Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Текущая версия на 22:00, 22 июня 2017

2  Линейная алгебра

2.1  Матрицы, базисы, координаты

2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Пространство столбцов: ${\displaystyle K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)}$. Пространство строк: ${\displaystyle K_n=\mathrm{Mat}(1,n,K)}$.
• Матричные единицы: ${\displaystyle (\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle K_{n}}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Умножение матриц: ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
• Строки матрицы: ${\displaystyle a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a}$. Столбцы матрицы: ${\displaystyle a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}}$ и ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}}$.
• След матрицы: ${\displaystyle \mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)}$.
• Транспонирование матрицы: ${\displaystyle (a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)}$; тогда ${\displaystyle (b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}}$.

2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Матрица гомоморфизма: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}}$. Утверждение: ${\displaystyle a(e)=h\cdot a_{e}^{h}}$ и ${\displaystyle \forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.
• Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Изоморфизм колец и векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \forall\,e,\tilde e,\tilde{\tilde e}\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\mathrm c_\tilde e^\tilde{\tilde e}\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde{\tilde e}\,\land\,\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm c_\tilde e^e)^{-1}\bigr)}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись (если ${\displaystyle a}$ — эндоморфизм): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})}$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle p,n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0}}$ и элементарные матрицы ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$ размера ${\displaystyle p\times p}$ над полем ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a}$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно ${\displaystyle \dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ (и, значит, не зависит от матриц ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: ${\displaystyle V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U=\dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle U=V}$.
• Ядро линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V}$. Образ линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$; тогда ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда выполнено ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V=\dim Y<\infty }$;
  тогда выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$.

2.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a}$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)\leq \min\{\dim V,\dim Y\}}$. Утверждение: ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y}$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) для любых матриц ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ и ${\displaystyle \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})}$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

2.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\cdot v_{0}=y}$; тогда ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle y\in K^{p}}$; тогда ${\displaystyle \exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))}$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.

2.3  Конструкции над векторными пространствами

2.3.1  Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

• Факторпространство: ${\displaystyle V/U}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle A}$ — базис в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B}$ — базис в ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle A\subseteq B}$; тогда ${\displaystyle \{b+U\mid b\in B\setminus A\}}$ — базис в ${\displaystyle V/U}$.
• Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.
• Прямая сумма векторных пространств: ${\displaystyle U\oplus W}$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$;
  обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V}$;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V}$;
  (4) если ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана).

• Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: ${\displaystyle a(U)\leq U}$. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
• Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.

2.3.2  Двойственное пространство

• Двойственное пространство: ${\displaystyle V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)}$. Двойственный базис: ${\displaystyle e^{j}(v)=(v^{e})^{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\!\sum _{j=1}^{\dim V}\!\lambda (e_{j})e^{j}}$. Столбец ${\displaystyle e^{*}}$.
• Строка координат ковектора. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}}$, ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ и ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$.
• Отождествление пространств ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{**}}$ в случае конечномерного пространства ${\displaystyle V}$ при помощи изоморфизма ${\displaystyle \,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Сводная таблица о координатах. (В таблице ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$.)

2.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1  Отступление о симметрических группах

• Симметрическая группа: ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})}$. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
• Утверждение: ${\displaystyle (i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})}$. Утверждение: ${\displaystyle u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))}$.
• Транспозиции ${\displaystyle \{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}}$ и фундаментальные транспозиции ${\displaystyle \{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}}$. Число циклов ${\displaystyle \kappa (u)}$.
• Лемма об умножении на транспозицию. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}}$, ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$, ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i<j}$; тогда
  (1) если числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежат одному циклу в перестановке ${\displaystyle u}$, то ${\displaystyle \kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1}$;
  (2) если числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежат разным циклам в перестановке ${\displaystyle u}$, то ${\displaystyle \kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1}$.
• Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$; обозначим через ${\displaystyle l}$ число ${\displaystyle n-\kappa (u)}$; тогда
  (1) существуют такие транспозиции ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}}$, что ${\displaystyle u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$ из существования таких транспозиций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}}$, что ${\displaystyle u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}}$, следует, что ${\displaystyle t\geq l}$ и ${\displaystyle t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)}$.
• Знак перестановки: ${\displaystyle \mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {sgn} }$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: ${\displaystyle \mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\!\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}\trianglelefteq \mathrm {S} _{n}}$.

2.4.2  Полилинейные отображения и формы объема

• Пространства полилинейных отображений ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)}$, ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}(V,Y)}$ и полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)}$, ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}V}$.
• Пространства билинейных отображений ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)}$, ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V,Y)}$ и билинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)}$, ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры полилинейных форм.
• Пространство симметричных полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {SMulti} _{k}V}$. Пространство антисимметричных полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {AMulti} _{k}V}$.
• Лемма об антисимметричных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {Multi} _{k}V}$; тогда
  следующие условия эквивалентны (если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=2}$, то исключаются импликации (2)${\displaystyle \;\Rightarrow \,}$(1) и (3)${\displaystyle \;\Rightarrow \,}$(1)):
  (1) ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V}$;
  (2) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ и таких ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$, что ${\displaystyle u}$ — транспозиция, выполнено ${\displaystyle \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$;
  (3) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$ выполнено ${\displaystyle \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$.
• Пространство форм объема ${\displaystyle \mathrm {AMulti} _{n}V}$ (${\displaystyle n=\dim V}$). Форма объема, связанная с базисом: ${\displaystyle \mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}}$.
• Теорема о формах объема. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V}$ выполнено ${\displaystyle \omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ множество ${\displaystyle \{\mathrm {vol} ^{e}\}}$ — базис пространства ${\displaystyle \,\mathrm {AMulti} _{n}V}$;
  (3) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}}$ выполнено ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0}$.