Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 15:00, 20 июня 2017

1 Основы алгебры

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы-
вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат
не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж-
дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку
этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь.

Ю.И. Манин. Математика и физика

Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и
становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались
чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих
закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем
и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а
не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.

П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1.1 Множества, отображения, отношения

1.1.1 Множества

Логические связки: $\lnot$ — отрицание («не»), $\lor$ — дизъюнкция («или»), $\land$ — конъюнкция («и»), $\Rightarrow$ — импликация («влечет»), $\Leftrightarrow$ — эквивалентность.
Лемма о логических связках. Пусть $a,b,c$ — высказывания; тогда
(1) $(a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)$ , $a\lor b=b\lor a$ , $(a\land b)\land c=a\land (b\land c)$ , $a\land b=b\land a$ ;
(2) $a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$ , $a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$ ;
(3) $\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b$ , $\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$ , $(a\Rightarrow b)=\lnot a\lor b$ , $(a\Rightarrow b)=(\lnot b\Rightarrow \lnot a)$ .
Кванторы: $\exists$ — существование («существует»), $\forall$ — всеобщность («для любых»), $\exists !$ — существование и единственность («существует единственный»).
Задание множества перечислением элементов: $\{\ldots \}$ ; $\in$ — принадлежность, $\varnothing$ — пустое множество, $\subseteq$ — включение, $\subset$ — строгое включение.
Выделение подмножества: $\{x\in X\mid p(x)\}$ . Операции над множествами: $\cup$ — объединение, $\cap$ — пересечение, $\setminus$ — разность, $\times$ — произведение.
Лемма об операциях над множествами. Пусть $X,Y,Z$ — множества; тогда
(1) $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$ , $X\cup Y=Y\cup X$ , $(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$ , $X\cap Y=Y\cap X$ ;
(2) $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$ , $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)$ ;
(3) если $U$ — множество и $X,Y\subseteq U$ , то $U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)$ и $U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)$ .
Числовые множества: $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ — натуральные, целые, рациональные, вещественные числа; $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$ и $\mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$ ( $n\in \mathbb {N}$ ).
$|X|$ — порядок (количество элементов) мн.-ва $X$ ( $|X|\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$ ), $2^{X}$ — множество подмножеств мн.-ва $X$ , $X^{n}$ — $n$ -я степень мн.-ва $X$ ( $n\in \mathbb {N} _{0}$ ).

1.1.2 Отображения

Множество отображений, действующих из мн.-ва $X$ в мн.-во $Y$ : $\mathrm {Map} (X,Y)$ . Область отобр.-я $f$ : $\mathrm {Dom} \,f$ , кообласть отобр.-я $f$ : $\mathrm {Codom} \,f$ . Примеры.
Образ множества $A$ относительно $f$ ( $A\subseteq X$ ): $f(A)$ , прообраз множества $B$ относительно $f$ ( $B\subseteq Y$ ): $f^{-1}(B)$ , образ отображения $f$ : $\mathrm {Im} \,f=f(X)$ .
Сужения отображения $f$ ( $A\subseteq X$ и $f(A)\subseteq B\subseteq Y$ ): $f|_{A}$ и $f|_{A\to B}$ . Сокращенная запись образа: $\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}$ .
Инъекции: $\mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}$ . Сюръекции: $\mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}$ .
Биекции: $\mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)$ . Композиция отображений $g$ и $f$ : $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . Тождественное отображение: $\mathrm {id} _{X}(x)=x$ .
Теорема о композиции отображений. Пусть $X,Y$ — множества и $f\in \mathrm {Map} (X,Y)$ ; тогда
(1) $f\circ \mathrm {id} _{X}=f$ , $\mathrm {id} _{Y}\circ f=f$ и, если $Z,W$ — множества, $g\in \mathrm {Map} (Y,Z)$ и $h\in \mathrm {Map} (Z,W)$ , то $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ ;
(2) если $X\neq \varnothing$ , то $f$ — инъекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}$ ;
(3) $f$ — сюръекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$ ;
(4) $f$ — биекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$ .
Отображение $f^{-1}$ , обратное к отображению $f$ : $f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X$ и $f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y$ . Пример: взаимно обратные биекции $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)$ и $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)$ .

