Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Текущая версия на 15:00, 15 марта 2019

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11 Линейные операторы (часть 2)

11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов

Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором $a$ : $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)$ .
Минимальный многочлен лин. оператора $a$ : $\mu _{a}(a)=0$ , $\mu _{a}$ нормирован, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}$ ; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$ .
Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: $\exists\,m\in\mathbb N_0\,\bigl(a^m=0\bigr)$ . Утверждение: пусть $a$ — нильпот. лин. оператор; тогда $\chi _{a}=x^{\dim V}$ .
Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда $\chi _{a}(a)=0$ .
Алгебраическая и безымянная кратности: $\alpha (a,c)$ и $\beta (a,c)$ — кратности $c$ как корня многочлена $\chi _{a}$ и многочлена $\mu _{a}$ . Теорема о минимальном многочлене.
Теорема о минимальном многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда $\mu _{a}$ делит $\chi _{a}$
(и, значит, для любых $c\in K$ выполнено $\beta (a,c)\leq \alpha (a,c)$ ), а также $\,\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$ .
Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
(1) если $f\in K[x]$ , то $a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)$ (то есть $\mathrm{Ker}\,f(a)$ — $a$ -инвариантное подпространство в $V$ );
(2) если $f,g\in K[x]$ и $f$ делит $g$ , то $\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)$ ;
(3) если $k\in \mathbb {N} _{0}$ , $f_1,\ldots,f_k\in K[x]$ и многочлены $f_{1},\ldots ,f_{k}$ попарно взаимно просты, то $\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$
(и, значит, $(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$ ).
Проектор (идемпотент): $a^{2}=a$ ( $\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a$ ). Отражение: $a^2=\mathrm{id}_V$ ( $\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)$ , если $\mathrm {char} \,K\neq 2$ ).
Ряд от лин. оператора $a$ ( $V$ — нормир. пр.-во): $\sum_{k=0}^\infty f_ka^k$ . Достат. условие сходимости ( $V$ — банах. пр.-во, $a\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)$ ): $\sum_{k=0}^\infty|f_k|\|a\|^k<\infty$ .
Экспонента от непрерывного линейн. оператора $a$ в банах. пр.-ве: $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Пример: $\mathrm {e} ^{{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\varphi \\\varphi &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}\!={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
Пусть $V$ — банахово пр.-во; тогда для любых $a,b\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)$ выполнено $a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b$ , а также $\mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$ .

11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

Собственные подпространства: $V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)$ ; геометрическая кратность: $\gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)$ . Лемма о собственных подпространствах.
Лемма о собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ , $k\in \mathbb {N} _{0}$ , $c_1,\ldots,c_k\in K$ и
$c_1,\ldots,c_k$ попарно различны; тогда
(1) $\mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)$ ;
(2) если $C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_1(a,c_k)$ и $C_1,\ldots,C_k$ — независимые множества, то $C_1\cup\ldots\cup C_k$ — независимое множество;
(3) если $\dim V<\infty$ , то для любых $c\in K$ выполнено $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$ .
Теорема о диагонализации линейных операторов. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
следующие утверждения эквивалентны:
(у1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
(у2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть многочлен $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в $K[x]$ );
(у3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора $a$ );
(у4) $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$ .
Обобщенные собственные подпростр.-ва: $V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j$ ; относительные геометрич. кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$ .
Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$ ; тогда
(1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)$ и, если $V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)$ , то $V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)$ ;
(2) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)$ ;
(3) $\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)$ и $V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots$ .
Корневые подпространства: $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$ . Нильпотентные части линейного оператора $a$ : $\mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}$ .
Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ расклад.-ся в
произв.-е многочленов степени $1$ в $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$ , то это условие выполнено для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ в силу алгебр. замкнутости поля $\,\mathbb {C}$ ); тогда
(1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора $a$ );
(2) для любых $c\in K$ выполнено $\mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}\!=0$ (и, значит, $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный линейный оператор) и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$ .
Жорданова клетка: $\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathbf e_1^2+\ldots+\mathbf e_{n-1}^n$ . Пример: если $a=\mathrm{jc}_n(c)$ , то $\chi_a=\mu_a=(x-c)^n$ и $\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_j\rangle\bigr)$ .

11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора

$C$ — независимое мн.-во относит.-но $U$ : $\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)$ . $D$ — порождающее мн.-во относит.-но $U$ : $V=U+\langle D\rangle$ .
Базис относительно $U$ — независимое и порождающее множ.-во относительно $U$ . Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).
Первая теорема об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $U\leq V$ и $E\subseteq V$ ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) $E$ — базис пространства $V$ относительно $U$ ;
(у2) $E$ — независимое множество и $V=U\oplus \langle E\rangle$ (и, значит, если $\dim V<\infty$ , то $|E|=\dim V-\dim U$ );
(у3) для любого вектора $v\in V$ существуют единственные такие $u\in U$ и $f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)$ , что $v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e$ ;
(у4) $E$ — максимальное независимое множество относительно $U$ ;
(у5) $E$ — минимальное порождающее множество относительно $U$ .

Вторая теорема об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $U\leq V$ ; тогда
(1) любое независимое подмножество в $V$ относительно $U$ можно дополнить до базиса в $V$ относительно $U$ ;
(2) из любого порождающего подмножества в $V$ относительно $U$ можно выделить базис в $V$ относительно $U$ .
Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$ и
$a\in \mathrm {End} (V)$ , а также $j\in \mathbb {N}$ , $V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}$ , $V_j=\mathrm{Ker}\,a^j$ и $V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}$ ; тогда
(1) если $C$ — независимое подмножество в $V_{j+1}$ относительно $V_{j}$ , то $a|_C$ — инъекция и $a(C)$ — независимое подмножество в $V_{j}$ относительно $V_{j-1}$ ;
(2) если $\dim V<\infty$ , то $\dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j$ .
Диаграммы Юнга. Жорданов блок: $\mathrm{jb}_\Delta(c)$ — прямая сумма жордановых клеток $\mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)$ , где $n_{1},\ldots ,n_{r}$ — длины строк диаграммы Юнга $\Delta$ .
Диаграмма Юнга $\Delta (a,c)$ : высоты столбцов диаграммы $\Delta (a,c)$ — относительные геометрич. кратности $\gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)$ . Корректность опред.-я.
Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в
произведение многочленов степени $1$ в $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$ , то это условие выполнено для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ в силу алгебр. замкнутости поля $\,\mathbb {C}$ );
тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что $a_{e}^{e}$ — прямая сумма жордановых блоков $\,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)$ по всем $c\in \mathrm {Spec} (a)$ .
Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: $\sum_{k=0}^\infty f_k\,\mathrm{jc}_n(c)^k=\sum_{l=0}^{n-1}\frac1{l!}\Bigl(\sum_{k=l}^\infty\frac{k!}{(k-l)!}f_kc^{k-l}\Bigr)\,\mathrm{jc}_n(0)^l$ .
Утверждение: $\det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}$ , $\mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T$ и $\,\mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T$ , а также $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(\mathrm e^{\tau\,a})=a\cdot\mathrm e^{\tau\,a}$ . Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$ ; обозначим через $\gamma$ кривую $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathrm{GL}(n,\mathbb C)\!\\\tau&\mapsto\mathrm e^{\tau\,a}\end{align}\!\biggr)$ ; тогда
(1) если $a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R)$ , и, если $a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C)$ ;
(2) если $a\in\mathfrak{so}(n)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n)$ , а также, если $a\in\mathfrak u(n)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n)$ , и, если $a\in\mathfrak{su}(n)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n)$ .

