Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 71: | Строка 71: | ||
<li>Пример: <math>\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}</math>. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. | <li>Пример: <math>\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}</math>. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. | ||
<p><u>Лемма об операторе Ходжа в координатах.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклид. пр.-во с ориент., <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math>, <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le i_1,\ldots,i_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,j_{k+1},\ldots,j_n}\omega^{i_1,\ldots,i_k}</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и <math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^n</math>, где числа<br><math>j_{k+1},\ldots,j_n</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{j_1,\ldots,j_k\}</math>, упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*\,1=\mathrm{vol}\,</math> и <math>\,*\,\mathrm{vol}=(-1)^{\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}</math>).</i></p> | <p><u>Лемма об операторе Ходжа в координатах.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклид. пр.-во с ориент., <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math>, <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le i_1,\ldots,i_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,j_{k+1},\ldots,j_n}\omega^{i_1,\ldots,i_k}</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и <math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^n</math>, где числа<br><math>j_{k+1},\ldots,j_n</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{j_1,\ldots,j_k\}</math>, упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*\,1=\mathrm{vol}\,</math> и <math>\,*\,\mathrm{vol}=(-1)^{\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}</math>).</i></p> | ||
− | <p><u>Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевкл. пр.-во с ориент., <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>**\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных простр.-в);<br>(2) для любых <math>\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}</math>, где <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\otimes k}\omega)</math> (в координатах <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>);<br>(3) для любых <math>v,w\in V</math> | + | <p><u>Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевкл. пр.-во с ориент., <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>**\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных простр.-в);<br>(2) для любых <math>\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}</math>, где <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\otimes k}\omega)</math> (в координатах <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>);<br>(3) для любых <math>v,w\in V</math> вып. <math>*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)</math>, и, если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> вып. <math>(u\times v)\times w=(-1)^q\,((u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u)</math>.</i></p></ul> |
<h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | <h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | ||
<ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)\mid\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta\,\}</math>, где <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Двумерная сфера: <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math> (<math>\|v\|=\!\sqrt{v^\mathtt Tv\,}</math>). | <ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)\mid\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta\,\}</math>, где <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Двумерная сфера: <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math> (<math>\|v\|=\!\sqrt{v^\mathtt Tv\,}</math>). | ||
− | <li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,u=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,u=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>u,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>f=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon f^\mathtt Tu\;\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2f^\mathtt Tf-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det f</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det f))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из | + | <li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,u=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,u=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>u,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>f=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon f^\mathtt Tu\;\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2f^\mathtt Tf-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det f</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det f))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}</math>.</i> |
<li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;u^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,u\,u^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>. | <li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;u^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,u\,u^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>. | ||
<li>Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (это опр.-е не завис. от выбора базиса). | <li>Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (это опр.-е не завис. от выбора базиса). |
Версия 19:00, 14 ноября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существ. единств. такой , что
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензоры типа в координ.-х: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых элементов и этого базиса
выполнено (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное
на базисе отображение , — изоморфизм алгебр с ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание с -й поз.-и на -ю: .
- Подъем с -й позиции на -ю: .
- Опускание и подъем индексов в коорд.-х: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (и, значит, и ). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв. векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единственный такой , что ;
(2) для любых существует единственный такой , что . - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых элементов и этого
базиса выполнено , где числа суть числа , упоряд. по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа
суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Каноническая форма объема псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): (если , то ).
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Вект. произведение в координатах: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и . - Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: (здесь ).
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где числа
суть числа из множества , упорядоченные по возрастанию (в частности, и ).Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных простр.-в);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых вып. , и, если , то для любых вып. .
3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Матричная группа Лоренца: , где . Двумерная сфера: ().
- Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: и . - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (это опр.-е не завис. от выбора базиса).
- Спинорная модель пр.-ва Минковского: — пр.-во эрмит.-х матриц разм. . Матрицы Паули: , , .
- Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Пусть ; тогда и .
(2) Пусть , и ; тогда и .
(3) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
(4) Обозначая через подпространство в , имеем следующие факты: , сужение формы из пункта (3), взятое с
противоположным знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и , а также . - Теорема об описании бустов и поворотов в спинорной модели. Пусть , и ; тогда — буст с быстротой
вдоль оси с направляющим вектором , и — поворот на угол вокруг оси с направляющим вектором . - Спинорные представления: и — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).