Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 17: | Строка 17: | ||
<h5>1.1.2 Отображения</h5> | <h5>1.1.2 Отображения</h5> | ||
− | <ul><li>Множество отображений, действующих из мн.-ва <math>X</math> в мн.-во <math>Y</math>: <math>\mathrm{Map}(X,Y)</math>. Область отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Dom}\,f</math> | + | <ul><li>Множество отображений, действующих из мн.-ва <math>X</math> в мн.-во <math>Y</math>: <math>\mathrm{Map}(X,Y)</math>. Область отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Dom}\,f</math>. Кообласть отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Codom}\,f</math>. Примеры. |
<li>Образ множества <math>A</math> относительно <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math>): <math>f(A)</math>, прообраз множества <math>B</math> относительно <math>f</math> (<math>B\subseteq Y</math>): <math>f^{-1}(B)</math>, образ отображения <math>f</math>: <math>\mathrm{Im}\,f=f(X)</math>. | <li>Образ множества <math>A</math> относительно <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math>): <math>f(A)</math>, прообраз множества <math>B</math> относительно <math>f</math> (<math>B\subseteq Y</math>): <math>f^{-1}(B)</math>, образ отображения <math>f</math>: <math>\mathrm{Im}\,f=f(X)</math>. | ||
<li>Сужения отображения <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math> и <math>f(A)\subseteq B\subseteq Y</math>): <math>f|_A</math> и <math>f|_{A\to B}</math>. Сокращенная запись образа: <math>\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid\exists\,x\in X\;\bigl(f(x)=y\bigr)\}</math>. | <li>Сужения отображения <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math> и <math>f(A)\subseteq B\subseteq Y</math>): <math>f|_A</math> и <math>f|_{A\to B}</math>. Сокращенная запись образа: <math>\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid\exists\,x\in X\;\bigl(f(x)=y\bigr)\}</math>. | ||
Строка 26: | Строка 26: | ||
<h5>1.1.3 Отношения</h5> | <h5>1.1.3 Отношения</h5> | ||
− | <ul><li>Множество отношений между множествами <math>X</math> и <math>Y</math>: <math>\mathrm{Rel}(X,Y)</math>. Область отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Dom}\,\Delta</math> | + | <ul><li>Множество отношений между множествами <math>X</math> и <math>Y</math>: <math>\mathrm{Rel}(X,Y)</math>. Область отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Dom}\,\Delta</math>. Кообласть отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Codom}\,\Delta</math>. Примеры. |
<li>Отношения эквивалентности: <math>\mathrm{EquivRel}(X)=\{{\sim}\in\mathrm{Rel}(X,X)\mid\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\sim x\,\land\,(x\sim y\,\Rightarrow\,y\sim x)\,\land\,(x\sim y\,\land\,y\sim z\,\Rightarrow\,x\sim z)\bigr)\}</math>. | <li>Отношения эквивалентности: <math>\mathrm{EquivRel}(X)=\{{\sim}\in\mathrm{Rel}(X,X)\mid\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\sim x\,\land\,(x\sim y\,\Rightarrow\,y\sim x)\,\land\,(x\sim y\,\land\,y\sim z\,\Rightarrow\,x\sim z)\bigr)\}</math>. | ||
<li>Класс эквивалентности элемента <math>x</math>: <math>[x]_\sim\!=\{\breve x\in X\mid x\sim\breve x\}</math>. Утверждение: <math>x\sim\breve x\,\Leftrightarrow\,[x]_\sim\!=[\breve x]_\sim</math>. Фактормножество: <math>X/{\sim}=\{[x]_\sim\!\mid x\in X\}</math>. | <li>Класс эквивалентности элемента <math>x</math>: <math>[x]_\sim\!=\{\breve x\in X\mid x\sim\breve x\}</math>. Утверждение: <math>x\sim\breve x\,\Leftrightarrow\,[x]_\sim\!=[\breve x]_\sim</math>. Фактормножество: <math>X/{\sim}=\{[x]_\sim\!\mid x\in X\}</math>. | ||
Строка 57: | Строка 57: | ||
<h5>1.2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы</h5> | <h5>1.2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы</h5> | ||
− | <ul><li>Подгруппа: <math>H\le G\,\Leftrightarrow\,H\ | + | <ul><li>Подгруппа: <math>H\le G\,\Leftrightarrow\,H\,H\subseteq H\,\land\,1\in H\,\land\,H^{-1}\!\subseteq H</math>. Подгруппа, порожденная множеством <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> — наименьшая подгруппа, содержащая <math>D</math>. |
