Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 18:00, 1 июля 2017

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм: ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры: ${\displaystyle (v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w}$ (${\displaystyle V=K^n}$, ${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$), ${\displaystyle (f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg}$ (${\displaystyle V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)}$, ${\displaystyle s\in V}$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\displaystyle {\overline {V}}}$: ${\displaystyle c\overline\cdot v=\overline c\,v}$. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ${\displaystyle \overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K}$): ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)}$.
• Матрица Грама (${\displaystyle d=(v_1,\ldots,v_m)}$): ${\displaystyle (\sigma_{d,d})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,v_{j_2})}$. Форма ${\displaystyle \sigma }$ в координ.-х (${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$): ${\displaystyle \sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}}$.
• Изоморфизм вект. пр.-в ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}}$ и ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}}$.
• Пространство (над полем ${\displaystyle \{c\in K\mid c={\overline {c}}\}}$) ¯-симметричных ¯-билинейных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$.
• Простр.-во (над полем ${\displaystyle \{c\in K\mid c={\overline {c}}\}}$) ¯-антисимметричных ¯-билинейных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$.
• Пр.-ва ¯-симметричных и ¯-антисимметричных матриц: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}}$, ${\displaystyle \mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)}$.

3.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)}$.
• ¯-Квадратичная форма в коорд.: ${\displaystyle \kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}}$; если ${\displaystyle \overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K}$, то ${\displaystyle \kappa(v)}$ — однор. многочлен степени ${\displaystyle 2}$ от ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{n}}$.
• Поляризация квадратичн. формы ${\displaystyle \kappa }$ (${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$): ${\displaystyle \mathrm{pol}_\kappa(v,w)=\frac{\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)}2=\frac{\kappa(v+w)-\kappa(v-w)}4}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)}$.
• Поляризация ¯-квадратичной формы ${\displaystyle \kappa }$ (${\displaystyle K=\mathbb {C} }$): ${\displaystyle \mathrm{pol}_\kappa(v,w)=\frac{\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)}4}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$.
• Теорема о биекции между билинейными формами и квадратичными формами.
  (1) Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$; тогда отобр.-е ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ — изоморфизм векторных пространств.
  (2) Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$; тогда отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ — изоморфизм векторных пространств.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве ${\displaystyle V}$: множество вида ${\displaystyle \{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}}$, где ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$, ${\displaystyle c\in K}$.
• Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть ${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$, ${\displaystyle \lambda\in K_n}$, ${\displaystyle c\in K}$ и ${\displaystyle v\in K^{n}}$; тогда ${\displaystyle v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}c&\lambda\\\lambda^\mathtt T&s\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)}$.

3.1.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы

• Оператор бемоль (опускание индекса): ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$. Опускание индекса в координатах: ${\displaystyle (\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}}$ и ${\displaystyle (\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}}$.
• Случай ${\displaystyle \dim V<\infty }$: ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma }$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \flat_\sigma}$ — биекция${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle \mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}}$. Ранг формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle \mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})}$.
• Топологическая невырожденность: ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ — биекция. Пример: ${\displaystyle V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)}$ и ${\displaystyle \sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!fg}$; тогда ${\displaystyle \sigma }$ топол. вырождена.
• Пример (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$): ${\displaystyle V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}}$ и ${\displaystyle \,\sigma\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n}$; тогда ${\displaystyle \sigma }$ топол. невырождена (без доказат.-ва).
• Оператор диез (подъем индекса): ${\displaystyle \sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}}$ (${\displaystyle \sigma }$ невырождена). Подъем индекса в коорд. (${\displaystyle \sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T}$): ${\displaystyle (\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T}$ и ${\displaystyle (\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j}$.
• Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle v_1,\ldots,v_m\in V}$,
  ${\displaystyle d=(v_1,\ldots,v_m)}$ и ${\displaystyle U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle}$; тогда ${\displaystyle \sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)}$, если и только если ${\displaystyle d\in\mathrm{OB}(U)}$ и форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена.
• Ортогональные векторы (${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$): ${\displaystyle v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0}$. Ортогональное дополн.-е: ${\displaystyle U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V}$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle U\subseteq U^{\perp\perp}}$, ${\displaystyle U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp}$, ${\displaystyle (U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }}$ и ${\displaystyle \,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp}$ и, если ${\displaystyle \dim U<\infty }$, то ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle U\cap U^{\perp }\!=\{0\}}$;
  (3) если форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена, то ${\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }}$ (и, значит, определен ортогональный проектор на ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }\!&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}}$);
  (4) если форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена и ${\displaystyle U^{\perp }\!\cap U^{\perp \perp }\!=\{0\}}$, то ${\displaystyle U=U^{\perp \perp }}$.

