Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 88: | Строка 88: | ||
<ul><li>Отношение касания в точке <math>m</math>: <math>\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A_m\,\bigl(\gamma'(0)^\xi=\breve\gamma'(0)^\xi\bigr)</math>. Инвариантная скорость (<math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>): <math>\gamma'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(\gamma)\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. | <ul><li>Отношение касания в точке <math>m</math>: <math>\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A_m\,\bigl(\gamma'(0)^\xi=\breve\gamma'(0)^\xi\bigr)</math>. Инвариантная скорость (<math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>): <math>\gamma'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(\gamma)\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. | ||
<li>Касательное пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Базисные векторы, определ. системой координат <math>\xi</math>: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\underline e_i)\bigr)'(0)</math>. | <li>Касательное пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Базисные векторы, определ. системой координат <math>\xi</math>: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\underline e_i)\bigr)'(0)</math>. | ||
− | + | <li>Теорема о касательном пространстве. Преобразования при замене координат на <math>M</math>: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,v^k</math> и <math>\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\xi(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)</math>. | |
− | <li>Теорема о касательном пространстве. Преобразования | + | <p><u>Теорема о касательном пространстве.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math>, <math>m\in M</math> и <math>\xi\in\mathcal A_m</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\gamma'(0)</math>, и обозначая через <math>v^\xi</math> столбец <math>\gamma'(0)^\xi</math>, имеем следующий факт:<br>столбец <math>v^\xi</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\v&\mapsto v^\xi\end{align}\!\biggr)</math> — биекция; определим на множестве <math>\,\mathrm T_mM</math> структуру векторного пространства над полем <math>\,\mathbb R</math> так, чтобы<br>эта биекция стала изоморфизмом векторных пространств; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат <math>\xi</math>;<br>(3) множество <math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm T_mM</math>;<br>(4) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> выполнено <math>v=\sum_{i=1}^n(v^\xi)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> (это формула разложения по базису в <math>\,\mathrm T_mM</math>).</i></p> |
− | <p><u>Теорема о касательном пространстве.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math>, <math>m\in M</math> и <math>\xi\in\mathcal A_m</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\gamma'(0)</math>, и обозначая через <math>v^\xi</math> столбец <math>\gamma'(0)^\xi</math>, имеем следующий факт:<br>столбец <math>v^\xi</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\v&\mapsto v^\xi\end{align}\!\biggr)</math> — биекция; определим на множестве <math>\,\mathrm T_mM</math> структуру векторного пространства над полем <math>\,\mathbb R</math> так, чтобы<br>эта биекция стала изоморфизмом векторных пространств; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат <math>\xi</math>;<br>(3) | + | |
<li>Кокасательное пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T^*_mM=(\mathrm T_mM)^*</math>. Базисные ковекторы, определ. сист. коорд. <math>\xi</math>: <math>\mathrm dx^j(m)=\Bigl(\frac\partial{\partial x^j}(m)\Bigr)^{\!*}</math>. Строка коорд. ковектора: <math>\lambda_\xi</math>. | <li>Кокасательное пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T^*_mM=(\mathrm T_mM)^*</math>. Базисные ковекторы, определ. сист. коорд. <math>\xi</math>: <math>\mathrm dx^j(m)=\Bigl(\frac\partial{\partial x^j}(m)\Bigr)^{\!*}</math>. Строка коорд. ковектора: <math>\lambda_\xi</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Разложение по базису в <math>\mathrm T^*_mM</math>: <math>\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_\xi)_j\,\mathrm dx^j(m)</math>. Преобр.-я при замене координат: <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\xi(m))\,\lambda_l</math> и <math>\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\xi(m))\,\mathrm dx^l(m)</math>. |
<li><u>Теорема о дифференциале функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>m\in M</math> и <math>f\in\mathrm{Func}(M)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\gamma'(0)</math>, и обозначая через <math>(\mathrm df(m))(v)</math> число <math>(f\circ\gamma)'(0)</math>, имеем<br>следующий факт: число <math>(\mathrm df(m))(v)</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> и <math>\xi\in\mathcal A_m</math> выполнено <math>(\mathrm df(m))(v)=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\cdot v^\xi</math>;<br>(3) обозначая через <math>\mathrm df(m)</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\v&\mapsto(\mathrm df(m))(v)\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm df(m)</math> — ковектор (то есть <math>\mathrm df(m)\in\mathrm T^*_mM</math>).</i> | <li><u>Теорема о дифференциале функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>m\in M</math> и <math>f\in\mathrm{Func}(M)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\gamma'(0)</math>, и обозначая через <math>(\mathrm df(m))(v)</math> число <math>(f\circ\gamma)'(0)</math>, имеем<br>следующий факт: число <math>(\mathrm df(m))(v)</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> и <math>\xi\in\mathcal A_m</math> выполнено <math>(\mathrm df(m))(v)=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\cdot v^\xi</math>;<br>(3) обозначая через <math>\mathrm df(m)</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\v&\mapsto(\mathrm df(m))(v)\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm df(m)</math> — ковектор (то есть <math>\mathrm df(m)\in\mathrm T^*_mM</math>).</i> | ||
