Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 8: | Строка 8: | ||
<li>Матрица Грама (<math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>): <math>(\sigma_{d,d})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,v_{j_2})</math>. Форма <math>\sigma</math> в координ.-х (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>. | <li>Матрица Грама (<math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>): <math>(\sigma_{d,d})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,v_{j_2})</math>. Форма <math>\sigma</math> в координ.-х (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>. | ||
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>. | <li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>. |
− | + | <li>Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>. | |
− | + | <li>Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>. | |
− | <li><math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math> | + | <li>Изоморфизмы между пр.-вами с формой: <math>\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))\cap\mathrm{Bij}(V,Y)</math> и <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>.</ul> |
<h5>3.1.2 ¯-Квадратичные формы</h5> | <h5>3.1.2 ¯-Квадратичные формы</h5> | ||
Строка 20: | Строка 20: | ||
<li><u>Теорема о биекции между билинейными формами и квадратичными формами.</u><br><i>(1) Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>; тогда отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств.<br>(2) Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств.</i> | <li><u>Теорема о биекции между билинейными формами и квадратичными формами.</u><br><i>(1) Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>; тогда отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств.<br>(2) Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств.</i> | ||
<li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: множество вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math>, <math>c\in K</math>. | <li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: множество вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math>, <math>c\in K</math>. | ||
− | <li>Примеры гиперповерхностей. Утверждение: <i>пусть <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\lambda\in K_n</math>, <math>c\in K</math> и <math>v\in K^n</math>; тогда <math>v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}c&\lambda\\\lambda^\mathtt T&s\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)</math></i>.</ul> | + | <li>Примеры гиперповерхностей. Утверждение: <i>пусть <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\lambda\in K_n</math>, <math>c\in K</math> и <math>v\in K^n</math>; тогда <math>\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}c&\lambda\\\lambda^\mathtt T&s\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)</math></i>.</ul> |
<h5>3.1.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы</h5> | <h5>3.1.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы</h5> | ||
Строка 26: | Строка 26: | ||
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\flat_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>. | <li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\flat_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>. | ||
<li>Топологическая невырожденность: <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — биекция. Пример: <math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!fg</math>; тогда <math>\sigma</math> топол. вырождена. | <li>Топологическая невырожденность: <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — биекция. Пример: <math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!fg</math>; тогда <math>\sigma</math> топол. вырождена. | ||
− | <li>Пример (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math> | + | <li>Пример (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топол. невырождена (без доказат.-ва). |
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>. | <li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>. | ||
<li><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>d\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i> | <li><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>d\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i> | ||
Строка 33: | Строка 33: | ||
<h5>3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5> | <h5>3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5> | ||
− | <ul><li>Ортогональный базис | + | <ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогонал. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{j=1}^n\sigma_{j,j}\,v^j\overline{w^j}</math>. |
− | <li>Ортонормированный базис | + | <li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональн. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>. |
<li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>;<br>тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i> | <li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>;<br>тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i> | ||
<li>Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами. | <li>Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами. | ||
− | <p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис | + | <p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p> |
− | <p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то | + | <p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ. такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p> |
<li>Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена; тогда <math>\forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)</math></i>. | <li>Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена; тогда <math>\forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)</math></i>. | ||
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор<br>матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>m_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\,\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>;<br>(2) <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i> | <li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор<br>матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>m_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\,\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>;<br>(2) <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i> | ||
Строка 68: | Строка 68: | ||
<li>Объем в коорд. (<math>n=\dim V</math>): <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math> (<math>\varepsilon=\mathrm{sgn}</math>). Теорема об объеме и матрицах Грама. | <li>Объем в коорд. (<math>n=\dim V</math>): <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math> (<math>\varepsilon=\mathrm{sgn}</math>). Теорема об объеме и матрицах Грама. | ||
<p><u>Теорема об объеме и матрицах Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы <math>\sigma</math>),<br><math>n=\dim V</math>, <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_n)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}</math> (в частности, если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно<br>ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\sigma(v_1,v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|\sigma(v_n,v_n)|}</math>).</i></p> | <p><u>Теорема об объеме и матрицах Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы <math>\sigma</math>),<br><math>n=\dim V</math>, <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_n)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}</math> (в частности, если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно<br>ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\sigma(v_1,v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|\sigma(v_n,v_n)|}</math>).</i></p> | ||
− | <li> | + | <li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>. |
<li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{d,d}}</math>, где <math>\sigma=(\,\mid\,)</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.</i> | <li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{d,d}}</math>, где <math>\sigma=(\,\mid\,)</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.</i> | ||
<li>Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp^\sigma\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl(\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>). | <li>Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp^\sigma\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl(\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>). | ||
Строка 74: | Строка 74: | ||
<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное евклидово пространство, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>;<br>(3) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u</math> и <math>(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p></ul> | <p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное евклидово пространство, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>;<br>(3) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u</math> и <math>(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p></ul> | ||