<li>Утверждение: <i><math>\langle D\rangle=\{d_1^{\varepsilon_1}\!\cdot\ldots\cdot d_n^{\varepsilon_n}\!\mid n\in\mathbb N_0,\,d_1,\ldots,d_n\in D,\,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\in\{1,-1\}\}</math> (в частности, <math>\langle g\rangle=\{g^a\!\mid a\in\mathbb Z\}</math>)</i>. Пример: <math>(\mathbb Z/n)^+\!=\langle1\rangle</math>. | <li>Утверждение: <i><math>\langle D\rangle=\{d_1^{\varepsilon_1}\!\cdot\ldots\cdot d_n^{\varepsilon_n}\!\mid n\in\mathbb N_0,\,d_1,\ldots,d_n\in D,\,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\in\{1,-1\}\}</math> (в частности, <math>\langle g\rangle=\{g^a\!\mid a\in\mathbb Z\}</math>)</i>. Пример: <math>(\mathbb Z/n)^+\!=\langle1\rangle</math>. | ||
<li>Отношения <math>\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim</math> и <math>\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim</math> (<math>H\le G</math>): <math>g\,\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\;\breve g\,\Leftrightarrow\,g^{-1}\breve g\in H</math> (<math>\Leftrightarrow\,gH=\breve gH</math>) и <math>g\;\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\,\breve g\,\Leftrightarrow\,\breve g\,g^{-1}\!\in H</math> (<math>\Leftrightarrow\,Hg=H\breve g</math>). Утверждение: <i><math>[g]\!_\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\!=gH</math> и <math>[g]_\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\!\!=Hg</math></i>. | <li>Отношения <math>\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim</math> и <math>\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim</math> (<math>H\le G</math>): <math>g\,\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\;\breve g\,\Leftrightarrow\,g^{-1}\breve g\in H</math> (<math>\Leftrightarrow\,gH=\breve gH</math>) и <math>g\;\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\,\breve g\,\Leftrightarrow\,\breve g\,g^{-1}\!\in H</math> (<math>\Leftrightarrow\,Hg=H\breve g</math>). Утверждение: <i><math>[g]\!_\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\!=gH</math> и <math>[g]_\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\!\!=Hg</math></i>. | ||
Строка 83: | Строка 83: | ||
<h5>1.3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами</h5> | <h5>1.3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами</h5> | ||
<ul><li>Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец. | <ul><li>Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец. | ||
− | <li>Примеры: числовые кольца, кольца остатков <math>\mathbb Z/n</math>, кольца функций <math>\mathrm{Func}(X,R)</math>. Аддитивная и мультипликативная | + | <li>Примеры: числовые кольца, кольца остатков <math>\mathbb Z/n</math>, кольца функций <math>\mathrm{Func}(X,R)</math>. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца <math>R</math>: <math>R^+</math> и <math>R^\times</math>. |
− | <li>Подкольцо: <math>S\le R\,\Leftrightarrow\,S+S\subseteq S\,\land\,0\in S\,\land\,-S\subseteq S\,\land\,S\ | + | <li>Подкольцо: <math>S\le R\,\Leftrightarrow\,S+S\subseteq S\,\land\,0\in S\,\land\,-S\subseteq S\,\land\,S\,S\subseteq S\,\land\,1\in S</math>. Подкольцо, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> (в частности, <math>S[r]=\langle S\cup\{r\}\rangle</math>). |
− | <li>Идеал: <math>I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow\,I+I\subseteq I\,\land\,0\in I\,\land\,R\ | + | <li>Идеал: <math>I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow\,I+I\subseteq I\,\land\,0\in I\,\land\,R\;I\,R\subseteq I</math>. Идеал, порожденный мн.-вом <math>T</math>: <math>(T)</math>. Пример: если <math>R</math> — коммут. кольцо и <math>r\in R</math>, то <math>(r)=rR</math>. |
<li>Ядро и образ гомоморфизма <math>f</math>: <math>\mathrm{Ker}\,f=f^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,f</math>. Факторкольцо: <math>R/I</math> с фактороперациями (<math>I\trianglelefteq R</math>). Корректность. Теорема о гомоморфизме. | <li>Ядро и образ гомоморфизма <math>f</math>: <math>\mathrm{Ker}\,f=f^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,f</math>. Факторкольцо: <math>R/I</math> с фактороперациями (<math>I\trianglelefteq R</math>). Корректность. Теорема о гомоморфизме. | ||
<p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>R,U</math> — кольца и <math>f\in\mathrm{Hom}(R,U)</math>; тогда <math>R/\,\mathrm{Ker}\,f\cong\mathrm{Im}\,f</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>R,U</math> — кольца и <math>f\in\mathrm{Hom}(R,U)</math>; тогда <math>R/\,\mathrm{Ker}\,f\cong\mathrm{Im}\,f</math>.</i></p> |
Версия 04:00, 30 октября 2017
1 Основы алгебры
| ||||||||||||
|
1.1 Множества, отображения, отношения
1.1.1 Множества
- Логические операции: — отрицание («не»), — дизъюнкция («или»), — конъюнкция («и»), — импликация («влечет»), — эквивалентность.
