Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Версия 04:30, 22 апреля 2017

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора

• Эвалюация ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)}$.
• Минимальный многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mu _{a}(a)=0}$, ${\displaystyle \mu _{a}}$ нормирован, ${\displaystyle \deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}}$; ${\displaystyle (\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]}$.
• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle f\in K[x]}$, то ${\displaystyle a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)}$ (то есть ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,f(a)}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантное подпространство);
  (2) если ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ и ${\displaystyle f}$ делит ${\displaystyle g}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)}$;
  (3) если ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle f_1,\ldots,f_k\in K[x]}$ и многочлены ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ попарно взаимно просты, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$
  (и, значит, ${\displaystyle (f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$).
• Проектор (идемпотент): ${\displaystyle a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a}$. Отражение: ${\displaystyle a^2=\mathrm{id}_V\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)}$ (здесь ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$).
• Собственные число и вектор лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0}$. Спектр лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}}$. Лемма о спектре.

  Лемма о спектре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное простр.-во над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)}$
  и, если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то "${\displaystyle \,\subseteq }$" можно заменить на "${\displaystyle \,=}$".

• Характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)}$. Характеристический многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}}$. Корректность опред.-я.
• След линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e}$. Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.

  Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}}$ (и, значит, ${\displaystyle |\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\chi_a=n}$);
  (2) ${\displaystyle \chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a}$;
  (3) если ${\displaystyle \exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)}$ (то есть ${\displaystyle a}$ — нильпотентный линейный оператор), то ${\displaystyle \chi_a=x^n}$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \chi _{a}(a)=0}$.

• Кратности: ${\displaystyle \alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}}$ (алгебраич. кратность), ${\displaystyle \beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mu _{a}}$ делит ${\displaystyle \chi _{a}}$ (и, значит, для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \beta (a,c)\leq \alpha (a,c)}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}}$.

2.3.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

• Собственные подпространства: ${\displaystyle V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)}$; геометрическая кратность: ${\displaystyle \gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)}$. Лемма о собственных подпространствах.

  Лемма о собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k\in K}$ и
  ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k}$ попарно различны; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)}$;
  (2) если ${\displaystyle C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_k(a,c_k)}$ и ${\displaystyle C_1,\ldots,C_k}$ — независимые множества, то ${\displaystyle C_1\cup\ldots\cup C_k}$ — независимое множество;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)}$.

• Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица;
  (у2) ${\displaystyle \mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)}$ (то есть многочлен ${\displaystyle \mu _{a}}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$);
  (у3) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (у4) ${\displaystyle \dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)}$.
• Обобщенные собственные подпростр.-ва: ${\displaystyle V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j}$; относительные геометрич. кратности: ${\displaystyle \gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)}$.
• Жорданова клетка: ${\displaystyle \mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\underline e_1^2+\underline e_2^3+\ldots+\underline e_{n-1}^n}$; если ${\displaystyle a=\mathrm{jc}_n(c)}$, то ${\displaystyle \mu_a=\chi_a=(x-c)^n}$ и ${\displaystyle \forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\underline e_1,\ldots,\underline e_j\rangle\bigr)}$.
• Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle c\in K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)}$ и, если ${\displaystyle V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)}$, то ${\displaystyle V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle \beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)}$;
  (3) ${\displaystyle \{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)}$ и ${\displaystyle V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots}$.
• Корневые подпространства: ${\displaystyle V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)}$. Нильпотентные части линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено
  для любых линейных операторов ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда
  (1) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (2) для любых ${\displaystyle c\in K}$ имеем следующие факты: ${\displaystyle \mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}=0}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm {nil} (a,c)}$ — нильпотентный лин. оператор) и ${\displaystyle \dim V(a,c)=\alpha (a,c)}$.

