<br>(3) для любых <math>\lambda\in V^*</math> выполнено <math>\sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)</math>.</i> | ||
− | <li>Опускание индекса с <math>b</math>-й | + | <li>Опускание индекса с <math>b</math>-й позиции: <math>(\mathrm{id}_V)^{\otimes(b-1)}\!\otimes\flat_\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_V)^{\otimes(p-b)}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes q}</math>. Подъем индекса с <math>d</math>-й поз.-и: <math>(\mathrm{id}_V)^{\otimes p}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(d-1)}\!\otimes\sharp^\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(q-d)}</math>. |
− | <li> | + | <li>Опускание индекса с <math>b</math>-й позиции в коорд. (применение операции выражается в располож.-и индексов): <math>T^{i_1,\ldots,i_{b-1}\,\,i_{b+1},\ldots,i_p}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q}\!=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\sigma_{i_b,j}</math>. |
− | <li>Подъем индекса с <math>d</math>-й позиции в коорд. (применение | + | <li>Подъем индекса с <math>d</math>-й позиции в коорд. (применение операции выражается в расположении индексов): <math>T^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,i}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\,j_1,\ldots,j_{d-1}\,\,j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n\sigma^{i,j_d}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_d,\ldots,j_q}\!</math>.</ul> |
<h3>3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств</h3> | <h3>3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств</h3> | ||
Строка 91: | Строка 91: | ||
<li>Пр.-во дифференц. <math>k</math>-форм: <math>\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm{Tens}_k(M)\mid\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{AMulti}_k(\mathrm T_mM)\bigr)\}</math>. В коорд.-х: <math>\omega=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>. | <li>Пр.-во дифференц. <math>k</math>-форм: <math>\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm{Tens}_k(M)\mid\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{AMulti}_k(\mathrm T_mM)\bigr)\}</math>. В коорд.-х: <math>\omega=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>. | ||
<li>Алгебра дифференциальных форм: <math>\Omega(M)=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)</math> — ассоциат. суперкоммут. <math>\mathbb R</math>-алгебра с <math>1</math>. Теорема о внешнем дифференциале (эскиз доказ.-ва). | <li>Алгебра дифференциальных форм: <math>\Omega(M)=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)</math> — ассоциат. суперкоммут. <math>\mathbb R</math>-алгебра с <math>1</math>. Теорема о внешнем дифференциале (эскиз доказ.-ва). | ||
− | <p><u>Теорема о внешнем дифференциале.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие; тогда существует единственный такой линейный оператор <math>\mathrm d\in\mathrm{End}(\Omega(M))</math>, что<br><math>\forall\,k,k'\!\in\mathbb N_0,\,\omega\in\Omega^k(M),\,\omega'\!\in\Omega^{k'}\!(M)\;\bigl(\mathrm d(\omega\wedge\omega')=\mathrm d\omega\wedge\omega'+(-1)^k\,\omega\wedge\mathrm d\omega'\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm d</math> — супердифференцирование алгебры <math>\,\Omega(M)</math>), а также<br>для любых <math>f\in\mathrm C^\infty\!(M)</math> выполнено <math>\mathrm d(f)=\mathrm df</math> и <math>\mathrm d(\mathrm df)=0</math> (напоминание: <math>\forall\,m\in M,\,\gamma\in\mathrm{Curv}(M | + | <p><u>Теорема о внешнем дифференциале.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие; тогда существует единственный такой линейный оператор <math>\mathrm d\in\mathrm{End}(\Omega(M))</math>, что<br><math>\forall\,k,k'\!\in\mathbb N_0,\,\omega\in\Omega^k(M),\,\omega'\!\in\Omega^{k'}\!(M)\;\bigl(\mathrm d(\omega\wedge\omega')=\mathrm d\omega\wedge\omega'+(-1)^k\,\omega\wedge\mathrm d\omega'\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm d</math> — супердифференцирование алгебры <math>\,\Omega(M)</math>), а также<br>для любых <math>f\in\mathrm C^\infty\!(M)</math> выполнено <math>\mathrm d(f)=\mathrm df</math> и <math>\mathrm d(\mathrm df)=0</math> (напоминание: <math>\forall\,m\in M,\,\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)\;\bigl((\mathrm df(m))(\dot\gamma(0))=(f\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(0)\bigr)</math>).</i></p> |
<li>Дифференциал в коорд.-х: <math>\mathrm d(f\,\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k})=\mathrm df\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>. Утверждение: <math>\mathrm d^2=0</math>. Замкнутая форма: <math>\mathrm d\omega=0</math>. Точная форма: <math>\omega=\mathrm d\psi</math>. | <li>Дифференциал в коорд.-х: <math>\mathrm d(f\,\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k})=\mathrm df\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>. Утверждение: <math>\mathrm d^2=0</math>. Замкнутая форма: <math>\mathrm d\omega=0</math>. Точная форма: <math>\omega=\mathrm d\psi</math>. | ||