12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

Группа автоморфизмов простр.-ва с ¯-билинейной формой: $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}$ .
Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$ , или $K=\mathbb {C}$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$ ; тогда $\,\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (a(v),a(v))=\sigma (v,v){\bigr )}\}$ .
Ортогональная группа ( $V$ — вект. пр. над $\mathbb {R}$ , $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$ ): $\mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$ ; унитарная группа ( $V$ — вект. пр. над $\mathbb {C}$ , $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ ): $\mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$ .
Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
(1) Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $n=\dim V<\infty$ , $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$ ; тогда
$a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}$ и, если форма $\sigma$ невырождена, то условие " $\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)$ " можно убрать.
(2) Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры $(p,q)$ и $e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)$ ; тогда $(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)$ .
(3) Пусть $V$ — псевдоунитарное пространство сигнатуры $(p,q)$ и $e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)$ ; тогда $(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)$ .
Матричные ортогонал. группы: $\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}$ , $\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)$ , $\mathrm O(n)$ и $\mathrm{SO}(n)$ .
Матричные унитарные группы: $\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}$ , $\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)$ , $\mathrm U(n)$ и $\mathrm{SU}(n)$ .
Примеры: $\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}$ , $\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}$ и $\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}$ .
Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: $\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}$ . Теорема об описании изометрий.
Теорема об описании изометрий. Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {R}$ ; тогда $\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)$ , а также,
обозначая через $G$ , $F$ и $H$ группу $\,\mathrm{Isom}(V)$ и ее подгруппы $\{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}$ и $\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}$ соответственно, имеем следующие
факты: $F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}$ , $G=F\circ H$ , $\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)$ и $F\cong V^+\!$ (и, значит, $\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)$ ).

12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы

Простр.-во симметричных операторов: $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}$ ; условие в коорд.: $(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}$ .
Простр.-во антисимм. операторов: $\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}$ ; условие в коорд.: $(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}$ .
Множество полож. определенных операторов ( $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ , $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$ ): $\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}$ .
Пример: $V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}$ , $\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,$ и $a\,\colon f\mapsto-f''$ ; тогда $a$ — полож. определенный оператор.
Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору $a$ ( $\sigma$ невырождена): $a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)$ ( $\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)$ ).
Сопряженный оператор в координатах: $(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T$ . Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
Теорема о свойствах сопряжения. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$ , $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и форма $\sigma$ невырождена; тогда
(1) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$ выполнено $(a+b)^{*}\!=a^{*}\!+b^{*}$ , $(c\,a)^{*}\!={\overline {c}}\,a^{*}$ и $(a\circ b)^{*}\!=b^{*}\!\circ a^{*}$ (и, значит, отобр.-е ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {End} (V)\\a&\mapsto a^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ —
¯-антиэндоморфизм $K$ -алгебры $\,\mathrm {End} (V)$ ), а также $a^{**}\!=a$ и $\,\mathrm {Spec} (a^{*})={\overline {\mathrm {Spec} (a)}}$ ;
(2) $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}$ , $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}$ и $\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}$ .

Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ , форма $\sigma$ невырождена,
$a\in \mathrm {End} (V)$ и $U\leq V$ ; тогда $a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp$ , а также $\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp$ и $\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}$ .
Множество нормальных операторов ( $\sigma$ невырождена): $\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}$ ; условие в коорд. ( $\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n$ ): $a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e$ .
Форма, связанная с линейным оператором $a$ : $\sigma _{a}(v,w)=\sigma (a(v),w)$ . Форма $\sigma_a$ в коорд.: $(\sigma _{a})_{e,e}=(a_{e}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$ . Лемма о форме, связанной с оператором.
Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ ; тогда
(1) если форма $\sigma$ невырождена, то отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\a&\mapsto \sigma _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств;
(2) $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}$ и $\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}$ ;
(3) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$ , то $\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}$ .

12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах

Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ ; тогда для любых
$c\in \mathrm {Spec} (a)$ выполнено $V_{1}(a,c)=V_{1}(a^{*}\!,{\overline {c}})$ , а также для любых таких $c,c'\!\in\mathrm{Spec}(a)$ , что $c\ne c'$ , выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$ .
Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
(1) $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(2) $a\in \mathrm {U} (V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с числами вида $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$ , где $\varphi \in [0;2\pi )$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(3) $a\in\mathrm{SEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали ${\bigr )}$ ;
(4) $a\in\mathrm{AEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с числами вида $\beta \,\mathrm {i}$ , где $\beta \in \mathbb {R}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(5) $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали ${\bigr )}$ .
Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ ; тогда
$a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1$ , $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R$ , $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i$ , $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}$ .
Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$ ; тогда
(1) $a\cdot {\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!={\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!\cdot a$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(2) $a\in\mathrm U(n)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с числами вида $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$ , где $\varphi \in [0;2\pi )$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(3) $a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали ${\bigr )}$ ;
(4) $a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с числами вида $\beta \,\mathrm {i}$ , где $\beta \in \mathbb {R}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(5) $a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали ${\bigr )}$ .
Теорема о спектральном разложении. Пусть $V$ — унитарное пр.-во и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ ; для любых $c\in \mathbb {C}$ обозначим через $\,p_c$ оператор $\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}$ ; тогда
(1) для любых таких $c,c'\!\in\mathbb C$ , что $c\ne c'$ , выполнено $\,p_c^2=p_c=p_c^*\,$ и $\,p_c\!\circ p_{c'}=0$ , а также $|\{c\in\mathbb C\mid p_c\ne0\}|<\infty$ , $\mathrm{id}_V=\sum_{c\in\mathbb C}p_c$ и $a=\sum_{c\in\mathbb C}c\,p_c$ ;
(2) если для любых $c\in \mathbb {C}$ заданы операторы $\,p_c'\in\mathrm{End}(V)$ , удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых $c\in \mathbb {C}$ выполнено $\,p_c'=p_c$ .
Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {C}$ и $a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)$ ; тогда для любого собственного числа $c$ оператора $a$
выполнено $a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1$ , $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R$ , $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i$ , $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}$ , а также для любых различных
собственных чисел $c$ и $c'$ оператора $a$ выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$ .
Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).