1.1.3 Отношения

Множество отношений между множествами $X$ и $Y$ : $\mathrm {Rel} (X,Y)$ . Область отношения $\Delta$ : $\mathrm {Dom} \,\Delta$ , кообласть отношения $\Delta$ : $\mathrm {Codom} \,\Delta$ . Примеры.
Отношения эквивалентности: $\mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}$ .
Класс эквивалентности: $\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}$ . Утверждение: $x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)=\mathrm {cl} _{\sim }\!({\breve {x}})$ . Фактормножество: $X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)\mid x\in X\}$ .
Разбиения: $\mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}\!A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}$ . Утверждение: $X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)$ . Трансверсали.
Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть $X$ — множество; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — биекция.
Отношение ${\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$ : $x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})$ . Слои отображения $f$ : $\{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}$ ( $=X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$ ). Факторотображение ${\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} \,_{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}$ — биекция.
Утверждение: $\sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|$ . Принцип Дирихле. Пусть $X,Y$ — множества и $|X|=|Y|<\infty$ ; тогда $\,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)$ .

1.2 Группы (часть 1)

1.2.1 Множества с операцией

Внутренняя $n$ -арная операция на мн.-ве $S$ — отображение, действующее из $S^{n}$ в $S$ (нульарная операция на $S$ — выделенный элемент множества $S$ ).
Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: $\mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}$ .
Изоморфизмы: $\mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)$ . Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: $\mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)$ . Автоморфизмы: $\mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)$ .
Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $S,V,Y$ — множества с $n$ -арной операцией; тогда
(1) для любых $f\in \mathrm {Hom} (S,V)$ и $g\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ выполнено $g\circ f\in \mathrm {Hom} (S,Y)$ ;
(2) для любых $f\in \mathrm {Iso} (S,V)$ выполнено $f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)$ .
Обозначение по Минковскому: $o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}$ . Примеры: $\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$ , $\mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ .
Инфиксная запись бинарн. опер.-й. Ассоциативность: $\forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}$ . Коммутативность (абелевость): $\forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}$ .
Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Примеры полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть $S$ — полугруппа, $n\in \mathbb {N}$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ ; тогда значение выражения $s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}$ не зависит от
расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
Примеры: числовые моноиды, моноиды функций $\mathrm {Func} (X,M)$ , моноиды слов $\mathrm {W} (x_{1},\ldots ,x_{n})$ и $\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}$ , моноиды отображений $\mathrm {Map} (X)$ .
Обратимые элементы: $M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}$ . Единственность обратного элемента. Утверждение: $M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }$ .
Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа $M^{\times }$ ( $M$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: $G\cong J$ .
Примеры: числовые группы, группы остатков, группы функций $\mathrm {Func} (X,G)$ , свободные группы $\mathrm {F} (x_{1},\ldots ,x_{n})$ , группы биекций $\mathrm {Bij} (X)$ ( $=\mathrm{Map}(X)^\times\!$ ).
Мультипликативные обозначения в группе $G$ : $g\,h$ , $1$ , $g^{-1}$ и $g^{n}$ ( $n\in \mathbb {Z}$ ). Аддитивные обозначения в абелевой группе $A$ : $a+b$ , $0$ , $-a$ и $n\,a$ ( $n\in \mathbb {Z}$ ).
Симметрические группы: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {Bij} (\{1,\ldots ,n\})$ . Запись перестановки в виде послед.-сти значений, цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
Лемма о циклах. Пусть $l,m,n\in \mathbb {N}$ , $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}$ , числа $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k$ попарно различны и $u\in \mathrm {S} _{n}$ ; тогда
$(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$ , а также $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$ .
Группа изометрий пр.-ва $\mathbb {R} ^{n}$ : $\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{f\in\mathrm{Bij}(\mathbb R^n)\mid\forall\,v,v'\in\mathbb R^n\,\bigl(\|f(v)-f(v')\|=\|v-v'\|\bigr)\}$ ( $\|(v^1,\ldots,v^n)\|=\!\sqrt{(v^1)^2+\ldots+(v^n)^2}$ ).