<li>Дифференциал в координатах: <math>\mathrm df(m)_\xi=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\in\mathbb R_n</math> и <math>(\mathrm df(m)_\xi)_j=\frac{\partial(f\circ\xi^{-1})}{\partial x^j}(\xi(m))=\partial_jf(m)</math>; тогда <math>\mathrm df(m)=\sum_{j=1}^n\partial_jf(m)\,\mathrm dx^j(m)</math>. | <li>Дифференциал в координатах: <math>\mathrm df(m)_\xi=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\in\mathbb R_n</math> и <math>(\mathrm df(m)_\xi)_j=\frac{\partial(f\circ\xi^{-1})}{\partial x^j}(\xi(m))=\partial_jf(m)</math>; тогда <math>\mathrm df(m)=\sum_{j=1}^n\partial_jf(m)\,\mathrm dx^j(m)</math>. | ||
<li>Производная Ли функции вдоль вектора (<math>v\in\mathrm T_mM</math>): <math>\mathcal L_v(f)=(\mathrm df(m))(v)</math>. Утверждение: <i><math>\mathcal L_v(fg)=\mathcal L_v(f)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_v(g)</math> и <math>\mathcal L_{\!\frac\partial{\partial x^i}(m)\!}(f)=\partial_if(m)</math></i>.</ul> | <li>Производная Ли функции вдоль вектора (<math>v\in\mathrm T_mM</math>): <math>\mathcal L_v(f)=(\mathrm df(m))(v)</math>. Утверждение: <i><math>\mathcal L_v(fg)=\mathcal L_v(f)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_v(g)</math> и <math>\mathcal L_{\!\frac\partial{\partial x^i}(m)\!}(f)=\partial_if(m)</math></i>.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>2.5.3 Векторные поля и ковекторные поля</h5> | ||
+ | <ul><li>Касательное и кокасательное расслоения: <math>\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T_mM</math> и <math>\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T^*_mM</math>. Структура многообр.-я на <math>\mathrm TM</math> и <math>\mathrm T^*M</math>; отобр.-е проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>. | ||
+ | <li>Векторные поля и ковекторные поля (<math>1</math>-формы): <math>\mathrm{Vect}(M)=\{v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ v=\mathrm{id}_M\}</math> и <math>\Omega^1(M)=\{\lambda\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\lambda=\mathrm{id}_M\}</math>. | ||
+ | <li>Пример: <math>\mathrm df\in\Omega^1(M)</math>. Сложение и умножение на функцию в <math>\mathrm{Vect}(M)</math> и <math>\Omega^1(M)</math>. Действие <math>1</math>-формы на векторное поле: <math>(\lambda(v))(m)=(\lambda(m))(v(m))</math>. | ||
+ | <li>Векторные и ковекторные поля в координатах: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\frac\partial{\partial x^i}</math> и <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,\mathrm dx^j</math>. Преобр.-я при замене: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}\!\circ\xi\Bigr)\,v^k</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\lambda_l</math>. | ||
+ | <li>Тензорное расслоение типа <math>(0,k)</math>: <math>\mathcal T_{\,k}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm{Multi}_k(\mathrm T_mM)</math>. Тензорные поля типа <math>(0,k)</math>: <math>\mathrm{Tens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T_{\,k}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math>. | ||
+ | <li>Сложение и умножение на функцию в <math>\mathrm{Tens}_k(M)</math>. Действие тенз. поля типа <math>(0,k)</math> на <math>k</math> вект. полей: <math>(\omega(v_1,\ldots,v_k))(m)=(\omega(m))(v_1(m),\ldots,v_k(m))</math>. | ||
+ | <li>Тенз. поля типа <math>(0,k)</math> в коорд.: <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math>. Преобр.-е при замене: <math>\omega_{\tilde j_1,\ldots,\tilde j_k}\!=\!\!\!\sum_{1\le l_1,\ldots,l_k\le n}\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_k}}{\partial x^\tilde{j_k}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\omega_{l_1,\ldots,l_k}</math>. | ||
+ | <li>Произв.-я Ли функции вдоль вект. поля: <math>\mathcal L_v(f)=\mathrm df(v)</math>. Теорема об алгебре Ли векторных полей. Коммутатор в коорд.: <math>[v,w]^i=\sum_{j=1}^n\bigl(v^j\,\partial_jw^i-w^j\,\partial_jv^i\bigr)</math>. | ||
+ | <p><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm{Vect}(M)</math> имеем следующий факт: <math>\mathcal L_v</math> — дифференцирование алгебры <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> (то есть <math>\mathcal L_v\!\in\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathcal L_v\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный линейный оператор, и его образ — подалгебра алгебры Ли <math>\,\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>;<br>определим на векторном пространстве <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> бинарную операцию <math>[\,,]</math> так, чтобы этот инъективный линейный оператор стал гомоморфизмом<br>алгебр Ли; тогда <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относительно операции <math>[\,,]</math>.</i></p></ul> |
Версия 00:00, 10 мая 2017
2 Линейная алгебра
2.3 Линейные операторы (часть 2)
2.3.1 Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора
- Эвалюация — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором : .
- Минимальный многочлен лин. оператора : , нормирован, ; .
- Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если , то (то есть — -инвариантное подпространство);
(2) если и делит , то ;
(3) если , и многочлены попарно взаимно просты, то
(и, значит, ). - Проектор (идемпотент): . Отражение: (здесь ).
- Собственные число и вектор лин. операт. : . Спектр лин. операт. : . Лемма о спектре.
Лемма о спектре. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда
и, если , то "" можно заменить на "". - Характеристический многочлен матрицы : . Характеристический многочлен лин. оператора : . Корректность опред.-я.
- След линейного оператора : . Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.
Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) (и, значит, );
(2) ;
(3) если (то есть — нильпотентный линейный оператор), то .Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Кратности: (алгебраич. кратность), . Теорема о минимальном многочлене.
Теорема о минимальном многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) делит (и, значит, для любых выполнено );
(2) .
2.3.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
- Собственные подпространства: ; геометрическая кратность: . Лемма о собственных подпространствах.
Лемма о собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
попарно различны; тогда
(1) ;
(2) если и — независимые множества, то — независимое множество;
(3) если , то для любых выполнено . - Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
следующие утверждения эквивалентны:
(у1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
(у2) (то есть многочлен раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
(у3) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора );
(у4) . - Обобщенные собственные подпростр.-ва: ; относительные геометрич. кратности: .
- Жорданова клетка: ; если , то и .
- Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и ; тогда
(1) для любых выполнено и, если , то ;
(2) для любых выполнено ;
(3) и . - Корневые подпространства: . Нильпотентные части линейного оператора : .
- Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено
для любых линейных операторов в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
(1) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора );
(2) для любых имеем следующие факты: (и, значит, — нильпотентный лин. оператор) и .
2.3.3 Относительные базисы, жорданова нормальная форма, приложения жордановой нормальной формы
- — независимое мн.-во относит.-но : . — порождающее мн.-во относит.-но : .
- Базис в относительно — независ. и порожд. подмн.-во в относительно . Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).
Теорема 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства относительно ;
(у2) — независимое множество и (и, значит, если , то );
(у3) для любого вектора существуют единственные такие и , что ;
(у4) — максимальное независимое множество относительно ;
(у5) — минимальное порождающее множество относительно .Теорема 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
(2) из любого порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно . - Теорема об относительно независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем и
, а также , , и ; тогда
(1) если — независимое подмножество в относит.-но , то — инъекция и — независимое подмножество в относит.-но ;
(2) если , то . - Диаграммы Юнга. Жорданов блок: — прямая сумма жордановых клеток , где — длины строк диаграммы Юнга .
- Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы — относительные геометрич. кратности . Корректность опред.-я.
- Теорема о жордановой нормальной форме. Обозначение: . Утверждение: пусть и ; тогда .
Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , и многочлен
раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для любых линейных операторов
в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что матрица —
прямая сумма жордановых блоков по всем . - Многочлен (ряд) от жордановой клетки: . Экспонента от лин. операт. : . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Пусть — банахово пространство и ; тогда , а также и .
(2) Пусть и ; тогда , а также и . - Однородная система линейных дифференциальных уравн.-й: (, ). Решение системы: , где .
2.4 Алгебры
2.4.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
- -Алгебра — вект. пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из .
- Примеры: -алгебры , , , , , ; -алгебры , , , и с векторным умножением.
- Структурные константы алгебры: . Утверждение: массив однозначно определяет умножение в алгебре .
- Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъект. гомоморфизмы -алгебр: и .
Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство
над полем , получающееся из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
(2) отображение — инъективный гомоморфизм алгебр с . - Алгебры с делением: и . Любая к./м. ассоц. -алгебра с делением изоморфна , или , или (без док.-ва).
- Моноидная алгебра ( — моноид): с операцией свертки; способ записи элементов: ().
- Алгебра многочленов от свободных переменных: . Одночлены: . Степень. Однородные многочлены.