<li>Ориентирующий атлас: <math>\forall\,\xi,\tilde\xi\in\mathcal A,\,m\in\mathrm{Dom}\,\xi\cap\mathrm{Dom}\,\tilde\xi\;\bigl(\det\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)>0\bigr)</math>. Ориентация многообразия — выбор максимального ориентир. атласа <math>\mathcal A_{>0}</math>. | <li>Ориентирующий атлас: <math>\forall\,\xi,\tilde\xi\in\mathcal A,\,m\in\mathrm{Dom}\,\xi\cap\mathrm{Dom}\,\tilde\xi\;\bigl(\det\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)>0\bigr)</math>. Ориентация многообразия — выбор максимального ориентир. атласа <math>\mathcal A_{>0}</math>. |
Версия 05:00, 26 ноября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существ. единств. такой , что
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензор типа в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых его элементов и выполнено
, а также — алгебра многочленов от своб. перем.-х.
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание индекса с -й позиции: . Подъем индекса с -й поз.-и: .
- Опускание индекса с -й позиции в коорд. (применение операции выражается в располож.-и индексов): .
- Подъем индекса с -й позиции в коорд. (применение операции выражается в расположении индексов): .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (и, значит, и ). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв. векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единственный такой , что ;
(2) для любых существует единственный такой , что . - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где числа суть числа , упорядоченные по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где суть , упоряд. по возрастанию;
(3) — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Каноническая форма объема псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): (если , то ).
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Векторное произведение в коорд.-х: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и . - Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: (здесь ).
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где числа
суть числа из множества , упорядоченные по возрастанию (в частности, и ).Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых вып. , и, если , то для любых вып. .
3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Матричная группа Лоренца: , где . Двумерная сфера: ().
- Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: и . - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (это опр.-е не завис. от выбора базиса).
- Спинорная модель пр.-ва Минковского: — пр.-во эрмит.-х матриц разм. . Матрицы Паули: , , .
- Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Пусть ; тогда и .
(2) Пусть , и ; тогда и .
(3) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
(4) Обозначая через подпространство в , имеем следующие факты: , сужение формы из пункта (3), взятое с
противоположным знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и , а также . - Утверждение: . Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва).
Теорема о бустах и поворотах. Пусть , и ; тогда — буст в с быстротой вдоль оси с направляющим
вектором , и — поворот в на угол вокруг оси с направляющим вектором . - Спинорные представления: и — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).
3.7 Многообразия (часть 2)
3.7.1 Тензорные поля, дифференциальные формы, ориентация многообразия
- Расслоение тензоров типа : . Пр.-во тензорн. полей типа : .
- Тенз. поле в коорд.: . Примеры: , .
- Преобр. координат тензорного поля при замене координат на : .
- Пр.-во дифференц. -форм: . В коорд.-х: .
- Алгебра дифференциальных форм: — ассоциат. суперкоммут. -алгебра с . Теорема о внешнем дифференциале (эскиз доказ.-ва).
Теорема о внешнем дифференциале. Пусть — многообразие; тогда существует единственный такой линейный оператор , что
(то есть — супердифференцирование алгебры ), а также
для любых выполнено и (напоминание: ). - Дифференциал в коорд.-х: . Утверждение: . Замкнутая форма: . Точная форма: .
- Ориентирующий атлас: . Ориентация многообразия — выбор максимального ориентир. атласа .
- Ориентация касат. простр.-в к многообразию с ориент.: , где и . Корректность опр.-я.
3.7.2 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
- Метрический тензор сигнатуры : и для любых выполнено — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры на .
- Риманово многообразие — мн.-зие с полож. опред. метр. тензором. Псевдориманово многообразие сигнат. — мн.-зие с метр. тензором сигнат. .
- Бемоль, диез и оператор Ходжа на псевдоримановом мн.-зии с ориентацией: , и .
- Градиент функции: ; ротор и дивергенция вект. поля: и ; лапласиан функции: .