1.2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы

Подгруппа: $H\leq G\,\Leftrightarrow \,H\cdot H\subseteq H\,\land \,1\in H\,\land \,H^{-1}\!\subseteq H$ . Подгруппа, порожденная мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle$ — наименьшая подгруппа, содержащая $D$ .
Утверждение: $\langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\!\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}$ , а также $\langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}$ . Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!=\langle 1\rangle =\langle -1\rangle$ .
Отношения ${\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и ${\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ : $g\,{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H$ ( $\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H$ ) и $g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\,{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H$ ( $\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}$ ). Утверждение: $\mathrm {cl} \!_{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\!(g)=gH$ и $\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\!\!(g)=Hg$ .
Множества классов смежности: $G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и $H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ . Теорема Лагранжа. Индекс: $|G:H|=|G/H|$ .
Теорема Лагранжа. Пусть $G$ — группа, $|G|<\infty$ и $H\leq G$ ; тогда $|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|$ (и, значит, $|H|$ делит $|G|$ ).
Порядок элемента: $\mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}$ ( $\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ ). Утверждение: пусть $n=\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N}$ ; тогда $\{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z}$ .
Лемма о порядке элемента. Пусть $G$ — группа и $g\in G$ ; тогда $\mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |$ и, если $|G|<\infty$ , то $\mathrm {ord} (g)$ делит $|G|$ и $g^{|G|}\!=1$ .
Теорема об обратимых остатках.
(1) Пусть $n\in \mathbb {N}$ и $a\in(\mathbb Z/n)^+\!$ ; тогда $\mathrm{ord}(a)=\frac n{\gcd(a,n)}$ .
(2) Пусть $n\in \mathbb {N}$ ; тогда $(\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}$ (в частности, если $p\in \mathbb {P}$ , то $(\mathbb {Z} /p)^{\times }\!=(\mathbb {Z} /p)\!\setminus \!\{0\}$ ).
(3) Пусть $p\in \mathbb {P}$ , $a\in \mathbb {Z}$ и $p$ не делит $a$ ; тогда $a^{p-1}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)$ (это малая теорема Ферма).
Циклическая группа: $\exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}$ . Примеры: $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ для любых $n\in \mathbb {N}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ , $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$ для некоторых $n\in \mathbb {N}$ . Теорема о циклических группах.
Теорема о циклических группах. Пусть $G$ — циклическая группа и $n=|G|$ ; тогда, если $n\in \mathbb {N}$ , то $G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ , и, если $n=\infty$ , то $G\cong \mathbb {Z} ^{+}$ .

1.2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

Нормальная подгруппа: $H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}$ . Пример: $|G:H|=2\,\Rightarrow \,H\trianglelefteq G$ .
Автоморфизм сопряжения при помощи элемента $g$ : ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ . Отношение сопряженности: ${\bigl (}$ $x$ и ${\breve {x}}$ сопряжены ${\bigr )}$ $\;\Leftrightarrow \;$ $\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}$ .
Нормальная подгруппа, порожденная множеством $T$ : $(T)$ — наименьшая нормальная подгруппа, содержащая $T$ . Утверждение: $(T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }$ .
Ядро и образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)$ и $\mathrm {Im} \,f$ . Утверждение: $\mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq G$ и $\,\mathrm {Im} \,f\leq J$ . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда
(1) для любых $j\in J$ и $g_{0}\in f^{-1}(j)$ выполнено $f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f$ ;
(2) $f$ — инъекция, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}$ .
Факторгруппа: $G/H$ с фактороперациями ( $H\trianglelefteq G$ ). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ .
Теорема о гомоморфизме. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда $G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Прямое произведение групп: $F\times H$ с покомпонентными операциями. Утверждение: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизмы групп.
Теорема о прямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$ ; обозначим через $\mathrm {mult}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ ; тогда
(1) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ , $\mathrm {mult} ^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} =FH$ ;
(2) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ ;
(3) если $|G|<\infty$ , то в пункте (2) условие " $G=FH\!$ " можно заменить на условие " $\,|G|=|F|\,|H|$ ".