12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах

Препятствия к диагонализ.-и над $\mathbb {R}$ . $\mathbb {C}$ -Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над $\mathbb {R}$ с блоками разм. $1\!\times\!1$ и блоками ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$ .
$\mathbb {C}$ -Спектр линейного оператора $a$ в конечномерном вект. пр.-ве над $\mathbb {R}$ : $\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)=\{c\in \mathbb {C} \mid \chi _{a}(c)=0\}$ . Пример: $\mathbb {C} \mathrm {Spec} {\bigl (}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}=\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} ,\alpha -\beta \,\mathrm {i} \}$ .
Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем R. Пусть $V$ — евклидово пространство, $V\neq \{0\}$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $\,\mathrm {Spec} (a)=\varnothing$ ; тогда
(1) существует такое подпространство $U$ пространства $V$ , что $\dim U=2$ , $a(U)\subseteq U$ и, если $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ , то $a^*(U)\subseteq U$ ;
(2) если $\dim V=2$ , то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ выполнено $a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}$ .
Спектральная теорема для евклидовых пространств. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
(1) $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$ -диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(2) $a\in \mathrm {O} (V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$ -диагон. матрица с числами $1$ , $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(3) $a\in\mathrm{SEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(4) $a\in\mathrm{AEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$ -диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(5) $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали ${\bigr )}$ .
Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ ; тогда
$a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1$ , $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R$ , $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i$ , $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}$ .
Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )$ ; тогда
(1) $a\cdot a^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot a$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$ -диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(2) $a\in\mathrm O(n)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$ -диагон. матрица с числами $1$ , $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(3) $a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(4) $a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$ -диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(5) $a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали ${\bigr )}$ .
Теорема Эйлера о вращениях. Пусть $V$ — евклидово пр.-во с ориентацией, $\dim V=3$ и $a\in \mathrm {SO} (V)$ ; тогда существуют такие $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$ и
$\varphi \in [0;2\pi )$ , что $a_{e}^{e}={\biggl (}{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\biggr )}$ (и, значит, $a$ — оператор поворота на угол $\varphi$ против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором $e_{1}$ ).
Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово пр.-во, $\tau \in \mathrm {SBi} (V)$ и $a$ — лин. оператор, соответств.
форме $\tau$ относит.-но изоморфизма $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto(\,\mid\,)_a\end{align}\!\biggr)$ (то есть $\forall\,v,w\in V\;\bigl((a(v)\!\mid\!w)=\tau(v,w)\bigr)$ ); тогда в $V$ сущ.-т ортонормированный базис,
ортогональный относит.-но формы $\tau$ (то есть $\mathrm {OnOB} (V)\cap \mathrm {OOB} (V,\tau )\neq \varnothing$ ), а также $\{\tau(v,v)\mid v\in V,\,\|v\|=1\}=[\min\mathrm{Spec}(a);\max\mathrm{Spec}(a)]$ .

12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца

Движение со скоростью света: $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R^4\\\tau&\mapsto\tau\,p+q\end{align}\!\biggr)$ , где $\,p^\mathtt T\eta\,p=0$ ( $\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)$ ). Теорема о сохранении скорости света. Матричная группа Лоренца: $\mathrm O(1,3)$ .
Теорема о сохранении скорости света.
Пусть $\Lambda\in\mathrm{GL}(4,\mathbb R)$ ; тогда след. утверждения эквивалентны: (у1) $\forall\,p\in\mathbb R^4\,\bigl(p^\mathtt T\eta\,p=0\,\Leftrightarrow(\Lambda\,p)^\mathtt T\eta\,(\Lambda\,p)=0\bigr)$ и (у2) $\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=c\,\eta$ , где $c=(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0$ .
Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть $\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)$ ; тогда $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)$ , а также $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1$ .
(2) Пусть $\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)$ и $(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1$ ; введем следующие обозначения: $\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)$ ( $\varepsilon\in\{1,-1\}$ ), $\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)$ ( $\varphi\in[0;\infty)$ ),
$\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)$ , $\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)$ ( $v,w\in\mathrm S^2\!$ ) и $b=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)$ ; тогда $\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)$ , а также
$\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,b^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,b^\mathtt Tb-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3$ и $\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det b$ .
(3) $\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det b))\end{align}\!\Biggr)$ — сюръективный гомоморфизм групп, и $\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}$ — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через $\,\mathrm{SO}^+(1,3)$ ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: $\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)$ и $\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}$ .
Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: $\mathrm{SO}^+(1,3)$ . Бусты: $\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}$ . Повороты: $\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}$ .
Пр.-во Минковского — псевдоевклид. пр.-во сигнатуры $(1,3)$ ; $a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)$ (опр.-е не зависит от выбора базиса).
Спинорная модель пространства Минковского: $\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)$ . Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: $\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)$ .
Матрицы Паули: $\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)$ . Утверждение: $\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k$ , $\mathrm{tr}(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}$ и $[\sigma_i,\sigma_j]=\sum_{k=1}^32\,\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k$ .
Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Форма $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)$ определяет на $\mathcal M$ структуру пространства Минковского, и $(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)$ .
(2) Сужение на $\mathcal E$ формы из пункта (1), взятое с противопол. знаком, определяет на $\mathcal E$ структуру евклидова пространства, и $(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)$ .
(3) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ и таких $u\in\mathcal E$ , что $\|u\|=1$ , выполнено $u^2=\mathrm{id}_2$ , $\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,$ и $\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u$ .
Теорема о бустах и поворотах. (1) Пусть $\varphi \in \mathbb {R}$ , $u\in\mathcal E$ и $\|u\|=1$ ; тогда $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)$ — буст с быстротой $2\varphi$ вдоль оси с направляющим
вектором $u$ , а также $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)$ — поворот на угол $2\varphi$ вокруг оси с направляющим вектором $u$ (эскиз доказательства).
(2) Спинорные представления $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ и $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизмы групп (без док.-ва).

13 Многообразия (часть 1)

13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями

$n$ -Мерная система координат на топол. пр.-ве $M$ — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в $M$ и $\mathbb {R} ^{n}$ ; отн.-е согласованности: $\tilde\xi\circ\xi^{-1}$ — диффеоморфизм.
$n$ -Мерный атлас на $M$ — множество попарно согласованных $n$ -мерных систем координат на $M$ , области определения которых покрывают $M$ . Примеры.
$n$ -Мерное многообразие $M$ — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во $M$ с максимальным $n$ -мерным атласом $\mathcal A$ . Примеры: $\mathbb {R} ^{n}$ , откр. мн.-ва в $\mathbb {R} ^{n}$ , $\mathrm S^n$ .
Отобр. $\varphi$ между многообр. $M$ и $P$ гладкое в $m$ , если существ. такие $\xi\in\mathcal A$ и $\rho\in\mathcal D$ , что $m\in\mathrm{Dom}\,\xi$ , $\varphi(m)\in\mathrm{Dom}\,\rho$ и отобр. $\rho\circ\varphi\circ\xi^{-1}\!$ гладкое в $\xi(m)$ .
Утверждение: гладкость отображения не зависит от выбора систем координат. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми $M$ и $P$ : $\mathrm C^\infty\!(M,P)$ .
$\mathrm{Curv}_m(M)=\!\!\!\bigcup_{\alpha\in[-\infty;0),\,\beta\in(0;\infty]}\!\!\!\{\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)\mid\gamma(0)=m\}$ — множество кривых, проходящих через $m$ . $\mathrm C^\infty\!(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)$ — $\mathbb {R}$ -алгебра функций.
Скорость кривой в координатах ( $\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)$ , $\tau\in(\alpha;\beta)$ ): $\dot\gamma(\tau)^\xi=(\xi\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(\tau)\in\mathbb R^n$ ; $i$ -я компонента скорости: $(\dot\gamma(\tau)^\xi)^i=\bigl((\xi\circ\gamma)^i\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(\tau)=\dot\gamma(\tau)^i$ .
Матрица Якоби замены коорд.: $\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)=\mathrm d(\tilde\xi\circ\xi^{-1})(\xi(m))$ ; $(i,k)$ -я компон.: $\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)_k^i=\frac{\partial(\tilde\xi\circ\xi^{-1})^i}{\partial x^k}(\xi(m))=\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))$ . Лемма о замене координат.
Лемма о замене координат. Пусть $M$ — многообразие, $n=\dim M$ , $m\in M$ , $\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ , $\xi,\tilde\xi\in\mathcal A$ и $m\in\mathrm{Dom}\,\xi\cap\mathrm{Dom}\,\tilde\xi$ ; тогда
(1) $\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)\cdot\dot\gamma(0)^\xi$ (это матричная запись) и $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\dot\gamma(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,\dot\gamma(0)^k\Bigr)$ (это покомпонентная запись);
(2) $\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\,\Leftrightarrow\,\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\tilde\xi\!$ (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).

