Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 14:00, 16 декабря 2017

1  Основы алгебры

1.1  Множества, отображения, отношения

1.1.1  Множества

• Логические операции: ${\displaystyle \lnot }$ — отрицание («не»), ${\displaystyle \lor }$ — дизъюнкция («или»), ${\displaystyle \land }$ — конъюнкция («и»), ${\displaystyle \Rightarrow }$ — импликация («влечет»), ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ — эквивалентность.
• Кванторы: ${\displaystyle \exists }$ — существование («существует»), ${\displaystyle \forall }$ — всеобщность («для любых»), ${\displaystyle \exists !}$ — существование и единственность («существует единственный»).
• Принадлежность: ${\displaystyle \in }$. Равенство множеств: ${\displaystyle X=Y\,\Leftrightarrow\,\forall\,z\;\bigl(z\in X\,\Leftrightarrow\,z\in Y\bigr)}$. Включение и строгое включение между множ.-вами: ${\displaystyle X\subseteq Y}$ и ${\displaystyle X\subset Y}$.
• Кванторы по элементам множества: ${\displaystyle \exists\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)}$ и ${\displaystyle \forall\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)}$. Задание множества перечислением элементов: ${\displaystyle \{\ldots \}}$. Пустое множество: ${\displaystyle \varnothing }$.
• Выделение подмножества: ${\displaystyle \{x\in X\mid p(x)\}}$. Операции над мн.-вами: ${\displaystyle \cup }$ — объединение, ${\displaystyle \cap }$ — пересечение, ${\displaystyle \setminus }$ — разность, ${\displaystyle \times }$ — прямое произведение.
• Теорема об операциях над множествами. Пусть ${\displaystyle X,Y,Z}$ — множества; тогда
  (1) ${\displaystyle (X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)}$ и ${\displaystyle X\cup Y=Y\cup X}$, а также ${\displaystyle (X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)}$ и ${\displaystyle X\cap Y=Y\cap X}$;
  (2) ${\displaystyle X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)}$ и ${\displaystyle X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)}$;
  (3) если ${\displaystyle U}$ — множество и ${\displaystyle X,Y\subseteq U}$, то ${\displaystyle U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)}$ и ${\displaystyle U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)}$.
• Числовые множества: ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$).
• Множество подмножеств мн.-ва ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle 2^{X}}$. Прямая степень мн.-ва ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$): ${\displaystyle X^{n}}$. Порядок (количество элементов) мн.-ва ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle |X|}$ (${\displaystyle |X|\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}}$).

1.1.2  Отображения

• Множество отображений, действующих из мн.-ва ${\displaystyle X}$ в мн.-во ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \mathrm {Map} (X,Y)}$. Область отобр.-я ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Dom} \,f}$. Кообласть отобр.-я ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Codom} \,f}$. Примеры.
• Образ множества ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle A\subseteq X}$): ${\displaystyle f(A)}$, прообраз множества ${\displaystyle B}$ относительно ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle B\subseteq Y}$): ${\displaystyle f^{-1}(B)}$, образ отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f=f(X)}$.
• Сужения отображения ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle f(A)\subseteq B\subseteq Y}$): ${\displaystyle f|_{A}}$ и ${\displaystyle f|_{A\to B}}$. Сокращенная запись образа: ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}}$.
• Инъекции: ${\displaystyle \mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}}$. Сюръекции: ${\displaystyle \mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}}$.
• Биекции: ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)}$. Композиция отображений ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$. Тождественное отображение: ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$.
• Теорема о композиции отображений. Пусть ${\displaystyle X,Y}$ — множества и ${\displaystyle f\in \mathrm {Map} (X,Y)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{X}=f}$, ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ f=f}$ и, если ${\displaystyle Z,W}$ — множества, ${\displaystyle g\in \mathrm {Map} (Y,Z)}$ и ${\displaystyle h\in \mathrm {Map} (Z,W)}$, то ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$;
  (2) если ${\displaystyle X\neq \varnothing }$, то ${\displaystyle f}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle \exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\bigr)}$;
  (3) ${\displaystyle f}$ — сюръекция, если и только если ${\displaystyle \exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)}$;
  (4) ${\displaystyle f}$ — биекция, если и только если ${\displaystyle \exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\,\land\,f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)}$.
• Отображение ${\displaystyle f^{-1}}$, обратное к отображению ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X}$ и ${\displaystyle f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y}$. Пример: взаимно обратные биекции ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)}$ и ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)}$.