1.3 Кольца (часть 1)

1.3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами

Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
Примеры: числовые кольца, кольца функций. Аддитивная и мультипликативная группы кольца $R$ : $R^{+}$ и $R^{\times }$ . Характеристика кольца $R$ : $\mathrm {char} \,R$ .
Подкольцо: $S\leq R\,\Leftrightarrow \,S+S\subseteq S\,\land \,0\in S\,\land \,-S\subseteq S\,\land \,S\cdot S\subseteq S\,\land \,1\in S$ . Подкольцо, порожд. мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle$ . Кольца вида $S[r_{1},\ldots ,r_{n}]$ .
Идеал: $I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow \,I+I\subseteq I\,\land \,0\in I\,\land \,R\cdot I\cdot R\subseteq I$ . Идеал, порожд. мн.-вом $T$ : $(T)$ . Идеал, порожд. элементом $r$ коммут. кольца $R$ : $(r)=rR$ .
Ядро и образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,f$ . Утверждение: $\mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq R$ и $\,\mathrm {Im} \,f\leq U$ . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$ ; тогда
(1) для любых $u\in U$ и $r_{0}\in f^{-1}(u)$ выполнено $f^{-1}(u)=r_{0}+\mathrm {Ker} \,f$ ;
(2) $f$ — инъекция, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,f=\{0\}$ .
Факторкольцо: $R/I$ с фактороперациями ( $I\trianglelefteq R$ ). Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец: $Q\times S$ с покомпонентными операциями.
Теорема о гомоморфизме. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$ ; тогда $R/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Кольцо без делителей нуля: $(R\!\setminus \!\{0\})\,(R\!\setminus \!\{0\})\subseteq R\!\setminus \!\{0\}$ и $R\neq \{0\}$ . Область целостности — коммут. кольцо без делит. нуля. Тело: $K^{\times }\!=K\!\setminus \!\{0\}$ .
Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p$ , где $p\in \mathbb {P}$ . Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.

1.3.2 Кольца многочленов

Кольцо многочленов от переменной $x$ над кольцом $R$ : $R[x]=\mathrm{FinFunc}(\mathrm W(x),R)$ ; отождествл.-е $\delta_{x^i}$ и $x^i$ ; общий вид многочлена: $f_nx^n+\ldots+f_0$ .
Умножение в $R[x]$ . Степень и старший коэфф.-т. Утверждение: $R[x]^{\times }\!=R^{\times }$ . Делимость в $R[x]$ ( $R$ — комм. кольцо): $g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)$ .
Неприводимые многочлены в $R[x]$ : $\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}$ . Пример: $\{f\in K[x]\mid\deg f=1\}\subseteq\mathrm{Irr}(K[x])$ ( $K$ — поле).
Лемма о делении с остатком. Операции $\mathrm {div}$ и $\mathrm {mod}$ (старший коэфф.-т многочл. $f$ обратим): $g=(g\;\mathrm{div}\;f)\,f+(g\;\mathrm{mod}\;f)$ и $\deg\,(g\;\mathrm{mod}\;f)<\deg f$ .
Лемма о делении с остатком. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f,g\in R[x]$ и старший коэффициент многочлена $f$ обратим; тогда
существуют единственные такие многочлены $q,t\in R[x]$ , что $g=q\,f+t$ и $\deg t<\deg f$ .
Кольцо остатков по модулю многочлена $f$ ( $K$ — поле, $f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}$ ): $K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}$ . Утверждение: $K[x]/(f)\cong K[x]/f$ .
Сопоставление многочлену полиномиальной функции ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {pf} _{A}\colon R[x]&\to \mathrm {Func} (A,A)\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto {\bigl (}a\mapsto f_{n}a^{n}+\ldots +f_{0}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм ( $A$ — комм. кольцо, $R\leq A$ ).
Обозначение: $f(a)={\bigl (}\mathrm {pf} _{A}(f){\bigr )}(a)$ . Корни многочлена $f$ : $\{r\in R\mid f(r)=0\}$ . Теорема Безу. Теорема о корнях многочлена и следствие из нее.
Теорема Безу. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f\in R[x]$ и $r\in R$ ; тогда $f\;\mathrm {mod} \;(x-r)=f(r)$ (и, значит, $(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0$ ).