13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства

Отнош.-е касания в $m$ ( $\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ ): $\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A\;\bigl(m\in\mathrm{Dom}\,\xi\,\land\,\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\bigr)$ . Инвариантная скорость: $\dot\gamma(0)=[\gamma]_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\!\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim$ .
Касательное простр.-во в точке $m$ : $\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim$ . Базисные векторы, определяемые координатами: $\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\,\mathbf e_i)\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(0)$ .
Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат на $M$ : $v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,v^k$ и $\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\xi(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)$ .
Теорема о касательных пространствах. Пусть $M$ — многообразие, $n=\dim M$ , $m\in M$ , $\xi\in\mathcal A$ и $m\in\mathrm{Dom}\,\xi$ ; тогда
(1) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ , выбирая такую кривую $\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ , что $v=\dot\gamma(0)$ , и обозначая через $v^\xi$ столбец $\dot\gamma(0)^\xi$ , имеем следующий факт:
столбец $v^\xi$ не зависит от выбора кривой $\gamma$ ;
(2) отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\v&\mapsto v^\xi\end{align}\!\biggr)$ — биекция; определим на $\,\mathrm {T} _{m}M$ структуру вект. простр.-ва над $\,\mathbb {R}$ так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом
вект. простр.-в (то есть $\forall\,v,w\in\mathrm T_mM,\,c,d\in\mathbb R\;\bigl((c\,v+d\,w)^\xi=c\,v^\xi+d\,w^\xi\bigr)$ ); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;
(3) $\Bigl(\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OB}(\mathrm T_mM)$ , и для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ выполнено $v=\sum_{i=1}^n(v^\xi)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)$ (это разложение по базису в $\,\mathrm {T} _{m}M$ ).
Кокасательное пр.-во в точке $m$ : $\mathrm T^*_mM=(\mathrm T_mM)^*$ . Базисные ковекторы, опред. координатами: $\mathrm dx^j(m)=\Bigl(\frac\partial{\partial x^j}(m)\Bigr)^{\!*}$ . Строка координат ковектора: $\lambda_\xi$ .
Разложение по базису в $\mathrm T^*_mM$ : $\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_\xi)_j\,\mathrm dx^j(m)$ . Преобр.-я при замене координат: $\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\xi(m))\,\lambda_l$ и $\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\xi(m))\,\mathrm dx^l(m)$ .
Теорема о дифференциале функции. Пусть $M$ — многообразие, $m\in M$ и $f\in\mathrm C^\infty\!(M)$ ; тогда
(1) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ , выбирая такую кривую $\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ , что $v=\dot\gamma(0)$ , и обозначая через $(\mathrm df(m))(v)$ число $(f\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(0)$ , имеем следующий
факт: число $(\mathrm df(m))(v)$ не зависит от выбора кривой $\gamma$ ;
(2) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ и таких $\xi\in\mathcal A$ , что $m\in\mathrm{Dom}\,\xi$ , выполнено $(\mathrm df(m))(v)=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\cdot v^\xi$ ;
(3) обозначая через $\mathrm df(m)$ отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\v&\mapsto(\mathrm df(m))(v)\end{align}\!\biggr)$ , имеем следующий факт: $\mathrm df(m)\in\mathrm T^*_mM$ .
Дифференциал функции в коорд. ( $f\in\mathrm C^\infty\!(M)$ ): $\mathrm df(m)_\xi=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\in\mathbb R_n$ ; $j$ -я компон. дифф.-ла: $(\mathrm df(m)_\xi)_j=\frac{\partial(f\circ\xi^{-1})}{\partial x^j}(\xi(m))=\partial_jf(m)$ .
Произв. Ли функции вдоль вект.: $\mathcal L_vf(m)=(\mathrm df(m))(v)$ . Пример: $\mathcal L_{\frac\partial{\partial x^i}(m)}f(m)=\partial_if(m)$ . Утверждение: $\mathcal L_v(fg)(m)=\mathcal L_vf(m)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_vg(m)$ .

