Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 10: | Строка 10: | ||
<li><u>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда<br><math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> — полилинейный оператор.</i> | <li><u>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда<br><math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> — полилинейный оператор.</i> | ||
<li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — вект. простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда для любых<br><math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существует единств. такой лин. оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что для любых <math>v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k</math> выполнено<br><math>a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пространств).</i> | <li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — вект. простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда для любых<br><math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существует единств. такой лин. оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что для любых <math>v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k</math> выполнено<br><math>a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пространств).</i> | ||
− | + | <li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы<br>пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно; тогда все тензоры <math>b_1\otimes\ldots\otimes b_k</math>, где <math>b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис<br>пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>, а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.</i> | |
− | <li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> —<br> | + | <li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е линейных операторов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y),b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>. |
− | + | <li><u>Первая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>U,V,W</math> — вект. простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда <math>(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes V\otimes W</math>,<br><math>U\otimes(V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W</math> и <math>V\otimes W\cong W\otimes V</math>, а также <math>V\otimes K\cong K\otimes V\cong V</math>.</i> | |
− | <li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е | + | <li><u>Вторая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V,Y,V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}Y\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,Y)\\y\otimes\lambda&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,y\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный линейный оператор, а также, если <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, то это отображение —<br>изоморфизм векторных пространств;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}V_1^*\!\otimes\ldots\otimes V_k^*\!&\to(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)^*\\\lambda_1\otimes\ldots\lambda_k&\mapsto\bigl(v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}V_1^*\!\otimes\ldots\otimes V_k^*\!&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> —<br>инъективные линейные операторы, а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то эти отображения — изоморфизмы векторных пространств.</i></ul> |
− | <li><u> | + | |
<h5>3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах</h5> | <h5>3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах</h5> | ||
Строка 46: | Строка 45: | ||
<li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — в. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i> | <li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — в. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i> | ||
− | <li><u>Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, | + | <li><u>Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)</math> существует единств. такой линейный оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)</math>, что для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено<br><math>a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)&\to\mathrm{SMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств);<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)</math> существует единств. такой линейный оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)</math>, что для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено<br><math>a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)&\to\mathrm{AMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> |
+ | <li><u>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>,<br><math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i> | ||
− | |||
<li>Симметрич. тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1\le\ldots\le i_k\le n}\!\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметрич. тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n}\!\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>. | <li>Симметрич. тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1\le\ldots\le i_k\le n}\!\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметрич. тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n}\!\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>. | ||
<li>Примеры: <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math> — форма объема, <math>\dim V=3\,\Rightarrow\,v\wedge w=(v\times w)^3\,e_1\wedge e_2-(v\times w)^2\,e_1\wedge e_3+(v\times w)^1\,e_2\wedge e_3</math>.</ul> | <li>Примеры: <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math> — форма объема, <math>\dim V=3\,\Rightarrow\,v\wedge w=(v\times w)^3\,e_1\wedge e_2-(v\times w)^2\,e_1\wedge e_3+(v\times w)^1\,e_2\wedge e_3</math>.</ul> |
Версия 18:00, 15 октября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существует единств. такой лин. оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — вект. простр.-ва над полем ; тогда ,
и , а также . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный линейный оператор, а также, если , то это отображение —
изоморфизм векторных пространств;
(2) отображения и —
инъективные линейные операторы, а также, если , то эти отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Формула замены коорд. тензора: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: , .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. тензор в координатах: . Антисимметрич. тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.