Теорема о корнях многочлена. Пусть $R$ — область целостности и $f\in R[x]\!\setminus \!\{0\}$ ; тогда $|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\leq \deg f$ .

Следствие из теоремы о корнях многочлена. Пусть $R$ — область целостности, $|R|=\infty$ , $f\in R[x]$ и $\forall \,r\in R\;{\bigl (}f(r)=0{\bigr )}$ ; тогда $f=0$ .

1.3.3 Поле комплексных чисел

Кольцо комплексных чисел: $\mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=-1$ . Утверждение: $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ . Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ .
Вещественная и мнимая части: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta$ . Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i}$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}$ .
Теорема о свойствах комплексных чисел.
(1) Для любых $a\in \mathbb {C}$ выполнено $a\,{\overline {a}}=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {C}$ — поле).
(2) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb {C}$ ).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Единичная окружность в $\mathbb {C}$ : $\mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}<\mathbb C^\times\!$ . Экспонента от комплексного числа $a$ : $\mathrm {e} ^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{+}\!\!&\to \mathbb {C} ^{\times }\!\\a&\mapsto \mathrm {e} ^{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
(2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ выполнено $\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\!=\cos \varphi +\sin \varphi \,\mathrm {i}$ (и, значит, $\mathrm {S} ^{1}\!=\{\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\!\mid \varphi \in [0;2\pi )\}\cong \mathbb {R} ^{+}\!/2\pi \,\mathbb {Z}$ ).
Тригонометрическая форма компл. числа: $r\,(\cos \varphi +\sin \varphi \,\mathrm {i} )=r\,\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }$ . Утверждение: $\{a\in \mathbb {C} \mid a^{n}\!=r\,\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\}=\{{\sqrt[{n}]{r}}\,\mathrm {e} ^{{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\mathrm {i} }\!\mid k\in \{0,\ldots ,n-1\}\}$ .
Группа корней $n$ -й степени из $1$ : $\{a\in \mathbb {C} \mid a^{n}\!=1\}=\{\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi k}{n}}\mathrm {i} }\!\mid k\in \{0,\ldots ,n-1\}\}=\langle \mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{n}}\mathrm {i} }\rangle \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ . Первообразные корни $n$ -й степени из $1$ .
Формула Кардано (без доказательства). Алгебраическая замкнутость поля $\mathbb {C}$ : пусть $f\in \mathbb {C} [x]\!\setminus \!\mathbb {C}$ ; тогда $\exists \,a\in \mathbb {C} \;{\bigl (}f(a)=0{\bigr )}$ (без доказательства).
Лемма о вещественных многочленах. Пусть $f\in \mathbb {R} [x]$ , $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$ ; тогда $f(\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=0\,\Leftrightarrow f(\alpha -\beta \,\mathrm {i} )=0\,\Leftrightarrow (x^{2}-2\alpha \,x+\alpha ^{2}+\beta ^{2})\,|\,f$ .