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 __NOTOC__
-<h2>3&nbsp; Билинейная и полилинейная алгебра</h2>
+<h2>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</h2>
-<h3>3.1&nbsp; Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3>
+<h3>11&nbsp;&nbsp; Линейные операторы (часть 2)</h3>
-<h5>3.1.1&nbsp; ¯-Билинейные формы</h5>
+<h5>11.1&nbsp; Многочлены и ряды от линейных операторов</h5>
-<ul><li>Пространство билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры билинейных форм: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^ns_{j_1,j_2}v^{j_1}w^{j_2}</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_X\!sfg</math>.
+<ul><li>Эвалюация <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{eval}_a\colon K[x]&\to\mathrm{End}(V)\\f&\mapsto f(a)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором <math>a</math>: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)</math>.
-<li>Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>. Пространство ¯-билинейных форм: <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
+<li>Минимальный многочлен лин. оператора <math>a</math>: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> нормирован, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}\,\land\,f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>.
-<li>Матрица Грама формы <math>\sigma</math>: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. ¯-Билинейная форма в координатах: <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>.
+<li>Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\,\bigl(a^m=0\bigr)</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a</math> — нильпот. лин. оператор; тогда <math>\chi_a=x^{\dim V}</math></i>.
-<li>Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
+<p><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i></p>
-<li>Пр.-ва (над полем <math>\{c\in K\mid c=\overline c\}</math>) <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
+<li>Алгебраическая и безымянная кратности: <math>\alpha(a,c)</math> и <math>\beta(a,c)</math> — кратности <math>c</math> как корня многочлена <math>\chi_a</math> и многочлена <math>\mu_a</math>. Теорема о минимальном многочлене.
-<li>Пр.-ва (над полем <math>\{c\in K\mid c=\overline c\}</math>) <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>.
+<p><u>Теорема о минимальном многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\mu_a</math> делит <math>\chi_a</math><br>(и, значит, для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le\alpha(a,c)</math>), а также <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mu_a(c)=0\}</math>.</i></p>
-<li>Мн.-во гомоморфизмов между пространствами с формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
+<li><u>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>f\in K[x]</math>, то <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)</math> (то есть <math>\mathrm{Ker}\,f(a)</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство в <math>V</math>);<br>(2) если <math>f,g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)</math>;<br>(3) если <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]</math> и многочлены <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты, то <math>\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math><br>(и, значит, <math>(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math>).</i>
-<li>Группа автоморфизмов пространства с формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(V,\sigma))\cap\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{Aut}(n,K,s)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid a^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline a=s\}</math>.</ul>
+<li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a</math> (<math>\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a</math>). Отражение: <math>a^2=\mathrm{id}_V</math> (<math>\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)</math>, если <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>).
+<li>Ряд от лин. оператора <math>a</math> (<math>V</math> — нормир. пр.-во): <math>\sum_{k=0}^\infty f_ka^k</math>. Достат. условие сходимости (<math>V</math> — банах. пр.-во, <math>a\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)</math>): <math>\sum_{k=0}^\infty|f_k|\|a\|^k<\infty</math>.
+<li>Экспонента от непрерывного линейн. оператора <math>a</math> в банах. пр.-ве: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
+<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — банахово пр.-во; тогда для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)</math> выполнено <math>a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.</i></p></ul>
-<h5>3.1.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы</h5>
+<h5>11.2&nbsp; Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора</h5>
-<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\overline c\,\kappa(v)</math>.
+<ul><li>Собственные подпространства: <math>V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)</math>; геометрическая кратность: <math>\gamma(a,c)=\dim V_1(a,c)</math>. Лемма о собственных подпространствах.
-<li>¯-Квадратичная форма в координатах: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math> — однородный ¯-многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
+<p><u>Лемма о собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>c_1,\ldots,c_k\in K</math> и<br><math>c_1,\ldots,c_k</math> попарно различны; тогда<br>(1) <math>\mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)</math>;<br>(2) если <math>C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_1(a,c_k)</math> и <math>C_1,\ldots,C_k</math> — независимые множества, то <math>C_1\cup\ldots\cup C_k</math> — независимое множество;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>.</i></p>
-<li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: мн.-во вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math>, <math>c\in K</math>.
+<li><u>Теорема о диагонализации линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(у2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть многочлен <math>\mu_a</math> раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math>);<br>(у3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(у4) <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
-<li><u>Теорема о поляризации квадратичных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v-w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт:<br><math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма в пространстве <math>V</math> (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>);<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
+<li>Обобщенные собственные подпростр.-ва: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j</math>; относительные геометрич. кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math>.
-<li><u>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>,<br>имеем следующий факт: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма в пространстве <math>V</math> (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>);<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\overline\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
+<li><u>Теорема об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)</math> и, если <math>V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)</math>, то <math>V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)</math>;<br>(2) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(3) <math>\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)</math> и <math>V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots</math>.</i>
-<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}</math></i>.</ul>
+<li>Корневые подпространства: <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>. Нильпотентные части линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}</math>.
+<li><u>Теорема о прямой сумме корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> расклад.-ся в<br>произв.-е многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> в силу алгебр. замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}\!=0</math> (и, значит, <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный линейный оператор) и <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>.</i>
+<li>Жорданова клетка: <math>\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathbf e_1^2+\ldots+\mathbf e_{n-1}^n</math>. Пример: если <math>a=\mathrm{jc}_n(c)</math>, то <math>\chi_a=\mu_a=(x-c)^n</math> и <math>\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_j\rangle\bigr)</math>.</ul>
-<h5>3.1.3&nbsp; Невырожденные ¯-билинейные формы</h5>
+<h5>11.3&nbsp; Жорданова нормальная форма линейного оператора</h5>
-<ul><li>Опускание индексов: <math>\biggl(\!\begin{align}\downarrow_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индексов в координатах: <math>({\downarrow}_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>({\downarrow}_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,j}\,v^i</math>.
+<ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во относит.-но <math>U</math>: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во относит.-но <math>U</math>: <math>V=U+\langle D\rangle</math>.
-<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\downarrow_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
+<li>Базис относительно <math>U</math> — независимое и порождающее множ.-во относительно <math>U</math>. Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).
-<li>Тонкости случая <math>\dim V=\infty</math>. Пример: пусть <math>V=\mathrm C^0\!([-1;1],\mathbb R)</math> и <math>\sigma\colon(f,g)\mapsto\!\int_{-1}^1\!fg</math>; тогда <math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>, но <math>\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma\!<V^*\!\cap\mathrm C^0\!(V,\mathbb R)</math>.
+<p><u>Первая теорема об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>U\le V</math> и <math>E\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>E</math> — базис пространства <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(у2) <math>E</math> — независимое множество и <math>V=U\oplus\langle E\rangle</math> (и, значит, если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>|E|=\dim V-\dim U</math>);<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существуют единственные такие <math>u\in U</math> и <math>f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)</math>, что <math>v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e</math>;<br>(у4) <math>E</math> — максимальное независимое множество относительно <math>U</math>;<br>(у5) <math>E</math> — минимальное порождающее множество относительно <math>U</math>.</i></p>
-<li>Подъем индексов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\uparrow^\sigma={\downarrow}_\sigma^{-1}</math>. Подъем индексов в координатах (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e})^{-1}</math>): <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{j,i}\,\lambda_j</math>.
+<p><u>Вторая теорема об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) любое независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math> можно дополнить до базиса в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) из любого порождающего подмножества в <math>V</math> относительно <math>U</math> можно выделить базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>.</i></p>
-<li><u>Лемма о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>e\in V^m</math>; обозначим<br>через <math>U</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{e,e}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i>
