Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Версия 01:00, 2 апреля 2017

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора

• Эвалюация ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)}$.
• Минимальный многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mu _{a}(a)=0}$, ${\displaystyle \mu _{a}}$ нормирован, ${\displaystyle \deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}}$; ${\displaystyle (\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]}$.
• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle f\in K[x]}$, то ${\displaystyle a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)}$ (то есть ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,f(a)}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантное подпространство);
  (2) если ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ и ${\displaystyle f}$ делит ${\displaystyle g}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)}$;
  (3) если ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle f_1,\ldots,f_k\in K[x]}$ и многочлены ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ попарно взаимно просты, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$
  (и, значит, ${\displaystyle (f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$).
• Проектор (идемпотент): ${\displaystyle a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a}$. Отражение: ${\displaystyle a^2=\mathrm{id}_V\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)}$ (здесь ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$).
• Собственные число и вектор лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0}$. Спектр лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}}$. Лемма о спектре.

  Лемма о спектре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное простр.-во над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)}$
  и, если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то "${\displaystyle \,\subseteq }$" можно заменить на "${\displaystyle \,=}$".

• Характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)}$. Характеристический многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}}$. Корректность опред.-я.
• След линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e}$. Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.

  Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}}$ (и, значит, ${\displaystyle |\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\chi_a=n}$);
  (2) ${\displaystyle \chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a}$;
  (3) если ${\displaystyle \exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)}$ (то есть ${\displaystyle a}$ — нильпотентный линейный оператор), то ${\displaystyle \chi_a=x^n}$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \chi _{a}(a)=0}$.

• Кратности: ${\displaystyle \alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}}$ (алгебраич. кратность), ${\displaystyle \beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mu _{a}}$ делит ${\displaystyle \chi _{a}}$ (и, значит, для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \beta (a,c)\leq \alpha (a,c)}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}}$.

2.3.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

• Собственные подпространства: ${\displaystyle V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)}$; геометрическая кратность: ${\displaystyle \gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)}$. Лемма о собственных подпространствах.

  Лемма о собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k\in K}$ и
  ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k}$ попарно различны; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)}$;
  (2) если ${\displaystyle C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_k(a,c_k)}$ и ${\displaystyle C_1,\ldots,C_k}$ — независимые множества, то ${\displaystyle C_1\cup\ldots\cup C_k}$ — независимое множество;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)}$.

• Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица;
  (у2) ${\displaystyle \mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)}$ (то есть многочлен ${\displaystyle \mu _{a}}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$);
  (у3) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (у4) ${\displaystyle \dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)}$.
• Обобщенные собственные подпростр.-ва: ${\displaystyle V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j}$; относительные геометрич. кратности: ${\displaystyle \gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)}$.
• Жорданова клетка: ${\displaystyle \mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\underline e_1^2+\underline e_2^3+\ldots+\underline e_{n-1}^n}$; если ${\displaystyle a=\mathrm{jc}_n(c)}$, то ${\displaystyle \mu_a=\chi_a=(x-c)^n}$ и ${\displaystyle \forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\underline e_1,\ldots,\underline e_j\rangle\bigr)}$.
• Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle c\in K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)}$ и, если ${\displaystyle V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)}$, то ${\displaystyle V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle \beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)}$;
  (3) ${\displaystyle \{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)}$ и ${\displaystyle V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots}$.
• Корневые подпространства: ${\displaystyle V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)}$. Нильпотентные части линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm{nil}(a,c)=(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено
  для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда
  (1) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (2) для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \forall\,j\in\mathbb N_0\,\bigl(\mathrm{Ker}\,\mathrm{nil}(a,c)^j=V_j(a,c)\bigr)}$, ${\displaystyle \mathrm {nil} (a,c)}$ — нильпотентный линейный оператор и ${\displaystyle \dim V(a,c)=\alpha (a,c)}$.

2.3.3  Относительные базисы, жорданова нормальная форма, приложения жордановой нормальной формы

• ${\displaystyle C}$ — независимое мн.-во относит.-но ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle \forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)}$. ${\displaystyle D}$ — порождающее мн.-во относит.-но ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle V=U+\langle D\rangle}$.
• Базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ — независ. и порожд. подмн.-во в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$. Три теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

  Теорема 1 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U\leq V}$ и ${\displaystyle B\subseteq V}$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (у2) ${\displaystyle B}$ — независимое множество и ${\displaystyle V=U\oplus\langle B\rangle}$;
  (у3) для любого вектора ${\displaystyle v\in V}$ существуют единственные такие ${\displaystyle u\in U}$ и ${\displaystyle f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)}$, что ${\displaystyle v=u+\sum_{b\in B}f(b)\,b}$;
  (у4) ${\displaystyle B}$ — максимальное независимое множество относительно ${\displaystyle U}$;
  (у5) ${\displaystyle B}$ — минимальное порождающее множество относительно ${\displaystyle U}$.
  Теорема 2 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно дополнить до базиса в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (2) из любого порождающего подмножества в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно выделить базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$.
  Теорема 3 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U'\leq U\leq V}$, ${\displaystyle B}$ — базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ и
  ${\displaystyle B'}$ — базис в ${\displaystyle U}$ относительно ${\displaystyle U'}$; тогда ${\displaystyle B\cap B'=\varnothing}$ и ${\displaystyle B\cup B'}$ — базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U'}$.

