Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 03:30, 27 июня 2017

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры: ${\displaystyle (v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w}$ (${\displaystyle V=K^n}$, ${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$), ${\displaystyle (f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg}$ (${\displaystyle V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)}$, ${\displaystyle s\in V}$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\displaystyle {\overline {V}}}$: ${\displaystyle c\overline\cdot v=\overline c\,v}$. Пространство ¯-билинейных (полуторалинейных, если ${\displaystyle \overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K}$) форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)}$.
• Матрица Грама формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle (\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})}$ (${\displaystyle e\in V^{n}}$). ¯-Билинейная форма в координатах: ${\displaystyle \sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}}$.
• Изоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ (${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$). Преобразов.-я при замене базиса: ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}}$ и ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}}$.
• Простр.-ва (над полем ${\displaystyle \{c\in K\mid c={\overline {c}}\}}$) ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}}$.
• Пр.-ва (над полем ${\displaystyle \{c\in K\mid c={\overline {c}}\}}$) ${\displaystyle {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}}$, ${\displaystyle \mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)}$.
• Группа автоморфизмов простр.-ва с формой: ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V,\sigma )=\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(V,\sigma ))}$ и ${\displaystyle \mathrm {Aut} (n,K,s)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid a^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {a}}=s\}}$ (${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$).

3.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)}$.
• ¯-Квадратичная форма в коорд.: ${\displaystyle \kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}}$; если ${\displaystyle \overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K}$, то ${\displaystyle \kappa(v)}$ — однор. многочлен степени ${\displaystyle 2}$ от ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{n}}$.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве ${\displaystyle V}$: множество вида ${\displaystyle \{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}}$, где ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$, ${\displaystyle c\in K}$.
• Примеры кривых второго порядка (${\displaystyle \dim V=2}$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$): ${\displaystyle \{v\in V\mid(v^1)^2+(v^2)^2=1\}}$, ${\displaystyle \{v\in V\mid(v^1)^2-(v^2)^2=1\}}$ и ${\displaystyle \{v\in V\mid(v^1)^2=v^2\}}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)}$, имеем следующий факт:
  ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — симметричная билинейная форма (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)}$);
  (2) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {SBi} (V)&\to \mathrm {Quad} (V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}}$,
  имеем следующий факт: ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — полуторалинейная форма (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$);
  (2) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {SBi} (V)}$, или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}}$.

3.1.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы

• Оператор бемоль (опускание индекса): ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)}$. Опускание индекса в координатах: ${\displaystyle (\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}}$ и ${\displaystyle (\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}}$.
• Случай ${\displaystyle \dim V<\infty }$: ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma }$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \flat_\sigma}$ — биекция${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle \mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}}$. Ранг формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle \mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})}$.
• Топологическая невырожденность: ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)}$ — биекция. Пример: ${\displaystyle V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)}$ и ${\displaystyle \sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!fg}$; тогда ${\displaystyle \sigma }$ топол. вырождена.
• Оператор диез (подъем индекса): ${\displaystyle \sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}}$ (${\displaystyle \sigma }$ невырождена). Подъем индекса в коорд. (${\displaystyle \sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T}$): ${\displaystyle (\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T}$ и ${\displaystyle (\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j}$.
• Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle e\in V^{m}}$; обозначим
  через ${\displaystyle U}$ пространство ${\displaystyle \langle e_{1},\ldots ,e_{m}\rangle }$; тогда ${\displaystyle \sigma _{e,e}\!\in \mathrm {GL} (m,K)}$, если и только если ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (U)}$ и форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена.
• Ортогональность (${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$): ${\displaystyle v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0}$. Ортогональное дополнение: ${\displaystyle U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V}$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle U\subseteq U^{\perp\perp}}$, ${\displaystyle U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp}$, ${\displaystyle (U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }}$ и ${\displaystyle \,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!=U\cap U^\perp}$ и, если ${\displaystyle \dim U<\infty }$, то ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle U\cap U^{\perp }\!=\{0\}}$;
  (3) если форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена, то ${\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }}$ (и, значит, определен ортогональный проектор на ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }\!&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}}$);
  (4) если форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена и ${\displaystyle U^{\perp }\!\cap U^{\perp \perp }\!=\{0\}}$, то ${\displaystyle U=U^{\perp \perp }}$.

3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис относит. ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \forall \,j_{1},j_{2}\in \{1,\ldots ,\dim V\}\;{\bigl (}j_{1}\neq j_{2}\,\Rightarrow \,\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})=0{\bigr )}}$.
• Ортонормированный базис относительно ${\displaystyle \sigma }$ (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$): ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица с ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}}$;
  тогда существует такой вектор ${\displaystyle v\in V}$, что ${\displaystyle \sigma (v,v)\neq 0}$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

  Теорема Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$; тогда
  (1) в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортогональный базис относительно ${\displaystyle \sigma }$ (то есть ${\displaystyle \mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$);
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортонормированный базис относительно ${\displaystyle \sigma }$ (то есть ${\displaystyle \mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$).

  Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)}$; тогда
  (1) существует такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диагональная матрица;
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то существует такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диагональная матрица с ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ на диагонали.

• Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})}$ и форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена; тогда ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}e_j\Bigr)}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle V_{i}}$ пространство ${\displaystyle \langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle }$ и обозначим через ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор
  матрицы ${\displaystyle \sigma _{e,e}}$. Пусть для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ форма ${\displaystyle \sigma |_{V_{i}\times V_{i}}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что ${\displaystyle m_{i}\neq 0}$); для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$
  обозначим через ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ вектор ${\displaystyle e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}$. Тогда для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено
  (1) ${\displaystyle ({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})}$ и ${\displaystyle \,\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}}$;
  (2) ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}=e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\sigma (e_{i},{\hat {e}}_{j})}{\sigma ({\hat {e}}_{j},{\hat {e}}_{j})}}{\hat {e}}_{j}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\displaystyle {\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}}$).