+<li><u>Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math> и<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, а также <math>j\in\mathbb N</math>, <math>V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math>, <math>V_j=\mathrm{Ker}\,a^j</math> и <math>V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}</math>; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V_{j+1}</math> относительно <math>V_j</math>, то <math>a|_C</math> — инъекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_j</math> относительно <math>V_{j-1}</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j</math>.</i>
-<li>Ортогональность (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
+<li>Диаграммы Юнга. Жорданов блок: <math>\mathrm{jb}_\Delta(c)</math> — прямая сумма жордановых клеток <math>\mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)</math>, где <math>n_1,\ldots,n_r</math> — длины строк диаграммы Юнга <math>\Delta</math>.
-<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\le U^{\perp\perp}</math>, <math>U\le W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\le U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\le(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Ker}({\downarrow}_{\sigma|_{U\times U}})=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math><math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(3) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>);<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>U^\perp\!\cap U^{\perp\perp}\!=\{0\}</math>, то <math>U=U^{\perp\perp}</math>.</i></ul>
+<li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> — относительные геометрич. кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>. Корректность опред.-я.
+<li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в<br>произведение многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> в силу алгебр. замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>);<br>тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — прямая сумма жордановых блоков <math>\,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math> по всем <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>.</i>
+<li>Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: <math>\sum_{k=0}^\infty f_k\,\mathrm{jc}_n(c)^k=\sum_{l=0}^{n-1}\frac1{l!}\Bigl(\sum_{k=l}^\infty\frac{k!}{(k-l)!}f_kc^{k-l}\Bigr)\,\mathrm{jc}_n(0)^l</math>.
+<li>Утверждение: <i><math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>, <math>\mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T</math> и <math>\,\mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T</math>, а также <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(\mathrm e^{\tau\,a})=a\cdot\mathrm e^{\tau\,a}</math></i>. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
+<p><u>Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; обозначим через <math>\gamma</math> кривую <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathrm{GL}(n,\mathbb C)\!\\\tau&\mapsto\mathrm e^{\tau\,a}\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) если <math>a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R)</math>, и, если <math>a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C)</math>;<br>(2) если <math>a\in\mathfrak{so}(n)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n)</math>, а также, если <math>a\in\mathfrak u(n)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n)</math>, и, если <math>a\in\mathfrak{su}(n)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n)</math>.</i></p></ul>
-<h5>3.1.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
+<h3>12&nbsp;&nbsp; Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>
-<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,j_1,j_2\in\{1,\ldots,\dim V\}\;\bigl(j_1\ne j_2\,\Rightarrow\,\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})=0\bigr)</math>.
+<h5>12.1&nbsp; Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы</h5>
-<li>Ортонормированный базис (если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
+<ul><li>Группа автоморфизмов простр.-ва с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}</math>.
-<li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда<br>существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i>
+<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, или <math>K=\mathbb C</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(v))=\sigma(v,v)\bigr)\}</math></i>.
-<li><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i>
+<li>Ортогональная группа (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>; унитарная группа (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>.
-<li><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали.</i>
+<li><u>Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.</u><br><i>(1) Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}</math> и, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то условие "<math>\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)</math>" можно убрать.<br>(2) Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.<br>(3) Пусть <math>V</math> — псевдоунитарное пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i>
-<li>Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>v\in V</math>; тогда <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}e_j</math></i>.
+<li>Матричные ортогонал. группы: <math>\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)</math>, <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm{SO}(n)</math>.
-<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и<br>обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно<br>тому, что <math>m_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\,\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>;<br>(2) <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i></ul>
+<li>Матричные унитарные группы: <math>\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)</math>, <math>\mathrm U(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
+<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math> и <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}</math>.
+<li>Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: <math>\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}</math>. Теорема об описании изометрий.
+<p><u>Теорема об описании изометрий.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>; тогда <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)</math>, а также,<br>обозначая через <math>G</math>, <math>F</math> и <math>H</math> группу <math>\,\mathrm{Isom}(V)</math> и ее подгруппы <math>\{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}</math> и <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}</math> соответственно, имеем следующие<br>факты: <math>F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}</math>, <math>G=F\circ H</math>, <math>\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math> и <math>F\cong V^+\!</math> (и, значит, <math>\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)</math>).</i></p></ul>
-<h3>3.2&nbsp; Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3>
+<h5>12.2&nbsp; Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы</h5>
-<h5>3.2.1&nbsp; Положительно и отрицательно определенные формы</h5>
+<ul><li>Простр.-во симметричных операторов: <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
-<ul><li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math>.
+<li>Простр.-во антисимм. операторов: <math>\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
-<li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)<0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v<0\bigr)\}</math>.
+<li>Множество полож. определенных операторов (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}</math>.
-<li>Утверждение: <i>пусть <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)\cup\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена</i>.
+<li>Пример: <math>V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}</math>, <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,</math> и <math>a\,\colon f\mapsto-f''</math>; тогда <math>a</math> — полож. определенный оператор.
-<li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i>
+<li>Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>).
-<li>Евклидово<math>/</math>унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math><math>/</math>над <math>\mathbb C</math> с положительно определенной формой.
+<li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
-<li>Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).</ul>
+<p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math> (и, значит, отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> —<br>¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>), а также <math>a^{**}\!=a</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}</math>.</i></p>
+<p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp</math>, а также <math>\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}</math>.</i></p>
+<li>Множество нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>.
+<li>Форма, связанная с линейным оператором <math>a</math>: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math>. Форма <math>\sigma_a</math> в коорд.: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. Лемма о форме, связанной с оператором.
+<p><u>Лемма о форме, связанной с оператором.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}</math>;<br>(3) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}</math>.</i></p></ul>
-<h5>3.2.2&nbsp; Сигнатура формы</h5>
+<h5>12.3&nbsp; Спектральная теория в унитарных пространствах</h5>
-<ul><li>Полож. и отриц. ранги: <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(U)\}</math>.
+<ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда для любых<br><math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>, а также для любых таких <math>c,c'\!\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne c'</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
-<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и<br><math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)+\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i>
+<li><u>Спектральная теорема для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
-<li>Сигнатура формы: <math>(\mathrm{rk}_{>0}(\sigma),\mathrm{rk}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)-\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)</math>). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над <math>\mathbb R</math> с формой сигнатуры <math>(1,3)</math>.
+<li><u>Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
-<li>(Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math> с невырожденной симметричной билинейной формой.
+<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
-<li>(Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb C</math> с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
+<li><u>Теорема о спектральном разложении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пр.-во и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; для любых <math>c\in\mathbb C</math> обозначим через <math>\,p_c</math> оператор <math>\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>c,c'\!\in\mathbb C</math>, что <math>c\ne c'</math>, выполнено <math>\,p_c^2=p_c=p_c^*\,</math> и <math>\,p_c\!\circ p_{c'}=0</math>, а также <math>|\{c\in\mathbb C\mid p_c\ne0\}|<\infty</math>, <math>\mathrm{id}_V=\sum_{c\in\mathbb C}p_c</math> и <math>a=\sum_{c\in\mathbb C}c\,p_c</math>;<br>(2) если для любых <math>c\in\mathbb C</math> заданы операторы <math>\,p_c'\in\mathrm{End}(V)</math>, удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых <math>c\in\mathbb C</math> выполнено <math>\,p_c'=p_c</math>.</i>