- Кванторы: — существование («существует»), — всеобщность («для любых»), — существование и единственность («существует единственный»).
- Принадлежность: . Равенство множеств: . Включение и строгое включение между множ.-вами: и .
- Кванторы по элементам множества: и . Задание множества перечислением элементов: . Пустое множество: .
- Выделение подмножества: . Операции над мн.-вами: — объединение, — пересечение, — разность, — прямое произведение.
- Теорема об операциях над множествами. Пусть — множества; тогда
(1) и , а также и ;
(2) и ;
(3) если — множество и , то и . - Числовые множества: , , , — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, , ().
- Множество подмножеств мн.-ва : . Прямая степень мн.-ва (): . Порядок (количество элементов) мн.-ва : ().
1.1.2 Отображения
- Множество отображений, действующих из мн.-ва в мн.-во : . Область отобр.-я : . Кообласть отобр.-я : . Примеры.
- Образ множества относительно (): , прообраз множества относительно (): , образ отображения : .
- Сужения отображения ( и ): и . Сокращенная запись образа: .
- Инъекции: . Сюръекции: .
- Биекции: . Композиция отображений и : . Тождественное отображение: .
- Теорема о композиции отображений. Пусть — множества и ; тогда
(1) , и, если — множества, и , то ;
(2) если , то — инъекция, если и только если ;
(3) — сюръекция, если и только если ;
(4) — биекция, если и только если . - Отображение , обратное к отображению : и . Пример: взаимно обратные биекции и .
1.1.3 Отношения
- Множество отношений между множествами и : . Область отношения : . Кообласть отношения : . Примеры.
- Отношения эквивалентности: .
- Класс эквивалентности элемента : . Утверждение: . Фактормножество: .
- Разбиения: . Утверждение: . Трансверсали.
- Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть — множество; тогда отображение — биекция.
- Отношение : . Мн.-во слоев отобр.-я : (). Факторотображение — биекция.
- Утверждение: . Принцип Дирихле. Пусть — множества и ; тогда .
1.2 Группы (часть 1)
1.2.1 Множества с операцией
- Внутренняя -арная операция на мн.-ве — отображение, действующее из в (нульарная операция на — выделенный элемент множества ).
- Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: .
- Изоморфизмы: . Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: . Автоморфизмы: .
- Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть и — множества с -арной операцией; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых выполнено . - Обозначение по Минковскому: . Примеры: , , .
- Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: ; коммутативность (абелевость): .
- Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.
Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть — полугруппа, и ; тогда значение выражения не зависит от
расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).
1.2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)
- Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
- Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций , моноиды отображений , моноиды слов и .
- Обратимые элементы: . Единственность обратного элемента. Утверждение: .
- Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа ( — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: .
- Примеры: числовые группы, группы остатков и , группы функций , группы биекций , свободные группы .
- Группа изометрий пр.-ва : , где .
- Симметрические группы: . Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
Лемма о циклах. Пусть , , числа попарно различны и ; тогда
, а также . - Мультипликативные обозначения: , , , (). Степени эл.-та группы. Аддитивные обозн.-я в абелевой группе: , , , ().
1.2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы
- Подгруппа: . Подгруппа, порожденная множеством : — наименьшая подгруппа, содержащая .
- Утверждение: (в частности, ). Пример: .
- Отношения и (): () и (). Утверждение: и .
- Множества классов смежности: и . Теорема Лагранжа. Индекс: .
Теорема Лагранжа. Пусть — группа, и ; тогда (и, значит, делит ).
- Порядок элемента: (). Утверждение: пусть ; тогда .
- Лемма о порядке элемента. Пусть — группа и ; тогда и, если , то делит и .
- Теорема об обратимых остатках.
(1) Пусть и ; тогда .
(2) Пусть ; тогда (в частности, если , то ).
(3) Пусть , и не делит ; тогда (это малая теорема Ферма). - Циклическая группа: . Примеры: для любых , , для некоторых . Теорема о циклических группах.
Теорема о циклических группах. Пусть — циклическая группа и ; тогда, если , то , и, если , то .
1.2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
- Нормальная подгруппа: . Пример: если , то .
- Сопряжение при помощи эл.-та : . Отнош.-е сопряженности: и сопряжены. Классы сопряженности.
- Нормальная подгруппа, порожденная множеством : — наименьшая нормальная подгруппа, содержащая . Утверждение: .
- Ядро и образ гомоморфизма : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть — группы и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) — инъекция, если и только если . - Факторгруппа: с фактороперациями (). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: .
Теорема о гомоморфизме. Пусть — группы и ; тогда .
- Задание группы образующими и соотношениями ( — множество, ): . Пример: .
- Прямое произведение групп: с покомпонентными операциями. Утверждение: и — гомоморфизмы групп.
- Теорема о прямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".
1.3 Кольца (часть 1)
1.3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами
- Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
- Примеры: числовые кольца, кольца остатков , кольца функций . Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца : и .
- Подкольцо: . Подкольцо, порожд. мн.-вом : (в частности, ).
- Идеал: . Идеал, порожденный мн.-вом : . Пример: если — коммут. кольцо и , то .
- Ядро и образ гомоморфизма : и . Факторкольцо: с фактороперациями (). Корректность. Теорема о гомоморфизме.
Теорема о гомоморфизме. Пусть — кольца и ; тогда .
- Прямое произв.-е колец: с покомпонент. операциями. Характеристика кольца : , если ; иначе .
- Кольцо без делителей нуля: и . Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: .
- Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля , где . Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.
1.3.2 Кольца многочленов
- Множество многочленов от переменной над кольцом : ; общий вид многочлена: ; операции в .
- Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в ( — коммут. кольцо): .
Лемма о степени многочлена. Пусть — кольцо без делителей нуля и ; тогда , а также .
- Неприводимые многочл. ( — обл. цел.): . Пример: если — поле и , то .
- Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть — коммутативное кольцо, и старший коэффициент многочлена обратим; тогда
существуют единственные такие многочлены , что и (обозначения: и ). - Кольцо остатков по модулю многочлена ( — поле, ): . Утверждение: .
- Сопост.-е многочлену полиномиал. функции — гомоморфизм (, ).
- Сокращенная запись: . Корень многочлена в кольце : . Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.
Теорема Безу. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда (и, значит, ).
Теорема о количестве корней многочлена. Пусть — область целостности и ; тогда , а также,
если , то существует такой элемент , что (и, значит, — инъекция). - Теорема Виета. Пусть — кольцо, , и ; тогда для
любых выполнено (в частности, и ).
1.3.3 Поле комплексных чисел
- Кольцо комплексных чисел: , где . Утверждение: . Комплексные числа как точки плоскости .
- Вещественная и мнимая части: и . Сопряжение: . Модуль: .
- Теорема о свойствах комплексных чисел.
(1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — поле).
(2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — автоморфизм поля ).
(3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп). - Группа : . Утверждение: . Экспонента от компл. числа : . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых выполнено , а также и .
(2) Для любых выполнено (и, значит, и ). - Тригонометрическая запись: . Группа корней -й степ. из : .
- Первообразные корни -й степени из . Корни -й степени из : .
- «Основная теорема алгебры»: — алгебраически замкнутое поле, то есть (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
- Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
(1) Пусть , и ; тогда .
(2) и .
1.3.4 Тело кватернионов
- Кольцо кватернионов: , где , а также , , .
- Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
- Чистые кватернионы: . Скалярное произвед.-е, векторное произвед.-е, норма в : , , .
- Утверждение: пусть ; тогда . Сопряжение: . Модуль: .
- Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
(2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — антиавтоморфизм тела ).
(3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп). - Группа : . Утверждение: . Экспонента от кватерниона : . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых выполнено , а также и .
(2) Для любых и выполнено (и, значит, ). - Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
(1) Пусть ; тогда — поворот вокруг нуля на угол против часовой стрелки.
(1') (доказательство только включения ).
(2) Пусть и ; тогда — поворот вокруг оси с направл. вектором на угол против часовой стрелки.
(2') (доказательство только включения ).