3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис относит. ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \forall \,j_{1},j_{2}\in \{1,\ldots ,\dim V\}\;{\bigl (}j_{1}\neq j_{2}\,\Rightarrow \,\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})=0{\bigr )}}$.
• Ортонормированный базис относительно ${\displaystyle \sigma }$ (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$): ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица с ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}}$;
  тогда существует такой вектор ${\displaystyle v\in V}$, что ${\displaystyle \sigma (v,v)\neq 0}$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

  Теорема Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$; тогда
  (1) в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортогональный базис относительно ${\displaystyle \sigma }$ (то есть ${\displaystyle \mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$);
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортонормированный базис относительно ${\displaystyle \sigma }$ (то есть ${\displaystyle \mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$).

  Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)}$; тогда
  (1) существует такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диагональная матрица;
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то существует такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диагональная матрица с ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ на диагонали.

• Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})}$ и форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена; тогда ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle V_{i}}$ пространство ${\displaystyle \langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle }$ и обозначим через ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор
  матрицы ${\displaystyle \sigma _{e,e}}$. Пусть для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ форма ${\displaystyle \sigma |_{V_{i}\times V_{i}}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что ${\displaystyle m_{i}\neq 0}$); для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$
  обозначим через ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ вектор ${\displaystyle e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}$. Тогда для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено
  (1) ${\displaystyle ({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})}$ и ${\displaystyle \,\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}}$;
  (2) ${\displaystyle \hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\displaystyle {\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}}$).
• Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва и Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

3.2  Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$

3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы

• Положительно опред. формы: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}}$. Отрицательно опред. формы: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=-{\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)}$.
• Положит. и отрицат. опред. матрицы: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=-{\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)}$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда ${\displaystyle U\cap U^{\perp }\!=\{0\}}$ и, если ${\displaystyle \dim U<\infty }$, то форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена, ${\displaystyle V=U\oplus U^\perp\!}$ и ${\displaystyle \,U=U^{\perp\perp}}$.
• Критерий Сильвестра. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$;
  для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор матрицы ${\displaystyle \sigma _{e,e}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)}$, если и только если ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}}$;
  (2) ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)}$, если и только если ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}}$.
• Индексы инерции формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}}$ и ${\displaystyle \mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|}$ (и, значит, число ${\displaystyle |\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|}$ не зависит от базиса ${\displaystyle e}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|}$ (и, значит, число ${\displaystyle |\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|}$ не зависит от базиса ${\displaystyle e}$);
  (3) ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)}$.
• Теорема о классификации пространств с формой. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$,
  ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle \varphi \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(Y)}$; тогда ${\displaystyle (V,\sigma )\cong (Y,\varphi )}$, если и только если ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$, ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)}$ и ${\displaystyle \mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)}$.
• Сигнатура формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle (\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))}$ (или ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}$). Классифик.-я кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).