-<li>Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>
+<li><u>Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math> оператора <math>a</math><br>выполнено <math>a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также для любых различных<br>собственных чисел <math>c</math> и <math>c'</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
+<li>Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).</ul>
-<h5>3.2.3&nbsp; Евклидовы и унитарные пространства</h5>
+<h5>12.4&nbsp; Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5>
-<ul><li>Обозначение формы: <math>(,)</math>. Примеры: <math>(v,w)=\sum_{i=1}^nv^i\overline{w^i}</math>, <math>(f,g)=\!\int_X\!f\overline g</math>. Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v,v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>.
+<ul><li>Препятствия к диагонализ.-и над <math>\mathbb R</math>. <math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над <math>\mathbb R</math> с блоками разм. <math>1\!\times\!1</math> и блоками <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
-<li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v,w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v,e_i)e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v,e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i>
+<li><math>\mathbb C</math>-Спектр линейного оператора <math>a</math> в конечномерном вект. пр.-ве над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Пример: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math>.
-<li>Гильбертово пространство над <math>\mathbb R</math><math>/</math>над <math>\mathbb C</math> — (не обязательно конечномерное) «евклидово»<math>/</math>«унитарное» пространство, полное относительно нормы.
+<li><u>Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\subseteq U</math> и, если <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>, то <math>a^*(U)\subseteq U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
-<li><u>Теорема об ортогональном проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v,e_j)e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v,e_j)|^2</math> (это неравенство Бесселя);<br>(2) для любых <math>v\in V</math> и <math>u\in U\!\setminus\!\{\mathrm{proj}_U(v)\}</math> выполнено <math>\|v-\mathrm{proj}_U(v)\|<\|v-u\|</math> (и, значит, <math>\|v-\mathrm{proj}_U(v)\|=\min\{\|v-u\|\mid u\in U\}</math>).</i>
+<li><u>Спектральная теорема для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
-<li>Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если <math>K=\mathbb R</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v,w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>.
+<li><u>Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
-<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство<br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math>. Для любых<br><math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\check e_i</math> вектор <math>\frac{e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)}{\|e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)\|}</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\check e_1,\dots,\check e_i)\in\mathrm{OnOB}(V_i)</math>;<br>(2) <math>\check e_i=\frac{e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j}{\|e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j\|}</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\check e_1,\ldots,\check e_n</math>).</i></ul>
+<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
+<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во с ориентацией, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>; тогда существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и<br><math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math> (и, значит, <math>a</math> — оператор поворота на угол <math>\varphi</math> против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором <math>e_1</math>).</i>
+<li><u>Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во, <math>\tau\in\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>a</math> — лин. оператор, соответств.<br>форме <math>\tau</math> относит.-но изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto(\,\mid\,)_a\end{align}\!\biggr)</math> (то есть <math>\forall\,v,w\in V\;\bigl((a(v)\!\mid\!w)=\tau(v,w)\bigr)</math>); тогда в <math>V</math> сущ.-т ортонормированный базис,<br>ортогональный относит.-но формы <math>\tau</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>), а также <math>\{\tau(v,v)\mid v\in V,\,\|v\|=1\}=[\min\mathrm{Spec}(a);\max\mathrm{Spec}(a)]</math>.</i></ul>
-<h3>3.3&nbsp; Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>
+<h5>12.5&nbsp; Специальная ортохронная группа Лоренца</h5>
-<h5>3.3.1&nbsp; Сопряжение операторов</h5>
+<ul><li>Движение со скоростью света: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R^4\\\tau&\mapsto\tau\,p+q\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>\,p^\mathtt T\eta\,p=0</math> (<math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>). Теорема о сохранении скорости света. Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)</math>.
-<ul><li>Сопряженный оператор (форма <math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)={\uparrow}^\sigma\bigl(({\downarrow}_\sigma v)\circ a\bigr)</math>. Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>.
+<p><u>Теорема о сохранении скорости света.</u><br><i>Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{GL}(4,\mathbb R)</math>; тогда след. утверждения эквивалентны: (у1) <math>\forall\,p\in\mathbb R^4\,\bigl(p^\mathtt T\eta\,p=0\,\Leftrightarrow(\Lambda\,p)^\mathtt T\eta\,(\Lambda\,p)=0\bigr)</math> и (у2) <math>\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=c\,\eta</math>, где <math>c=(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0</math>.</i></p>
-<li><u>Лемма о сопряжении операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>v\in V</math> вектор <math>a^*(v)</math> однозначно определяется условием <math>\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(v,a(w))=\sigma(a^*(v),w)\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(4) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a=\mathrm{id}_V\}</math>.</i>
+<li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>v,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>b=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,b^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,b^\mathtt Tb-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det b</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det b))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}</math>.</i>
-<li>Ортогональная группа (<math>V</math> — (псевдо)евклидово пр.): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. Унитарная группа (<math>V</math> — (псевдо)унитарное пр.): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>.
+<li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>.
-<li>Классические группы над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathrm O(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb R,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm O(n)=\mathrm O(n,0)</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm O(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n,0)</math>.
+<li>Пр.-во Минковского — псевдоевклид. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (опр.-е не зависит от выбора базиса).
-<li>Классические группы над <math>\mathbb C</math>: <math>\mathrm U(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb C,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm U(n)=\mathrm U(n,0)</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm U(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SU}(n,0)</math>.
+<li>Спинорная модель пространства Минковского: <math>\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math>. Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>.
-<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}\cong\mathrm S^1</math>, <math>\mathrm O(2)=\bigl\{\mathrm{id}_2,\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr\}\!\cdot\mathrm{SO}(2)</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}\cong\mathrm S^3</math>.</ul>
+<li>Матрицы Паули: <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>. Утверждение: <i><math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k</math>, <math>\mathrm{tr}(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math> и <math>[\sigma_i,\sigma_j]=\sum_{k=1}^32\,\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k</math></i>.
+<li><u>Теорема о спинорной модели пространства Минковского.</u><br><i>(1) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> определяет на <math>\mathcal M</math> структуру пространства Минковского, и <math>(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)</math>.<br>(2) Сужение на <math>\mathcal E</math> формы из пункта (1), взятое с противопол. знаком, определяет на <math>\mathcal E</math> структуру евклидова пространства, и <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)</math>.<br>(3) Для любых <math>\varphi\in\mathbb R</math> и таких <math>u\in\mathcal E</math>, что <math>\|u\|=1</math>, выполнено <math>u^2=\mathrm{id}_2</math>, <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,</math> и <math>\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u</math>.</i>
+<li><u>Теорема о бустах и поворотах.</u> <i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathcal E</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — буст с быстротой <math>2\varphi</math> вдоль оси с направляющим<br>вектором <math>u</math>, а также <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот на угол <math>2\varphi</math> вокруг оси с направляющим вектором <math>u</math> (эскиз доказательства).<br>(2) Спинорные представления <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизмы групп (без док.-ва).</i></ul>
-<h5>3.3.2&nbsp; Два пространства и два множества операторов</h5>
+<h3>13&nbsp;&nbsp; Многообразия (часть 1)</h3>
-<ul><li>Форма, связанная с оператором: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math> (<math>\Leftrightarrow\,{\downarrow}_{\sigma_a}\!={\downarrow}_\sigma\!\circ a</math>). Форма, связанная с оператором, в координатах: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>.
+<h5>13.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с многообразиями</h5>
-<li><u>Лемма об операторах и формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\\tau&\mapsto{\uparrow}^\sigma\!\circ{\downarrow}_\tau\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
+<ul><li><math>n</math>-Мерная система координат на топол. пр.-ве <math>M</math> — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в <math>M</math> и <math>\mathbb R^n</math>; отн.-е согласованности: <math>\tilde\xi\circ\xi^{-1}</math> — диффеоморфизм.
-<li><u>Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство<br>над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\sigma_a(w,v)=\overline{\sigma_{a^*}(v,w)}</math>;<br>(2) <math>\sigma_a\!\in\overline\mathrm{SBi}(V)\,\Leftrightarrow\,a=a^*</math> и <math>\sigma_a\!\in\overline\mathrm{ABi}(V)\,\Leftrightarrow\,a=-a^*</math>, а также <math>a^{**}\!=a</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\le(\mathrm{Ker}\,a)^\perp</math>;<br>(4) для любых <math>U\le V</math> выполнено <math>a(U)\le U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\le U^\perp</math> и <math>\,a^*(U)\le U\,\Rightarrow\,a(U^\perp)\le U^\perp</math>.</i>