2.3.3  Относительные базисы, жорданова нормальная форма, приложения жордановой нормальной формы

• ${\displaystyle C}$ — независимое мн.-во относит.-но ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle \forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)}$. ${\displaystyle D}$ — порождающее мн.-во относит.-но ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle V=U+\langle D\rangle}$.
• Базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ — независ. и порожд. подмн.-во в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$. Три теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

  Теорема 1 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U\leq V}$ и ${\displaystyle E\subseteq V}$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) ${\displaystyle E}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (у2) ${\displaystyle E}$ — независимое множество и ${\displaystyle V=U\oplus \langle E\rangle }$;
  (у3) для любого вектора ${\displaystyle v\in V}$ существуют единственные такие ${\displaystyle u\in U}$ и ${\displaystyle f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)}$, что ${\displaystyle v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e}$;
  (у4) ${\displaystyle E}$ — максимальное независимое множество относительно ${\displaystyle U}$;
  (у5) ${\displaystyle E}$ — минимальное порождающее множество относительно ${\displaystyle U}$.
  Теорема 2 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно дополнить до базиса в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (2) из любого порождающего подмножества в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно выделить базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$.
  Теорема 3 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U'\leq U\leq V}$, ${\displaystyle E}$ — базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ и
  ${\displaystyle E'}$ — базис в ${\displaystyle U}$ относительно ${\displaystyle U'}$; тогда ${\displaystyle E\cap E'=\varnothing}$ и ${\displaystyle E\cup E'}$ — базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U'}$.

• Теорема об относительно независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$ и
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, а также ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}}$, ${\displaystyle V_j=\mathrm{Ker}\,a^j}$ и ${\displaystyle V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j+1}}$ относит.-но ${\displaystyle V_{j}}$, то ${\displaystyle a|_C}$ — инъекция и ${\displaystyle a(C)}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j}}$ относит.-но ${\displaystyle V_{j-1}}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j}$.
• Диаграммы Юнга. Жорданов блок: ${\displaystyle \mathrm{jb}_\Delta(c)}$ — прямая сумма жордановых клеток ${\displaystyle \mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)}$, где ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ — длины строк диаграммы Юнга ${\displaystyle \Delta }$.
• Диаграмма Юнга ${\displaystyle \Delta (a,c)}$: высоты столбцов диаграммы ${\displaystyle \Delta (a,c)}$ — относительные геометрич. кратности ${\displaystyle \gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)}$. Корректность опред.-я.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Обозначение: ${\displaystyle \mathrm{jnf}(a)}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,K)}$ и ${\displaystyle f\in K[x]}$; тогда ${\displaystyle f(a)=\mathrm c_e^\underline e\!\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_\underline e^e}$.

  Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен
  ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено для любых линейных операторов
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — прямая сумма
  жордановых блоков ${\displaystyle \,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)}$ по всем ${\displaystyle c\in \mathrm {Spec} (a)}$.

• Многочлен (ряд) от жордановой клетки: ${\displaystyle f(\mathrm{jc}_n(c))=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}\,\mathrm{jc}_n(0)^k}$. Экспонента от лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Пусть ${\displaystyle V}$ — банахово пространство и ${\displaystyle a,b\in\mathrm C^0\mathrm{End}(V)}$; тогда ${\displaystyle a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!}$ и ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}}$.
  (2) Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )}$; тогда ${\displaystyle \det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T\!}$ и ${\displaystyle \mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T}$.

• Однородная система линейных дифференциальных уравн.-й: ${\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=a\cdot y}$ (${\displaystyle y\in \mathrm {C} ^{1}\!(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ^{n})}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )}$). Решение системы: ${\displaystyle y(t)=\mathrm e^{ta}\!\cdot v}$, где ${\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}}$.