2.4.2 Алгебра полилинейных форм
- Тензорное произведение полилинейных форм: . Свойства тензорного произведения.
- Базис в пространстве : . Разложение формы по базису: .
- Обозначение: . Пример: . Преобразов.-е при замене базиса: .
- Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров) над : . Утверждение: — ассоциативная -алгебра с .
- Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) отображение, продолжающее по линейности частичное отображение , — изоморфизм алгебр с ;
(2) для любых изоморфизм из пункта (1) отображает пространство однородных многочленов степени в пространство . - Идеалы и : и .
- Алгебры многочл. от коммутирующих и антикоммутирующих перем.: и .
2.4.3 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
- -Алгебра Ли — -алгебра, умножение в которой антисимметрично () и удовлетворяет тождеству Якоби ().
- Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : вект. простр.-во с операцией . Утверждение: алгебра — алгебра Ли.
- Примеры: , , с векторным умножением — алгебра Ли, так как в алгебре Ли .
- Матричные алгебры Ли: , , , , .
- Утверждение: и (здесь или ), а также , , .
- Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы -алгебр Ли: , и .
Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и — -алгебра Ли; обозначим через векторное пространство над полем , получающееся
из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
(2) отображение — гомоморфизм алгебр Ли. - Алгебра дифференцирований -алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
- Пример: пусть — открытое подмножество в и ; тогда — дифференцирование алгебры .
2.5 Многообразия (часть 1)
2.5.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями
- -Мерная система координат на топол. пр.-ве — гомеоморфизм между областями в и в ; отн.-е согласованности: — диффеоморфизм.
- -Мерный атлас на — множество попарно согласованных -мерных систем координат на , области определения которых покрывают . Примеры.
- -Мерное многообразие — хаусдорфово топологич. пространство (со счетной базой) с максимальным атласом . Примеры: , области в , .
- Обозначение: . Гладкость отобр.-я в точке : существуют такие и , что — гладкое отобр.-е.
- Утверждение: гладкость отобр.-я не зависит от выбора систем координат. Множество гладких отображений между многообр.-ми и : .
- Обозначения: ( — область в , ) — мн.-во кривых, — алгебра функций.
- Скорость в координатах (, где — область в , , ): и .
- Обозначения: и (тогда ). Лемма о замене координат.
Лемма о замене координат. Пусть — многообразие, , , и ; тогда
(1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(2) для любых выполнено .
2.5.2 Касательное пространство и кокасательное пространство
- Отношение касания в точке : . Инвариантная скорость (): .
- Касательное пр.-во в точке : . Базисные векторы, определ. системой координат : .
- Теорема о касательном пространстве. Преобразования при замене координат на : и .
Теорема о касательном пространстве. Пусть — многообразие, , и ; тогда
(1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через столбец , имеем следующий факт:
столбец не зависит от выбора кривой ;
(2) отображение — биекция; определим на множестве структуру векторного пространства над полем так, чтобы
эта биекция стала изоморфизмом векторных пространств; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат ;
(3) множество — базис пространства ;
(4) для любых выполнено (это формула разложения по базису в ). - Кокасательное пр.-во в точке : . Базисные ковекторы, определ. сист. коорд. : . Строка коорд. ковектора: .
- Разложение по базису в : . Преобр.-я при замене координат: и .
- Теорема о дифференциале функции. Пусть — многообразие, и ; тогда
(1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через число , имеем
следующий факт: число не зависит от выбора кривой ;
(2) для любых и выполнено ;
(3) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — ковектор (то есть ). - Дифференциал в координатах: и ; тогда .
- Производная Ли функции вдоль вектора (): . Утверждение: и .
2.5.3 Векторные поля и ковекторные поля
- Касательное и кокасательное расслоения: и . Структура многообр.-я на и ; отобр.-е проекции на : .
- Векторные поля и ковекторные поля (-формы): и .
- Пример: . Сложение и умножение на функцию в и . Действие -формы на векторное поле: .
- Векторные и ковекторные поля в координатах: и . Преобр.-я при замене: и .
- Тензорное расслоение типа : . Тензорные поля типа : .
- Сложение и умножение на функцию в . Действие тенз. поля типа на вект. полей: .
- Тенз. поля типа в коорд.: . Преобр.-е при замене: .
- Произв.-я Ли функции вдоль вект. поля: . Теорема об алгебре Ли векторных полей. Коммутатор в коорд.: .
Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть — многообразие; тогда
(1) для любых имеем следующий факт: — дифференцирование алгебры (то есть );
(2) отображение — инъективный линейный оператор, и его образ — подалгебра алгебры Ли ;
определим на векторном пространстве бинарную операцию так, чтобы этот инъективный линейный оператор стал гомоморфизмом
алгебр Ли; тогда — алгебра Ли относительно операции .