Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 42: | Строка 42: | ||
<li>Оператор симметризации: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u</math>. Оператор альтернирования: <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании. | <li>Оператор симметризации: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u</math>. Оператор альтернирования: <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании. | ||
<p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, а также <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (и, значит, <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> | <p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, а также <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (и, значит, <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> | ||
− | <li> | + | <li>Симметрич. и внешнее произв. векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math> и <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Пример: <math>\mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. |
<li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — в. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i> | <li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — в. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i> | ||
<li><u>Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)</math> существует единств. такой линейный оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)</math>, что для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено<br><math>a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)&\to\mathrm{SMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств);<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)</math> существует единств. такой линейный оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)</math>, что для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено<br><math>a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)&\to\mathrm{AMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | <li><u>Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)</math> существует единств. такой линейный оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)</math>, что для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено<br><math>a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)&\to\mathrm{SMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств);<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)</math> существует единств. такой линейный оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)</math>, что для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено<br><math>a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)&\to\mathrm{AMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | ||
Строка 57: | Строка 57: | ||
<li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!</math> этого<br>базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию;<br>(2) <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\;e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math><br>суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!</math> этого<br>базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию;<br>(2) <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\;e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math><br>суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | ||
− | + | <h3>3.6 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 2)</h3> | |
<h5>3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа</h5> | <h5>3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа</h5> | ||
− | <ul><li>Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом | + | <ul><li>Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом пр.-ве (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math> (если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V,\sigma)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>). |
− | + | <li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама. | |
− | <p><u> | + | <p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентир. псевдоевкл. пр.-во (относ. формы <math>\sigma</math>), <math>n=\dim V</math>, <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_n)</math>; тогда<br><math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}</math> и, если <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\sigma(v_1,v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|\sigma(v_n,v_n)|}</math>.</i></p> |
− | <li> | + | <li>Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>. |
<li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{d,d}}</math>, где <math>\sigma=(\,\mid\,)</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.</i> | <li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{d,d}}</math>, где <math>\sigma=(\,\mid\,)</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.</i> | ||
<li>Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp^\sigma\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl(\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>). | <li>Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp^\sigma\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl(\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>). | ||
<li>Вект. произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\!\sum_{1\le j,j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\!\sigma^{i,j}\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_{n-1},j}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении. | <li>Вект. произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\!\sum_{1\le j,j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\!\sigma^{i,j}\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_{n-1},j}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении. | ||
<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное евклидово пространство, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>;<br>(3) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное евклидово пространство, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>;<br>(3) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p> | ||
− | <li> | + | <li>Оператор Ходжа в ориентированном псевдоевклидовом пространстве: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\lambda_1,\ldots,\sharp\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