1.1.3  Отношения

• Множество отношений между множествами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \mathrm {Rel} (X,Y)}$. Область отношения ${\displaystyle \Delta }$: ${\displaystyle \mathrm {Dom} \,\Delta }$. Кообласть отношения ${\displaystyle \Delta }$: ${\displaystyle \mathrm {Codom} \,\Delta }$. Примеры.
• Отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на ${\displaystyle X}$ — такое отн.-е между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle X}$, что ${\displaystyle \forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\sim x\,\land\,(x\sim y\,\Rightarrow\,y\sim x)\,\land\,(x\sim y\,\land\,y\sim z\,\Rightarrow\,x\sim z)\bigr)}$.
• Класс эквивалентности: ${\displaystyle [x]_\sim\!=\{\breve x\in X\mid x\sim\breve x\}}$. Утверждение: ${\displaystyle x\sim\breve x\;\Leftrightarrow\,[x]_\sim\!=[\breve x]_\sim}$. Фактормножество: ${\displaystyle X/{\sim}=\{[x]_\sim\!\mid x\in X\}}$. Трансверсали.
• Разбиение ${\displaystyle \mathcal P}$ множества ${\displaystyle X}$ — такое подмн.-во в ${\displaystyle 2^X\!\setminus\!\{\varnothing\}}$, что ${\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal P}\!A=X}$ и ${\displaystyle \forall\,A,B\in\mathcal P\;\bigl(A\ne B\,\Rightarrow A\cap B=\varnothing\bigr)}$. Утверждение: ${\displaystyle X/{\sim}}$ — разбиение.
• Отношение ${\displaystyle {\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}}$: ${\displaystyle x\underset{\scriptscriptstyle f}\sim\breve x\;\Leftrightarrow\,f(x)=f(\breve x)}$. Мн.-во слоев отобр.-я ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}}$ (${\displaystyle =X/{\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}}$). Факторотображение ${\displaystyle \Biggl(\!\begin{align}X/{\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}&\to\mathrm{Im}\,f\\{[x]_\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}\!&\mapsto f(x)\end{align}\Biggr)}$ — биекция.
• Утверждение: ${\displaystyle \sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|}$. Принцип Дирихле. Пусть ${\displaystyle X,Y}$ — множества и ${\displaystyle |X|=|Y|<\infty }$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)}$.
• Отношение порядка ${\displaystyle \preceq}$ на ${\displaystyle X}$ — такое отн.-е между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle X}$, что ${\displaystyle \forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\preceq x\,\land\,(x\preceq y\,\land\,y\preceq x\,\Rightarrow\,x=y)\,\land\,(x\preceq y\,\land\,y\preceq z\,\Rightarrow\,x\preceq z)\bigr)}$.
• Наименьший эл.-т ${\displaystyle a}$ мн.-ва ${\displaystyle X}$ с отн.-ем порядка ${\displaystyle \preceq}$: ${\displaystyle \forall\,x\in X\;\bigl(a\preceq x\bigr)}$. Единственность наименьшего эл.-та. Наибольший эл.-т мн.-ва с отн.-ем порядка.

1.2  Группы (часть 1)

1.2.1  Множества с операцией

• Внутренняя ${\displaystyle n}$-арная операция на мн.-ве ${\displaystyle S}$ — отображение, действующее из ${\displaystyle S^{n}}$ в ${\displaystyle S}$ (нульарная операция на ${\displaystyle S}$ — выделенный элемент множества ${\displaystyle S}$).
• Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: ${\displaystyle \mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}}$.
• Изоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)}$. Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: ${\displaystyle \mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)}$. Автоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)}$.
• Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle S,V,Y}$ — множества с ${\displaystyle n}$-арной операцией; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (S,V)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$ выполнено ${\displaystyle g\circ f\in \mathrm {Hom} (S,Y)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle f\in \mathrm {Iso} (S,V)}$ выполнено ${\displaystyle f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)}$.
• Обозначение по Минковскому: ${\displaystyle o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}}$. Примеры: ${\displaystyle \mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}}$, ${\displaystyle \mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$.
• Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: ${\displaystyle \forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}}$; коммутативность (абелевость): ${\displaystyle \forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}}$.
• Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.

  Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть ${\displaystyle S}$ — полугруппа, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$; тогда значение выражения ${\displaystyle s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}}$ не зависит от
  расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)

• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
• Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций ${\displaystyle \mathrm {Func} (X,M)}$, моноиды отображений ${\displaystyle \mathrm {Map} (X)}$, моноиды слов ${\displaystyle \mathrm W(X)}$ и ${\displaystyle \mathrm W(X)^\mathtt{ab}}$.
• Обратимые элементы: ${\displaystyle M^\times\!=\{m\in M\mid\exists\,m'\!\in M\;\bigl(m'\,m=m\,m'=1\bigr)\}}$. Единственность обратного элемента. Утверждение: ${\displaystyle M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }}$.
• Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа ${\displaystyle M^{\times }}$ (${\displaystyle M}$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: ${\displaystyle G\cong J}$.
• Примеры: числовые группы, группы остатков ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{+}}$ и ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{\times }}$, группы функций ${\displaystyle \mathrm {Func} (X,G)}$, группы биекций ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X)}$, свободные группы ${\displaystyle \mathrm F(X)}$.
• Группа изометрий пр.-ва ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: ${\displaystyle \mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{g\in\mathrm{Bij}(\mathbb R^n)\mid\forall\,v,w\in\mathbb R^n\,\bigl(\|g(v)-g(w)\|=\|v-w\|\bigr)\}}$, где ${\displaystyle \|(v^1,\ldots,v^n)\|=\!\sqrt{(v^1)^2+\ldots+(v^n)^2}}$.
• Симметрические группы: ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\mathrm {Bij} (\{1,\ldots ,n\})}$. Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.

  Лемма о циклах. Пусть ${\displaystyle l,m,n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}}$, числа ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k}$ попарно различны и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$; тогда
  ${\displaystyle (i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})}$, а также ${\displaystyle u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))}$.

• Мультипликативные обозначения: ${\displaystyle g\,h}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle g^{-1}}$, ${\displaystyle g^{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$). Степени эл.-та группы. Аддитивные обозн.-я в абелевой группе: ${\displaystyle a+b}$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle -a}$, ${\displaystyle n\,a}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$).

1.2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы

• Подгруппа: ${\displaystyle H\le G\,\Leftrightarrow\,H\,H\subseteq H\,\land\,1\in H\,\land\,H^{-1}\!\subseteq H}$. Подгруппа, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle }$ — наименьш. относ.-но ${\displaystyle \subseteq }$ подгруппа, содержащая ${\displaystyle D}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\!\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}}$ (в частности, ${\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}}$). Пример: ${\displaystyle (\mathbb Z/n)^+\!=\langle1\rangle}$.
• Отношения ${\displaystyle {\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}}$ и ${\displaystyle {\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}}$ (${\displaystyle H\leq G}$): ${\displaystyle g\,{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H}$) и ${\displaystyle g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\,{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}}$). Утверждение: ${\displaystyle [g]\!_\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\!=gH}$ и ${\displaystyle [g]_\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\!\!=Hg}$.
• Множества классов смежности: ${\displaystyle G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}}$ и ${\displaystyle H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}}$. Теорема Лагранжа. Индекс: ${\displaystyle |G:H|=|G/H|}$.

  Теорема Лагранжа. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle |G|<\infty }$ и ${\displaystyle H\leq G}$; тогда ${\displaystyle |G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|}$ (и, значит, ${\displaystyle |H|}$ делит ${\displaystyle |G|}$).