1.3.4 Тело кватернионов

Кольцо кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$ , а также $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$ , $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$ , $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$ .
Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k}$ .
Чистые кватернионы: $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }=\{v\in \mathbb {H} \mid \mathrm {Re} (v)=0\}$ . Скалярное произв.-е, векторное произв.-е и норма в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ : $(v\!\mid \!v')$ , $v\times v'$ и $\|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}$ .
Лемма об умножении кватернионов. Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\|\mathrm {Im} (a)\|^{2}}}$ . Утверждение: $v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\Leftrightarrow\,\overline v=-v$ .
Лемма об умножении кватернионов. Для любых $\alpha ,\alpha '\in \mathbb {R}$ и $v,v'\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ выполнено $(\alpha +v)(\alpha '+v')=(\alpha \alpha '-(v\!\mid \!v'))+(\alpha v'+\alpha 'v+v\times v')$ .
Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых $a\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {H}$ — тело).
(2) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — антиавтоморфизм тела $\,\mathbb {H}$ ).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Трехмерная сфера: $\mathrm {S} ^{3}\!=\{g\in \mathbb {H} \mid |g|=1\}\triangleleft \mathbb {H} ^{\times }$ . Утверждение: пусть $g,g'\in \mathrm {S} ^{3}$ ; тогда $\forall \,a\in \mathbb {H} \;{\bigl (}|g\,a\,g'|=|a|{\bigr )}$ и $\forall \,v\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\,{\bigl (}g\,v\,g^{-1}\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }{\bigr )}$ .
Изометрии в $\mathbb {C}$ : $\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,v+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^1,\,v_0\in\mathbb C\bigr\}\cup\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^1,\,v_0\in\mathbb C\bigr\}$ (доказательство только включения $\supseteq$ ).
Изометрии в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ : $\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^3,\,v_0\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr\}\cup\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^3,\,v_0\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr\}$ (док.-во только $\supseteq$ ).