2.4  Алгебры

2.4.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами

• ${\displaystyle K}$-Алгебра — вект. пространство над ${\displaystyle K}$ с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из ${\displaystyle K}$.
• Примеры: ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle \mathrm{Func}(X,K)}$, ${\displaystyle K[x]}$, ${\displaystyle K(x)}$, ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$, ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle K[a]}$; ${\displaystyle \mathbb {R} }$-алгебры ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {H} }$, ${\displaystyle \mathrm {C} ^{0}\!(X,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle \mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с векторным умножением.
• Структурные константы алгебры: ${\displaystyle m^i_{j_1,j_2}\!\!=((e_{j_1}e_{j_2})^e)^i}$. Утверждение: массив ${\displaystyle \bigl(m^i_{j_1,j_2}\bigr)_{1\le i,j_1,j_2\le\dim A}}$ однозначно определяет умножение в алгебре ${\displaystyle A}$.
• Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъект. гомоморфизмы ${\displaystyle \mathbb {R} }$-алгебр: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {R} )\,\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\gamma +\delta \,\mathrm {i} \\-\gamma +\delta \,\mathrm {i} &\alpha -\beta \,\mathrm {i} \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

  Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle A}$ — ассоциативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$; обозначим через ${\displaystyle {}_{K}\!A}$ векторное пространство
  над полем ${\displaystyle K}$, получающееся из алгебры ${\displaystyle A}$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle a\in A}$, обозначая через ${\displaystyle \mathrm {lm} _{a}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем следующий факт: ${\displaystyle \mathrm {lm} _{a}}$ — линейный оператор (то есть ${\displaystyle \mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)}$);
  (2) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to \mathrm {End} ({}_{K}\!A)\\a&\mapsto \mathrm {lm} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективный гомоморфизм алгебр с ${\displaystyle 1}$.

• Алгебры с делением: ${\displaystyle \forall \,a\in A\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\mathrm {lm} _{a},\mathrm {rm} _{a}\!\in \mathrm {Bij} (A){\bigr )}}$ и ${\displaystyle A\ne\{0\}}$. Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
• Моноидная алгебра (${\displaystyle M}$ — моноид): ${\displaystyle K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)}$ с операцией свертки; способ записи элементов: ${\displaystyle \sum_{m\in M}p_mm}$ (${\displaystyle |\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty}$).
• Алгебра многочленов от свободных переменных: ${\displaystyle K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]}$. Одночлены: ${\displaystyle x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}}$. Степень. Однородные многочлены.

2.4.2  Алгебра полилинейных форм

• Тензорное произведение полилинейных форм: ${\displaystyle (\omega \otimes \omega ')(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}')=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})\,\omega '(v_{1}',\ldots ,v_{k'}')}$. Свойства тензорного произведения.
• Базис в пространстве ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}V}$: ${\displaystyle \{e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\mid j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}}$. Разложение формы по базису: ${\displaystyle \omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}}$.
• Обозначение: ${\displaystyle \omega_{j_1,\ldots,j_k}\!=\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})}$. Пример: ${\displaystyle vol^e_{j_1,\ldots,j_n}\!\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}}$. Преобразов.-е при замене базиса: ${\displaystyle \omega_{\tilde j_1,\ldots,\tilde j_k}\!=\!\!\!\sum_{1\le l_1,\ldots,l_k\le n}\!\!\!(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_k})^{l_k}\,\omega_{l_1,\ldots,l_k}}$.
• Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров) над ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathrm {Multi} _{k}V}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V)}$ — ассоциативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$.
• Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда
  (1) отображение, продолжающее по линейности частичное отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to \mathrm {Multi} (V)\\x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}\!&\mapsto e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, — изоморфизм алгебр с ${\displaystyle 1}$;
  (2) для любых ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ изоморфизм из пункта (1) отображает пространство однородных многочленов степени ${\displaystyle k}$ в пространство ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}V}$.
• Идеалы ${\displaystyle I_{\mathrm {S} }}$ и ${\displaystyle I_{\mathrm {A} }}$: ${\displaystyle I_{\mathrm {S} }={\bigl (}\{x_{i}\otimes x_{j}-x_{j}\otimes x_{i}\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\}\}{\bigr )}}$ и ${\displaystyle I_{\mathrm {A} }={\bigl (}\{x_{i}\otimes x_{j}+x_{j}\otimes x_{i}\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\}\}\cup \{x_{i}\otimes x_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,n\}\}{\bigr )}}$.
• Алгебра многочленов от коммутирующих переменных: ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]=K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{\mathrm {S} }}$. Утверждение: ${\displaystyle K[x_1,\ldots,x_n]\cong K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]}$.
• Алгебра многочленов от грассмановых переменных: ${\displaystyle K_{\wedge }[x_{1},\ldots ,x_{n}]=K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{\mathrm {A} }}$. Грассмановы одночлены: ${\displaystyle x_{j_1}\!\wedge\ldots\wedge x_{j_k}}$, где ${\displaystyle j_1<\ldots<j_k}$.

2.4.3  Алгебры Ли (основные определения и примеры)

• ${\displaystyle K}$-Алгебра Ли — ${\displaystyle K}$-алгебра, умножение в которой антисимметрично (${\displaystyle [a,a]=0}$) и удовлетворяет тождеству Якоби (${\displaystyle [[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0}$).
• Коммутатор в ассоциативной алгебре ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle [a,b]=a\,b-b\,a}$. Алгебра ${\displaystyle A^{-}}$: вект. простр.-во ${\displaystyle {}_{K}\!A}$ с операцией ${\displaystyle [\,,]}$. Утверждение: алгебра ${\displaystyle A^{-}}$ — алгебра Ли.
• Примеры: ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)=\mathrm {End} (V)^{-}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(V)=\{a\in {\mathfrak {gl}}(V)\mid \mathrm {tr} \,a=0\}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с векторным умножением — алгебра Ли, так как ${\displaystyle v\times w={\frac {1}{2}}[v,w]}$ в алгебре Ли ${\displaystyle \mathbb {H} ^{-}}$.
• Матричные алгебры Ли: ${\displaystyle \mathfrak{gl}(n,K)}$, ${\displaystyle \mathfrak{sl}(n,K)}$, ${\displaystyle \mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}}$, ${\displaystyle \mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid\overline a^\mathtt T\!=-a\}}$, ${\displaystyle \mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \mathrm e^{\mathfrak{gl}(n,K)}\!\subseteq\mathrm{GL}(n,K)}$ и ${\displaystyle \mathrm e^{\mathfrak{sl}(n,K)}\!\subseteq\mathrm{SL}(n,K)}$ (здесь ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$), а также ${\displaystyle \mathrm e^{\mathfrak o(n)}\!=\mathrm e^{\mathfrak{so}(n)}\!\subseteq\mathrm{SO}(n)}$, ${\displaystyle \mathrm e^{\mathfrak u(n)}\!\subseteq\mathrm U(n)}$, ${\displaystyle \mathrm e^{\mathfrak{su}(n)}\!\subseteq\mathrm{SU}(n)}$.
• Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы ${\displaystyle \mathbb {R} }$-алгебр Ли: ${\displaystyle \Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)}$, ${\displaystyle \Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)}$ и ${\displaystyle \Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)}$.

  Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — ${\displaystyle K}$-алгебра Ли; обозначим через ${\displaystyle {}_{K}{\mathfrak {g}}}$ векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, получающееся
  из алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}}}$, обозначая через ${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {g}}\\b&\mapsto [a,b]\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем следующий факт: ${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}}$ — линейный оператор (то есть ${\displaystyle \mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)}$);
  (2) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {gl}}({}_{K}{\mathfrak {g}})\\a&\mapsto \mathrm {ad} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм алгебр Ли.

• Алгебра дифференцирований ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle \mathrm {Der} (A)=\{d\in {\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)\mid \forall \,a,b\in A\;{\bigl (}d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b){\bigr )}\}}$ — подалгебра алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)}$.
• Пример: пусть ${\displaystyle M}$ — открытое подмножество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)}$; тогда ${\displaystyle \Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)}$ — дифференцирование алгебры ${\displaystyle \mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)}$.