3.2.2  Предгильбертовы пространства

• Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: ${\displaystyle (\,\mid\,)}$. Примеры: ${\displaystyle (v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w}$, ${\displaystyle (f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g}$.
• Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Норма: ${\displaystyle \|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}}$. Утверждение: ${\displaystyle v\neq 0\,\Rightarrow \,\|v\|>0}$ и ${\displaystyle \|c\,v\|=|c|\,\|v\|}$. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: ${\displaystyle \ell ^{2}}$.
• Теорема о свойствах нормы. Пусть ${\displaystyle V}$ — предгильбертово пространство; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ выполнено ${\displaystyle |(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|}$ (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
  (2) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ выполнено ${\displaystyle \|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|}$ (это неравенство треугольника);
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V)}$ и ${\displaystyle v\in V}$ выполнено ${\displaystyle v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i}$ и ${\displaystyle \|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2}$ (это равенство Парсеваля).
• Теорема об ортогональном проектировании. Пусть ${\displaystyle V}$ — предгильбертово пространство, ${\displaystyle U\leq V}$ и ${\displaystyle \dim U<\infty }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (U)}$ и ${\displaystyle v\in V}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j}$ и ${\displaystyle \|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2}$ (это неравенство Бесселя);
  (2) для любых ${\displaystyle v\in V}$ и ${\displaystyle u\in U\!\setminus \!\{\mathrm {proj} _{U}(v)\}}$ выполнено ${\displaystyle \|v-\mathrm {proj} _{U}(v)\|<\|v-u\|}$ (и, значит, ${\displaystyle \|v-\mathrm {proj} _{U}(v)\|=\min\{\|v-u\|\mid u\in U\}}$).
• Метрика: ${\displaystyle \mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|}$. Расстояние между вектором и подпространством: ${\displaystyle \mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))}$. Метод наименьших квадратов.
• Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle v\ne0}$, ${\displaystyle w\ne0}$, ${\displaystyle U\ne\{0\}}$): ${\displaystyle \angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}}$ и ${\displaystyle \angle (v,U)=\angle (v,\mathrm {proj} _{U}(v))}$.

3.2.3  Объем и векторное произведение

• Псевдоевклидово пространство — конечномерное вект. пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с невырожденной симметричной билинейной формой. Пример: пр.-во Минковского.
• Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом простр.-ве (${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$): ${\displaystyle \mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e}$. Корректность определения формы ${\displaystyle \mathrm{vol}}$.
• Объем в коорд. (${\displaystyle n=\dim V}$): ${\displaystyle \mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}}$ (${\displaystyle \varepsilon=\mathrm{sgn}}$). Теорема об объеме и матрицах Грама.

  Теорема об объеме и матрицах Грама. Пусть ${\displaystyle V}$ — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы ${\displaystyle \sigma }$),
  ${\displaystyle n=\dim V}$, ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ и ${\displaystyle d=(v_1,\ldots,v_n)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}}$ (в частности, если векторы ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ попарно
  ортогональны, то ${\displaystyle \mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\sigma(v_1,v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|\sigma(v_n,v_n)|}}$).

• Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: ${\displaystyle |\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|}$ в ${\displaystyle \langle v_1,\ldots,v_m\rangle}$, если ${\displaystyle v_1,\ldots,v_m}$ независ. (иначе ${\displaystyle |\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0}$).
• Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть ${\displaystyle V}$ — евклидово пространство, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle v_1,\ldots,v_m\in V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle |\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{d,d}}}$, где ${\displaystyle \sigma=(\,\mid\,)}$ и ${\displaystyle d=(v_1,\ldots,v_m)}$;
  (2) если ${\displaystyle m\ge1}$, то ${\displaystyle |\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|}$.
• Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: ${\displaystyle v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp^\sigma\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl(\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)}$).
• Вект. произведение в коорд.: ${\displaystyle (v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\!\sum_{1\le j,j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\!\sigma^{i,j}\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_{n-1},j}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}}$. Теорема о векторном произведении.

  Теорема о векторном произведении. Пусть ${\displaystyle V}$ — ориентированное евклидово пространство, ${\displaystyle n=\dim V\ge1}$ и ${\displaystyle v_1,\ldots,v_{n-1}\in V}$; тогда
  (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы ${\displaystyle v_1,\ldots,v_{n-1}}$ независимы, (у2) ${\displaystyle v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0}$ и (у3) ${\displaystyle (v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)}$;
  (2) ${\displaystyle v_{1}\times \ldots \times v_{n-1}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle ^{\perp }}$ и ${\displaystyle \|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})}$;
  (3) если ${\displaystyle n=3}$, то для любых ${\displaystyle u,v,w\in V}$ выполнено ${\displaystyle (u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u}$ и ${\displaystyle (u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0}$.