• Теорема о ядрах степеней линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, а также ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$,
  ${\displaystyle V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}}$, ${\displaystyle V_j=\mathrm{Ker}\,a^j}$ и ${\displaystyle V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j+1}}$ относит.-но ${\displaystyle V_{j}}$, то ${\displaystyle a|_C}$ — инъекция и ${\displaystyle a(C)}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j}}$ относит.-но ${\displaystyle V_{j-1}}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j}$.
• Прямая сумма матриц: ${\displaystyle a\oplus b}$. Диаграммы Юнга. Жорданов блок: ${\displaystyle \mathrm {jb} _{\Delta }(c)=\mathrm {jc} _{n_{1}}\!(c)\oplus \ldots \oplus \mathrm {jc} _{n_{r}}\!(c)}$, где ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ — длины строк диаграммы Юнга ${\displaystyle \Delta }$.
• Диаграмма Юнга ${\displaystyle \Delta (a,c)}$: высоты столбцов диаграммы ${\displaystyle \Delta (a,c)}$ — относительные геометрич. кратности ${\displaystyle \gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)}$. Корректность опред.-я.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Обозначение: ${\displaystyle \mathrm{jnf}(a)}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,K)}$ и ${\displaystyle f\in K[x]}$; тогда ${\displaystyle f(a)=\mathrm c_e^\underline e\!\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_\underline e^e}$.

  Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle a}$ — нильпотентный линейный оператор, то существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}=\mathrm {jb} _{\Delta (a,0)}(0)}$;
  (2) если многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено для любых
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$), то существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\mathrm {jb} _{\Delta (a,c)}(c)}$.

• Многочлен (ряд) от жордановой клетки: ${\displaystyle f(\mathrm{jc}_n(c))=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}\,\mathrm{jc}_n(0)^k}$. Экспонента от лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты. Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) для любых таких ${\displaystyle a,b\in \mathrm {End} (V)}$, что ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$, выполнено ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\circ \mathrm {e} ^{b}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}}$, а также ${\displaystyle \det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}}$.

• Однородная система линейных дифференциальных уравнений: ${\displaystyle y'=a\cdot y}$ (${\displaystyle y\in \mathrm {C} ^{1}\!(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ^{n})}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )}$); решение системы: ${\displaystyle y(x)=\mathrm {e} ^{xa}\!\cdot v}$, где ${\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}}$.

2.4  Алгебры

2.4.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами

• ${\displaystyle K}$-Алгебра — вект. пространство над ${\displaystyle K}$ с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из ${\displaystyle K}$.
• Примеры: ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle \mathrm{Func}(X,K)}$, ${\displaystyle K[x]}$, ${\displaystyle K(x)}$, ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$, ${\displaystyle K[a]}$; ${\displaystyle \mathbb {R} }$-алгебры ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {H} }$, ${\displaystyle \mathrm {C} ^{0}\!(X,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle \mathrm C^\infty\!(\mathbb R^n,\mathbb R)}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с векторным умножением.
• Структурные константы алгебры: ${\displaystyle {\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}\!=((e_{j_{1}}e_{j_{2}})^{e})^{i}}$. Утверждение: массив ${\displaystyle {\bigl (}{\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}{\bigr )}_{1\leq i,j_{1},j_{2}\leq \dim A}}$ однозначно определяет умножение в ${\displaystyle K}$-алгебре ${\displaystyle A}$.
• Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъективные гомоморфизмы ${\displaystyle \mathbb {R} }$-алгебр: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {R} )\,\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\gamma +\delta \,\mathrm {i} \\-\gamma +\delta \,\mathrm {i} &\alpha -\beta \,\mathrm {i} \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

  Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle A}$ — ассоциативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$; обозначим через ${\displaystyle {}_{K}\!A}$ векторное пространство
  над полем ${\displaystyle K}$, получающееся из ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle A}$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle a\in A}$, обозначая через ${\displaystyle \mathrm {lm} _{a}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем следующий факт: ${\displaystyle \mathrm {lm} _{a}}$ — линейный оператор (то есть ${\displaystyle \mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)}$);
  (2) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to \mathrm {End} ({}_{K}\!A)\\a&\mapsto \mathrm {lm} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективный гомоморфизм алгебр с ${\displaystyle 1}$.

• Алгебры с делением: ${\displaystyle \forall \,a\in A\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\mathrm {lm} _{a},\mathrm {rm} _{a}\!\in \mathrm {Bij} (A){\bigr )}}$ и ${\displaystyle A\ne\{0\}}$. Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
• Моноидная алгебра (${\displaystyle M}$ — моноид): ${\displaystyle K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)}$ с операцией свертки; способ записи элементов: ${\displaystyle \sum_{m\in M}p_mm}$ (${\displaystyle |\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty}$).
• Алгебра многочленов от свободных переменных: ${\displaystyle K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]}$. Одночлены. Степень многочлена. Однородные многочлены.