+<li><math>n</math>-Мерный атлас на <math>M</math> — множество попарно согласованных <math>n</math>-мерных систем координат на <math>M</math>, области определения которых покрывают <math>M</math>. Примеры.
-<li>Пр.-во самосопряженных оп.-ров: <math>\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{SBi}(V)\}</math>; <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Rightarrow\,</math><math>\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a=a^*\}</math>.
+<li><math>n</math>-Мерное многообразие <math>M</math> — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во <math>M</math> с максимальным <math>n</math>-мерным атласом <math>\mathcal A</math>. Примеры: <math>\mathbb R^n</math>, откр. мн.-ва в <math>\mathbb R^n</math>, <math>\mathrm S^n</math>.
-<li>Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: <math>\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{ABi}(V)\}</math>; <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Rightarrow\,</math><math>\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a=-a^*\}</math>.
+<li>Отобр. <math>\varphi</math> между многообр. <math>M</math> и <math>P</math> гладкое в <math>m</math>, если существ. такие <math>\xi\in\mathcal A</math> и <math>\rho\in\mathcal D</math>, что <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi</math>, <math>\varphi(m)\in\mathrm{Dom}\,\rho</math> и отобр. <math>\rho\circ\varphi\circ\xi^{-1}\!</math> гладкое в <math>\xi(m)</math>.
-<li>Множество положительно определенных операторов (если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)\}</math>.
+<li>Утверждение: <i>гладкость отображения не зависит от выбора систем координат</i>. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми <math>M</math> и <math>P</math>: <math>\mathrm C^\infty\!(M,P)</math>.
-<li>Множество нормальных операторов: <math>\mathcal N\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}\supseteq\mathrm{Aut}(V,\sigma)\cup\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)\cup\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)</math>.
+<li><math>\mathrm{Curv}_m(M)=\!\!\!\bigcup_{\alpha\in[-\infty;0),\,\beta\in(0;\infty]}\!\!\!\{\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)\mid\gamma(0)=m\}</math> — множество кривых, проходящих через <math>m</math>. <math>\mathrm C^\infty\!(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> — <math>\mathbb R</math>-алгебра функций.
-<li>Пример: положительно определенный оператор <math>f\mapsto-f''</math> в пространстве <math>\{f\in\mathrm C^\infty\!([0;l],\mathbb C)\mid f(0)=f(l)=0\}</math> с формой <math>(f,g)\mapsto\!\int_0^l\!f\overline g</math>.</ul>
+<li>Скорость кривой в координатах (<math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)</math>, <math>\tau\in(\alpha;\beta)</math>): <math>\dot\gamma(\tau)^\xi=(\xi\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(\tau)\in\mathbb R^n</math>; <math>i</math>-я компонента скорости: <math>(\dot\gamma(\tau)^\xi)^i=\bigl((\xi\circ\gamma)^i\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(\tau)=\dot\gamma(\tau)^i</math>.
+<li>Матрица Якоби замены коорд.: <math>\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)=\mathrm d(\tilde\xi\circ\xi^{-1})(\xi(m))</math>; <math>(i,k)</math>-я компон.: <math>\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)_k^i=\frac{\partial(\tilde\xi\circ\xi^{-1})^i}{\partial x^k}(\xi(m))=\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))</math>. Лемма о замене координат.
+<p><u>Лемма о замене координат.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math>, <math>m\in M</math>, <math>\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, <math>\xi,\tilde\xi\in\mathcal A</math> и <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi\cap\mathrm{Dom}\,\tilde\xi</math>; тогда<br>(1) <math>\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)\cdot\dot\gamma(0)^\xi</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\dot\gamma(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,\dot\gamma(0)^k\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(2) <math>\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\,\Leftrightarrow\,\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\tilde\xi\!</math> (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).</i></p></ul>
-<h5>3.3.3&nbsp; Спектральная теория (часть 1)</h5>
+<h5>13.2&nbsp; Касательные пространства и кокасательные пространства</h5>
-<ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>;<br>(2) для любых таких <math>c,d\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne d</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i>
+<ul><li>Отнош.-е касания в <math>m</math> (<math>\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>): <math>\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A\;\bigl(m\in\mathrm{Dom}\,\xi\,\land\,\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\bigr)</math>. Инвариантная скорость: <math>\dot\gamma(0)=[\gamma]_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\!\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>.
-<li><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i>
+<li>Касательное простр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Базисные векторы, определяемые координатами: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\,\mathbf e_i)\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(0)</math>.
-<li><u>Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br><math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i>
+<li>Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат на <math>M</math>: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,v^k</math> и <math>\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\xi(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)</math>.
-<li><u>Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm U(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с числами вида <math>\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>;<br>(2) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>;<br>(3) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>;<br>(4) <math>a\in\mathcal A\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с числами вида <math>\,\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>.</i>
+<p><u>Теорема о касательных пространствах.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math>, <math>m\in M</math>, <math>\xi\in\mathcal A</math> и <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\dot\gamma(0)</math>, и обозначая через <math>v^\xi</math> столбец <math>\dot\gamma(0)^\xi</math>, имеем следующий факт:<br>столбец <math>v^\xi</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\v&\mapsto v^\xi\end{align}\!\biggr)</math> — биекция; определим на <math>\,\mathrm T_mM</math> структуру вект. простр.-ва над <math>\,\mathbb R</math> так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом<br>вект. простр.-в (то есть <math>\forall\,v,w\in\mathrm T_mM,\,c,d\in\mathbb R\;\bigl((c\,v+d\,w)^\xi=c\,v^\xi+d\,w^\xi\bigr)</math>); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;<br>(3) <math>\Bigl(\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OB}(\mathrm T_mM)</math>, и для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> выполнено <math>v=\sum_{i=1}^n(v^\xi)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> (это разложение по базису в <math>\,\mathrm T_mM</math>).</i></p>
-<li><u>Лемма об операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\le U</math> и, если <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, то <math>a^*(U)\le U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
+<li>Кокасательное пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T^*_mM=(\mathrm T_mM)^*</math>. Базисные ковекторы, опред. координатами: <math>\mathrm dx^j(m)=\Bigl(\frac\partial{\partial x^j}(m)\Bigr)^{\!*}</math>. Строка координат ковектора: <math>\lambda_\xi</math>.
-<li>Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).</ul>
+<li>Разложение по базису в <math>\mathrm T^*_mM</math>: <math>\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_\xi)_j\,\mathrm dx^j(m)</math>. Преобр.-я при замене координат: <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\xi(m))\,\lambda_l</math> и <math>\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\xi(m))\,\mathrm dx^l(m)</math>.
+<li><u>Теорема о дифференциале функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>m\in M</math> и <math>f\in\mathrm C^\infty\!(M)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\dot\gamma(0)</math>, и обозначая через <math>(\mathrm df(m))(v)</math> число <math>(f\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(0)</math>, имеем следующий<br>факт: число <math>(\mathrm df(m))(v)</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> и таких <math>\xi\in\mathcal A</math>, что <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi</math>, выполнено <math>(\mathrm df(m))(v)=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\cdot v^\xi</math>;<br>(3) обозначая через <math>\mathrm df(m)</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\v&\mapsto(\mathrm df(m))(v)\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm df(m)\in\mathrm T^*_mM</math>.</i>
-<h5>3.3.4&nbsp; Спектральная теория (часть 2)</h5>
+<li>Дифференциал функции в коорд. (<math>f\in\mathrm C^\infty\!(M)</math>): <math>\mathrm df(m)_\xi=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\in\mathbb R_n</math>; <math>j</math>-я компон. дифф.-ла: <math>(\mathrm df(m)_\xi)_j=\frac{\partial(f\circ\xi^{-1})}{\partial x^j}(\xi(m))=\partial_jf(m)</math>.
-<ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
+<li>Произв. Ли функции вдоль вект.: <math>\mathcal L_vf(m)=(\mathrm df(m))(v)</math>. Пример: <math>\mathcal L_{\frac\partial{\partial x^i}(m)}f(m)=\partial_if(m)</math>. Утверждение: <math>\mathcal L_v(fg)(m)=\mathcal L_vf(m)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_vg(m)</math>.</ul>
-<li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>.
-<li><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i>
-<li><u>Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br><math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i>
-<li><u>Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом<br>пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диаг. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>;<br>(2) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>;<br>(3) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>;<br>(4) <math>a\in\mathcal A\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>.</i>
-<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>, если и только если<br>существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\!\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math>.</i></ul>

Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Текущая версия на 15:00, 15 марта 2019

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11 Линейные операторы (часть 2)

11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов

11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора

12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы

12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах

12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах

12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца

13 Многообразия (часть 1)

13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями

13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства

Навигация

Просмотры

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты