Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 22: Строка 22:
 
<li><u>Теорема о диагонализуемых линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(у2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть многочлен <math>\mu_a</math> раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math>);<br>(у3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(у4) <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
 
<li><u>Теорема о диагонализуемых линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(у2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть многочлен <math>\mu_a</math> раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math>);<br>(у3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(у4) <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
 
<li>Обобщенные собственные подпростр.-ва: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j</math>; относительные геометрич. кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math>.
 
<li>Обобщенные собственные подпростр.-ва: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j</math>; относительные геометрич. кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math>.
<li>Жордановы клетки: <math>\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\underline e_1^2+\ldots+\underline e_{n-1}^n</math> (если <math>a=\mathrm{jc}_n(c)</math>, то <math>\mu_a=\chi_a=(x-c)^n</math> и <math>\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\underline e_1,\ldots,\underline e_j\rangle\bigr)</math>).
+
<li>Жорданова клетка: <math>\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\underline e_1^2+\underline e_2^3+\ldots+\underline e_{n-1}^n</math>; если <math>a=\mathrm{jc}_n(c)</math>, то <math>\mu_a=\chi_a=(x-c)^n</math> и <math>\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\underline e_1,\ldots,\underline e_j\rangle\bigr)</math>.
 
<li><u>Теорема об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)</math> и, если <math>V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)</math>, то <math>V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)</math>;<br>(2) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(3) <math>\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)</math> и <math>V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots</math>.</i>
 
<li><u>Теорема об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)</math> и, если <math>V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)</math>, то <math>V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)</math>;<br>(2) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(3) <math>\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)</math> и <math>V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots</math>.</i>
 
<li>Корневые подпространства: <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>. Нильпотентные части линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{nil}(a,c)=(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>.
 
<li>Корневые подпространства: <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>. Нильпотентные части линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{nil}(a,c)=(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>.
<li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено<br>для любого линейного оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\forall\,j\in\mathbb N_0\,\bigl(\mathrm{Ker}\,\mathrm{nil}(a,c)^j=V_j(a,c)\bigr)</math>, <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный линейный оператор и <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>.</i></ul>
+
<li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено<br>для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\forall\,j\in\mathbb N_0\,\bigl(\mathrm{Ker}\,\mathrm{nil}(a,c)^j=V_j(a,c)\bigr)</math>, <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный линейный оператор и <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>.</i></ul>
 +
 
 +
<h5>2.3.3&nbsp; Относительные базисы, жорданова нормальная форма, приложения жордановой нормальной формы</h5>
 +
<ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во относит.-но <math>U</math>: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во относит.-но <math>U</math>: <math>V=U+\langle D\rangle</math>.
 +
<li>Базис в <math>V</math> относительно <math>U</math> — независ. и порожд. подмн.-во в <math>V</math> относительно <math>U</math>. Три теоремы об относительных базисах (без подробного доказательства).
 +
<p><u>Теорема 1 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>U\le V</math> и <math>B\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(у2) <math>B</math> — независимое множество и <math>V=U\oplus\langle B\rangle</math>;<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существуют единственные такие <math>u\in U</math> и <math>f\in\mathrm{FinFunc}(B,K)</math>, что <math>v=u+\sum_{b\in B}f(b)\,b</math>;<br>(у4) <math>B</math> — максимальное независимое множество относительно <math>U</math>;<br>(у5) <math>B</math> — минимальное порождающее множество относительно <math>U</math>.</i><br>
 +
<u>Теорема 2 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) любое независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math> можно дополнить до базиса в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) из любого порождающего подмножества в <math>V</math> относительно <math>U</math> можно выделить базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>.</i><br>
 +
<u>Теорема 3 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>U'\le U\le V</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math> и<br><math>B'</math> — базис в <math>U</math> относительно <math>U'</math>; тогда <math>B\cup B'</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U'</math>.</i></p>
 +
<li><u>Теорема о ядрах степеней линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, а также <math>j\in\mathbb N</math>,<br><math>V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math>, <math>V_j=\mathrm{Ker}\,a^j</math> и <math>V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}</math>; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V_{j+1}</math> относит.-но <math>V_j</math>, то <math>a|_C</math> — инъекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_j</math> относит.-но <math>V_{j-1}</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j</math>.</i>
 +
<li>Прямая сумма матриц: <math>a\oplus b</math>. Диаграммы Юнга. Жорданов блок: <math>\mathrm{jb}_\Delta(c)=\mathrm{jc}_{n_1}\!(c)\oplus\ldots\oplus\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)</math>, где <math>n_1,\ldots,n_r</math> — длины строк диаграммы Юнга <math>\Delta</math>.
 +
<li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> — относительные геометрич. кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>. Корректность опред.-я.
 +
<li>Теорема о жордановой нормальной форме. Обозначение: <math>\mathrm{jnf}(a)</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^\underline e\!\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_\underline e^e</math></i>.
 +
<p><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>a</math> — нильпотентный линейный оператор, то существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e=\mathrm{jb}_{\Delta(a,0)}(0)</math>;<br>(2) если многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для любых<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>), то существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math>.</i></p>
 +
<li>Утверждение: <i><math>f(a\oplus b)=f(a)\oplus f(b)</math>, <math>f(\mathrm{jc}_n(c))=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}\,\mathrm{jc}_n(0)^k</math></i>. Экспонента от лин. операт. <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
 +
<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math>, что <math>a\circ b=b\circ a</math>, выполнено <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>;<br>(2) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>, а также <math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>.</i></p>
 +
<li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>); решение системы: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math>, где <math>v\in\mathbb C^n</math>.</ul>

Версия 04:30, 24 марта 2017

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора
  • Эвалюация — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором : .
  • Минимальный многочлен лин. оператора : , нормирован, ; .
  • Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) если , то (то есть -инвариантное подпространство);
    (2) если и делит , то ;
    (3) если , и многочлены попарно взаимно просты, то
    (и, значит, ).
  • Проектор (идемпотент): . Отражение: (здесь ).
  • Собственные число и вектор лин. операт. : . Спектр лин. операт. : . Лемма о спектре.

    Лемма о спектре. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда
    и, если , то "" можно заменить на "".

  • Характеристический многочлен матрицы : . Характеристический многочлен лин. оператора : . Корректность опред.-я.
  • След линейного оператора : . Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.

    Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
    (1) (и, значит, );
    (2) ;
    (3) если (то есть — нильпотентный линейный оператор), то .

    Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .

  • Кратности: (алгебраич. кратность), . Теорема о минимальном многочлене.

    Теорема о минимальном многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) делит (и, значит, для любых выполнено );
    (2) .

2.3.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
  • Собственные подпространства: ; геометрическая кратность: . Лемма о собственных подпространствах.

    Лемма о собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
    попарно различны; тогда
    (1) ;
    (2) если и — независимые множества, то — независимое множество;
    (3) если , то для любых выполнено .

  • Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (у2) (то есть многочлен раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
    (у3) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора );
    (у4) .
  • Обобщенные собственные подпростр.-ва: ; относительные геометрич. кратности: .
  • Жорданова клетка: ; если , то и .
  • Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено и, если , то ;
    (2) для любых выполнено ;
    (3) и .
  • Корневые подпространства: . Нильпотентные части линейного оператора : .
  • Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено
    для любых в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
    (1) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора );
    (2) для любых выполнено , — нильпотентный линейный оператор и .
2.3.3  Относительные базисы, жорданова нормальная форма, приложения жордановой нормальной формы
  • — независимое мн.-во относит.-но : . — порождающее мн.-во относит.-но : .
  • Базис в относительно — независ. и порожд. подмн.-во в относительно . Три теоремы об относительных базисах (без подробного доказательства).

    Теорема 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) — базис пространства относительно ;
    (у2) — независимое множество и ;
    (у3) для любого вектора существуют единственные такие и , что ;
    (у4) — максимальное независимое множество относительно ;
    (у5) — минимальное порождающее множество относительно .

    Теорема 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
    (2) из любого порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .

    Теорема 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , — базис в относительно и
    — базис в относительно ; тогда — базис в относительно .

  • Теорема о ядрах степеней линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и , а также ,
    , и ; тогда
    (1) если — независимое подмножество в относит.-но , то — инъекция и — независимое подмножество в относит.-но ;
    (2) если , то .
  • Прямая сумма матриц: . Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где — длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы — относительные геометрич. кратности . Корректность опред.-я.
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Обозначение: . Утверждение: пусть и ; тогда .

    Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) если — нильпотентный линейный оператор, то существует такой упорядоченный базис , что ;
    (2) если многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для любых
    в силу алгебраической замкнутости поля ), то существует такой упорядоченный базис , что .

  • Утверждение: , . Экспонента от лин. операт. : . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты. Пусть — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) для любых таких , что , выполнено ;
    (2) для любых выполнено , а также .

  • Однородная система линейных дифференциальных уравнений: (, ); решение системы: , где .