• Порядок элемента: ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}}$ (${\displaystyle \mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$). Утверждение: пусть ${\displaystyle n=\mathrm {ord} (g)<\infty }$; тогда ${\displaystyle \{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z} }$.
• Лемма о порядке элемента. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и ${\displaystyle g\in G}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |}$ и, если ${\displaystyle |G|<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ делит ${\displaystyle |G|}$ и ${\displaystyle g^{|G|}\!=1}$.
• Теорема об обратимых остатках.
  (1) Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} /n}$; тогда ${\displaystyle \mathrm{ord}_{(\mathbb Z/n)^+\!}(a)=\frac n{\gcd(a,n)}}$.
  (2) Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$; тогда ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}}$ (в частности, если ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, то ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{\times }\!=(\mathbb {Z} /p)\!\setminus \!\{0\}}$).
  (3) Пусть ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle p}$ не делит ${\displaystyle a}$; тогда ${\displaystyle a^{p-1}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)}$ (это малая теорема Ферма).
• Циклическая группа: ${\displaystyle \exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}}$. Примеры: ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{+}}$ для любых ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{\times }}$ для некоторых ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Теорема о циклических группах.

  Теорема о циклических группах. Пусть ${\displaystyle G}$ — циклическая группа и ${\displaystyle n=|G|}$; тогда, если ${\displaystyle n<\infty }$, то ${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}}$, и, если ${\displaystyle n=\infty }$, то ${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{+}}$.

1.2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

• Нормальная подгруппа: ${\displaystyle H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}}$. Пример: если ${\displaystyle |G:H|=2}$, то ${\displaystyle H\trianglelefteq G}$.
• Сопряжение при помощи эл.-та ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Отнош.-е сопряженности: ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\breve {x}}}$ сопряжены${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle \exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}}$. Классы сопряженности.
• Нормальная подгруппа, порожд. мн.-вом ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle (T)}$ — наименьш. относ.-но ${\displaystyle \subseteq }$ нормальная подгруппа, содержащая ${\displaystyle T}$. Утверждение: ${\displaystyle (T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }}$.
• Ядро и образ гомоморфизма ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq G}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,f\leq J}$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle G,J}$ — группы и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (G,J)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle j\in J}$ и ${\displaystyle g_{0}\in f^{-1}(j)}$ выполнено ${\displaystyle f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f}$;
  (2) ${\displaystyle f}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}}$.

• Факторгруппа: ${\displaystyle G/H}$ с фактороперациями (${\displaystyle H\trianglelefteq G}$). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle G,J}$ — группы и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (G,J)}$; тогда ${\displaystyle G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f}$.

• Задание группы образующими и соотношениями (${\displaystyle D}$ — множество, ${\displaystyle T\subseteq\mathrm F(D)}$): ${\displaystyle \langle D\mid T\rangle=\mathrm F(D)/(T)}$. Пример: ${\displaystyle \langle d_1,d_2\!\mid d_1^2,d_2^2,(d_1d_2)^2\rangle\cong(\mathbb Z/8)^\times}$.
• Прямое произведение групп: ${\displaystyle F\times H}$ с покомпонентными операциями. Утверждение: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизмы групп.
• Теорема о прямом произведении. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и ${\displaystyle F,H\leq G}$; обозначим через ${\displaystyle \mathrm {mult} }$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {mult} \in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}}$, ${\displaystyle \mathrm {mult} ^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} =FH}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {mult} \in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}}$;
  (3) если ${\displaystyle |G|<\infty }$, то в пункте (2) условие "${\displaystyle G=FH\!}$" можно заменить на условие "${\displaystyle \,|G|=|F|\,|H|}$".

1.3  Кольца (часть 1)

1.3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами

• Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
• Примеры: числовые кольца, кольца остатков ${\displaystyle \mathbb Z/n}$, кольца функций ${\displaystyle \mathrm{Func}(X,R)}$. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle R^{+}}$ и ${\displaystyle R^{\times }}$.
• Подкольцо: ${\displaystyle S\le R\,\Leftrightarrow\,S+S\subseteq S\,\land\,0\in S\,\land\,-S\subseteq S\,\land\,S\,S\subseteq S\,\land\,1\in S}$. Подкольцо, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle }$ (в частности, ${\displaystyle S[r]=\langle S\cup\{r\}\rangle}$).
• Идеал: ${\displaystyle I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow\,I+I\subseteq I\,\land\,0\in I\,\land\,R\;I\,R\subseteq I}$. Идеал, порожденный мн.-вом ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle (T)}$. Пример: если ${\displaystyle R}$ — коммут. кольцо и ${\displaystyle r\in R}$, то ${\displaystyle (r)=rR}$.
• Ядро и образ гомоморфизма ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(0)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$. Факторкольцо: ${\displaystyle R/I}$ с фактороперациями (${\displaystyle I\trianglelefteq R}$). Корректность. Теорема о гомоморфизме.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle R,U}$ — кольца и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (R,U)}$; тогда ${\displaystyle R/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f}$.

• Прямое произв.-е колец: ${\displaystyle Q\times S}$ с покомпонент. операциями. Характеристика кольца ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle \mathrm{char}\,R=\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)}$, если ${\displaystyle \mathrm{ord}_{R^+\!}(1)<\infty}$; иначе ${\displaystyle \mathrm{char}\,R=0}$.
• Кольцо без делителей нуля: ${\displaystyle \forall\,r,s\in R\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(r\,s\ne0\bigr)}$ и ${\displaystyle R\neq \{0\}}$. Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: ${\displaystyle K^{\times }\!=K\!\setminus \!\{0\}}$.
• Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p}$, где ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$. Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.

1.3.2  Кольца многочленов

• Множество многочленов от переменной ${\displaystyle x}$ над кольцом ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle R[x]=\mathrm{FinFunc}(\mathrm W(x),R)}$; общий вид многочлена: ${\displaystyle f_nx^n+\ldots+f_0}$; операции в ${\displaystyle R[x]}$.
• Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в ${\displaystyle R[x]}$ (${\displaystyle R}$ — коммут. кольцо): ${\displaystyle g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)}$.

  Лемма о степени многочлена. Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо без делителей нуля и ${\displaystyle f,g\in R[x]}$; тогда ${\displaystyle \deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g}$, а также ${\displaystyle R[x]^{\times }\!=R^{\times }}$.

• Неприводимые многочл. (${\displaystyle R}$ — обл. цел.): ${\displaystyle \mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}}$. Пример: если ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle \deg f=1}$, то ${\displaystyle f\in\mathrm{Irr}(K[x])}$.
• Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо, ${\displaystyle f,g\in R[x]}$ и старший коэффициент многочлена ${\displaystyle f}$ обратим; тогда
  существуют единственные такие многочлены ${\displaystyle q,t\in R[x]}$, что ${\displaystyle g=q\,f+t}$ и ${\displaystyle \deg t<\deg f}$ (обозначения: ${\displaystyle q=g\;\mathrm{div}\,f}$ и ${\displaystyle t=g\;\mathrm{mod}\,f}$).
• Кольцо остатков по модулю многочлена ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}}$): ${\displaystyle K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}}$. Утверждение: ${\displaystyle K[x]/(f)\cong K[x]/f}$.
• Сопост.-е многочлену полиномиал. функции ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {pf} _{A}\colon R[x]&\to \mathrm {Func} (A,A)\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto {\bigl (}a\mapsto f_{n}a^{n}+\ldots +f_{0}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм (${\displaystyle R\leq A}$, ${\displaystyle \forall\,a\in A,\,r\in R\;\bigl(a\,r=r\,a\bigr)}$).
• Сокращенная запись: ${\displaystyle f(a)={\bigl (}\mathrm {pf} _{A}(f){\bigr )}(a)}$. Корень ${\displaystyle a}$ многочлена ${\displaystyle f}$ в кольце ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle f(a)=0}$. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.

  Теорема Безу. Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо, ${\displaystyle f\in R[x]}$ и ${\displaystyle r\in R}$; тогда ${\displaystyle f\;\mathrm {mod} \;(x-r)=f(r)}$ (и, значит, ${\displaystyle (x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0}$).

  Теорема о количестве корней многочлена. Пусть ${\displaystyle R}$ — область целостности и ${\displaystyle f\in R[x]\!\setminus \!\{0\}}$; тогда ${\displaystyle |\{r\in R\mid f(r)=0\}|\leq \deg f}$, а также,
  если ${\displaystyle |R|=\infty }$, то существует такой элемент ${\displaystyle r\in R}$, что ${\displaystyle f(r)\ne0}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm{pf}_R}$ — инъекция).

• Теорема Виета. Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R}$ и ${\displaystyle x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)}$; тогда для
  любых ${\displaystyle k\in\{0,\ldots,n-1\}}$ выполнено ${\displaystyle f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}}$ (в частности, ${\displaystyle f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n}$ и ${\displaystyle f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)}$).