@@ Строка 21: / Строка 21: @@
 <li>Сужения отображения <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math> и <math>f(A)\subseteq B\subseteq Y</math>): <math>f|_A</math> и <math>f|_{A\to B}</math>. Сокращенная запись образа: <math>\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid\exists\,x\in X\;\bigl(f(x)=y\bigr)\}</math>.
 <li>Инъекции: <math>\mathrm{Inj}(X,Y)=\{f\in\mathrm{Map}(X,Y)\mid\forall\,y\in Y\;\bigl(|f^{-1}(y)|\le1\bigr)\}</math>. Сюръекции: <math>\mathrm{Surj}(X,Y)=\{f\in\mathrm{Map}(X,Y)\mid\forall\,y\in Y\;\bigl(|f^{-1}(y)|\ge1\bigr)\}</math>.
-<li>Биекции: <math>\mathrm{Bij}(X,Y)=\mathrm{Inj}(X,Y)\cap\mathrm{Surj}(X,Y)</math>. Композиция отображений: <math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math>. Тождественное отображение: <math>\mathrm{id}_X(x)=x</math>.
+<li>Биекции: <math>\mathrm{Bij}(X,Y)=\mathrm{Inj}(X,Y)\cap\mathrm{Surj}(X,Y)</math>. Композиция отображений <math>g</math> и <math>f</math>: <math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math>. Тождественное отображение: <math>\mathrm{id}_X(x)=x</math>.
 <li><u>Теорема о композиции отображений.</u> <i>Пусть <math>X,Y</math> — множества и <math>f\in\mathrm{Map}(X,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>f\circ\mathrm{id}_X=f</math>, <math>\mathrm{id}_Y\circ f=f</math> и, если <math>Z,W</math> — множества, <math>g\in\mathrm{Map}(Y,Z)</math> и <math>h\in\mathrm{Map}(Z,W)</math>, то <math>(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)</math>;<br>(2) если <math>X\ne\varnothing</math>, то <math>f</math> — инъекция, если и только если <math>\exists\,f'\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\bigr)</math>;<br>(3) <math>f</math> — сюръекция, если и только если <math>\exists\,f'\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)</math>;<br>(4) <math>f</math> — биекция, если и только если <math>\exists\,f'\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\,\land\,f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)</math>.</i>
 <li>Отображение <math>f^{-1}</math>, обратное к отображению <math>f</math>: <math>f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X</math> и <math>f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y</math>. Пример: взаимно обратные биекции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)</math>.</ul>
@@ Строка 32: / Строка 32: @@
 <li><u>Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях.</u> <i>Пусть <math>X</math> — множество; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{EquivRel}(X)&\to\mathrm{Part}(X)\\\sim&\mapsto X/{\sim}\end{align}\!\biggr)</math> — биекция.</i>
 <li>Отношение <math>\underset{\scriptscriptstyle f}\sim</math>: <math>x\;\underset{\scriptscriptstyle f}\sim\;\breve x\,\Leftrightarrow\,f(x)=f(\breve x)</math>. Слои отображения <math>f</math>: <math>\{f^{-1}(y)\mid y\in\mathrm{Im}\,f\}</math> (<math>=X/\underset{\scriptscriptstyle f}\sim</math>). Факторотображение <math>\Biggl(\!\!\begin{align}X/\underset{\scriptscriptstyle f}\sim&\to\mathrm{Im}\,f\\\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle f}\sim(x)&\mapsto f(x)\end{align}\Biggr)</math> — биекция.
-<li>Утверждение: <math>\sum_{y\in\mathrm{Im}\,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|</math>. <u>Принцип Дирихле.</u> <i>Пусть <math>X,Y</math> — множества, <math>|X|=|Y|<\infty</math>; тогда <math>\,\mathrm{Inj}(X,Y)=\mathrm{Surj}(X,Y)=\mathrm{Bij}(X,Y)</math>.</i></ul>
+<li>Утверждение: <math>\sum_{y\in\mathrm{Im}\,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|</math>. <u>Принцип Дирихле.</u> <i>Пусть <math>X,Y</math> — множества и <math>|X|=|Y|<\infty</math>; тогда <math>\,\mathrm{Inj}(X,Y)=\mathrm{Surj}(X,Y)=\mathrm{Bij}(X,Y)</math>.</i></ul>
 <h3>1.2&nbsp; Группы (часть 1)</h3>
@@ Строка 74: / Строка 74: @@
 <li>Ядро и образ гомоморфизма <math>f</math>: <math>\mathrm{Ker}\,f=f^{-1}(1)</math> и <math>\mathrm{Im}\,f</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,f\trianglelefteq G</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,f\le J</math></i>. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
 <p><u>Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>G,J</math> — группы и <math>f\in\mathrm{Hom}(G,J)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in J</math> и <math>g_0\in f^{-1}(j)</math> выполнено <math>f^{-1}(j)=g_0\,\mathrm{Ker}\,f</math>;<br>(2) <math>f</math> — инъекция, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,f=\{1\}</math>.</i></p>
-<li>Факторгруппа: <math>G/H</math> с фактороперациями (<math>H\trianglelefteq G</math>). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: <math>\mathbb Z^+\!/n\,\mathbb Z\cong(\mathbb Z/n)^+</math>.
+<li>Факторгруппа: <math>G/H</math> с фактороперациями (<math>H\trianglelefteq G</math>). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: <math>\mathbb Z^+\!/n\,\mathbb Z\cong(\mathbb Z/n)^+</math>.
 <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>G,J</math> — группы и <math>f\in\mathrm{Hom}(G,J)</math>; тогда <math>G/\,\mathrm{Ker}\,f\cong\mathrm{Im}\,f</math>.</i></p>
 <li>Прямое произведение групп: <math>F\times H</math> с покомпонентными операциями. Утверждение: <i><math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизмы групп</i>.