<li><u>Теорема о поливекторе ориентации.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена<br>(то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_n=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n</math> и <math>\tilde e_1\wedge\ldots\wedge\tilde e_n=\det\mathrm c_\tilde e^e\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n</math>;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim&\to\{z\in\mathsf\Lambda^nV\mid(\wedge^n\sigma)(z,z)=\mathrm{sd}(\sigma)\}\\\mathrm{cl}\,_\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim(e)&\mapsto|\det\sigma_{e,e}|^{-1/2}\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является биекцией;<br>(3) если множество <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> и поливектор <math>z_\sigma</math> соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math><br>выполнено <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}z_\sigma</math> (в частности, если <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n=z_\sigma</math>).</i> | <li><u>Теорема о поливекторе ориентации.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена<br>(то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_n=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n</math> и <math>\tilde e_1\wedge\ldots\wedge\tilde e_n=\det\mathrm c_\tilde e^e\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n</math>;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim&\to\{z\in\mathsf\Lambda^nV\mid(\wedge^n\sigma)(z,z)=\mathrm{sd}(\sigma)\}\\\mathrm{cl}\,_\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim(e)&\mapsto|\det\sigma_{e,e}|^{-1/2}\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является биекцией;<br>(3) если множество <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> и поливектор <math>z_\sigma</math> соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math><br>выполнено <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}z_\sigma</math> (в частности, если <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n=z_\sigma</math>).</i> | ||
− | |||
− | |||
<li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и <math>z_\sigma</math> — поливектор<br>ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; пусть <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{\bar i_h},e_{\bar i_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k})\,e_{\bar i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\bar i_{n-k}}</math>, где числа <math>\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}x</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и <math>z_\sigma</math> — поливектор<br>ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; пусть <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{\bar i_h},e_{\bar i_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k})\,e_{\bar i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\bar i_{n-k}}</math>, где числа <math>\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}x</math>.</i></ul> | ||
− | <h5>3.6.2 Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве и в пространстве Минковского</h5> | + | <!--<h5>3.6.2 Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве и в пространстве Минковского</h5> |
<ul><li><u>Теорема о группах SU(2) и SO(3).</u><br><i>(1) <math>\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (пространство <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — евклидово пространство с билинейной формой <math>(v,w)\mapsto\mathrm{Re}(v\,\overline w)</math>).<br>(2) Для любых <math>g\in\mathrm S^3</math>, обозначая через <math>\mathrm{rot}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{rot}_g\!\in\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math>.<br>(3) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, обозначая через <math>g</math> кватернион <math>\cos\varphi+\sin\varphi\cdot u</math>, имеем следующие факты: <math>g\in\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{rot}_g(u)=u</math><br>и для любых <math>w\in\langle u\rangle^\perp</math> выполнено <math>\mathrm{rot}_g(w)=\cos(2\varphi)\,w+\sin(2\varphi)\,u\times w</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{rot}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^3\!&\to\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})\\g&\mapsto\mathrm{rot}_g\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{rot}</math> — гомоморфизм групп, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{rot}=\{1,-1\}</math> и<br><math>\mathrm{Im}\,\mathrm{rot}=\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!/\{1,-1\}\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> и <math>\,\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}\cong\mathrm{SO}(3)</math>).</i></ul> | <ul><li><u>Теорема о группах SU(2) и SO(3).</u><br><i>(1) <math>\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (пространство <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — евклидово пространство с билинейной формой <math>(v,w)\mapsto\mathrm{Re}(v\,\overline w)</math>).<br>(2) Для любых <math>g\in\mathrm S^3</math>, обозначая через <math>\mathrm{rot}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{rot}_g\!\in\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math>.<br>(3) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, обозначая через <math>g</math> кватернион <math>\cos\varphi+\sin\varphi\cdot u</math>, имеем следующие факты: <math>g\in\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{rot}_g(u)=u</math><br>и для любых <math>w\in\langle u\rangle^\perp</math> выполнено <math>\mathrm{rot}_g(w)=\cos(2\varphi)\,w+\sin(2\varphi)\,u\times w</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{rot}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^3\!&\to\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})\\g&\mapsto\mathrm{rot}_g\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{rot}</math> — гомоморфизм групп, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{rot}=\{1,-1\}</math> и<br><math>\mathrm{Im}\,\mathrm{rot}=\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!/\{1,-1\}\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> и <math>\,\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}\cong\mathrm{SO}(3)</math>).</i></ul> | ||
Версия 03:00, 22 октября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существует единств. такой лин. оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензоры типа в координ.-х: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых элементов и этого базиса
выполнено (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное
на базисе отображение , — изоморфизм алгебр с ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание с -й поз.-и на -ю: .
- Подъем с -й позиции на -ю: .
- Опускание и подъем индексов в коорд.-х: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (и, значит, и ). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв. векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых элементов и этого
базиса выполнено , где числа суть числа , упоряд. по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа
суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом пр.-ве (): (если , то ).
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — ориентир. псевдоевкл. пр.-во (относ. формы ), , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
(1) , где и ;
(2) если , то . - Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: ().
- Вект. произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — ориентированное евклидово пространство, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и ;
(3) если , то для любых выполнено и . - Оператор Ходжа в ориентированном псевдоевклидовом пространстве: .
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над , , , форма невырождена и — поливектор
ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; пусть ; тогда
(1) для любых поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых выполнено .