− | + | <h3>3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3> | |
− | <h5>3.3.1 | + | <h5>3.3.1 Группы ортогональных и унитарных операторов и матриц</h5> |
<ul><li>Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\sigma(a(v),a(w))\bigr)\}</math>. | <ul><li>Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\sigma(a(v),a(w))\bigr)\}</math>. | ||
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, или <math>K=\mathbb C</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}</math></i>. | <li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, или <math>K=\mathbb C</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}</math></i>. | ||
− | <li> | + | <li>Утверждение: <i><math>\{a_e^e\mid a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\}=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid a^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline a=\sigma_{e,e}\}</math> и, если <math>\sigma</math> невырожд., то "<math>\,\mathrm{GL}(n,K)</math>" можно заменить на "<math>\,\mathrm{Mat}(n,K)</math>"</i>. |
− | + | <li>Ортогональная группа (<math>V</math> — в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. Унитарная группа (<math>V</math> — в. пр. над <math>\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. | |
− | <li> | + | <li>Матричные ортогонал. группы: <math>\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)</math>, <math>\mathrm O(n)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)</math>. |
− | <li> | + | <li>Матричные унитарные группы: <math>\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)</math>, <math>\mathrm U(n)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)</math>. |
− | <li> | + | <li>Утверждение: <i><math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}\cong\mathrm S^1</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cdot\bigl\{\mathrm{id}_2,\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr\}</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}\cong\mathrm S^3</math></i>. |
− | <li>Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>). | + | <li>Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: <math>\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(v,w)=\mathrm{dist}(a(v),a(w))\bigr)\}</math>. Теорема об описании изометрий. |
+ | <p><u>Теорема об описании изометрий.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>; тогда<br>(1) <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)</math>;<br>(2) обозначая через <math>G</math>, <math>F</math> и <math>H</math> группу <math>\,\mathrm{Isom}(V)</math> и ее подгруппы <math>\{\bigl(v\mapsto v+v_0\bigr)\mid v_0\in V\}</math> и <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}</math> соответственно, имеем<br>следующие факты: <math>F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}</math>, <math>G=F\circ H</math> и <math>\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>, а также <math>F\cong V^+\!</math> (и, значит, <math>\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)</math>).</i></p></ul> | ||
+ | |||
+ | <!--<h5>3.3.2 Нормальные, симметричные, антисимметричные и положительно определенные линейные операторы</h5> | ||
+ | <ul><li>Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>). | ||
<li>Нормальные операторы: <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>. Сопряжение в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. | <li>Нормальные операторы: <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>. Сопряжение в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. | ||
<li>(<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>) <math>\{a_e^e\mid a\in\mathrm{NEnd}(V,\sigma)\}=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a\}</math> | <li>(<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>) <math>\{a_e^e\mid a\in\mathrm{NEnd}(V,\sigma)\}=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a\}</math> |
Версия 03:00, 2 июля 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
- Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
- Матрица Грама (): . Форма в координ.-х (): .
- Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
- Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: и .
- Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
- Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
- Поляризация квадратичн. формы (): . Утверждение: .
- Поляризация ¯-квадратичной формы (): . Утверждение: .
- Теорема о биекции между билинейными формами и квадратичными формами.
(1) Пусть — поле, и — вект. пр.-во над ; тогда отобр.-е — изоморфизм векторных пространств.
(2) Пусть — векторное пространство над полем ; тогда отображение — изоморфизм векторных пространств. - Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , , .
- Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
3.1.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
- Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
- Топологическая невырожденность: — биекция. Пример: и ; тогда топол. вырождена.
- Пример ( или ): и ; тогда топол. невырождена (без доказат.-ва).
- Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
- Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , ,
и ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополн.-е: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) и, если , то невырождена;
(3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : );
(4) если форма невырождена и , то .
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогонал. коорд. (): .
- Ортонормированный базис ( или ): — диагональн. матрица с на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то сущ. такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали. - Утверждение: пусть , , и форма невырождена; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ). - Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва и Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).
3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или
3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
- Положительно опред. формы: . Отрицательно опред. формы: .
- Положит. и отрицат. опред. матрицы: и .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена, и .
- Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Индексы инерции формы : и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — векторные пространства над полем , ,
и ; тогда , если и только если , и . - Сигнатура формы : (или ). Классифик.-я кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.2 Предгильбертовы пространства
- Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
- Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
- Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — предгильбертово пространство, и ; тогда
(1) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя);
(2) для любых и выполнено (и, значит, ). - Метрика: . Расстояние между вектором и подпространством: . Метод наименьших квадратов.
- Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
3.2.3 Объем и векторное произведение
- Псевдоевклидово пространство — конечномерное вект. пр.-во над с невырожденной симметричной билинейной формой. Пример: пр.-во Минковского.
- Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом простр.-ве (): . Корректность определения формы .
- Объем в коорд. (): (). Теорема об объеме и матрицах Грама.
Теорема об объеме и матрицах Грама. Пусть — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы ),
, и ; тогда (в частности, если векторы попарно
ортогональны, то ). - Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
(1) , где и ;
(2) если , то . - Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: ().
- Вект. произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — ориентированное евклидово пространство, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и ;
(3) если , то для любых выполнено и .
3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
3.3.1 Группы ортогональных и унитарных операторов и матриц
- Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: .
- Утверждение: пусть и , или и ; тогда .
- Утверждение: и, если невырожд., то "" можно заменить на "".
- Ортогональная группа ( — в. пр. над , ): . Унитарная группа ( — в. пр. над , ): .
- Матричные ортогонал. группы: , , , .
- Матричные унитарные группы: , , , .
- Утверждение: , , .
- Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: . Теорема об описании изометрий.
Теорема об описании изометрий. Пусть — предгильбертово пространство над полем ; тогда
(1) ;
(2) обозначая через , и группу и ее подгруппы и соответственно, имеем
следующие факты: , и , а также (и, значит, ).