Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Текущая версия на 00:00, 20 сентября 2018

Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы-
вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат
не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж-
дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку
этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь.

Ю.И. Манин. Математика и физика

Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и
становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались
чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих
закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем
и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а
не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.

П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1 Множества, отображения, отношения

1.1 Множества

Логические операции: $\lnot$ — отрицание («не»), $\lor$ — дизъюнкция («или»), $\land$ — конъюнкция («и»), $\Rightarrow$ — импликация («влечет»), $\Leftrightarrow$ — эквивалентность.
Кванторы: $\exists$ — существование («существует»), $\forall$ — всеобщность («для любых»), $\exists !$ — существование и единственность («существует единственный»).
Принадлежность: $\in$ . Равенство множеств: $X=Y\,\Leftrightarrow\,\forall\,z\;\bigl(z\in X\,\Leftrightarrow\,z\in Y\bigr)$ . Включение и строгое включение между множ.-вами: $X\subseteq Y$ и $X\subset Y$ .
Кванторы по элементам множества: $\exists\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)$ и $\forall\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)$ . Задание множества перечислением элементов: $\{\ldots \}$ . Пустое множество: $\varnothing$ .
Выделение подмножества: $\{x\in X\mid p(x)\}$ . Операции над мн.-вами: $\cup$ — объединение, $\cap$ — пересечение, $\setminus$ — разность, $\times$ — прямое произведение.
Теорема об операциях над множествами. Пусть $X,Y,Z$ — множества; тогда
(1) $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$ и $X\cup Y=Y\cup X$ , а также $(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$ и $X\cap Y=Y\cap X$ ;
(2) $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$ и $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)$ ;
(3) если $U$ — множество и $X,Y\subseteq U$ , то $U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)$ и $U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)$ .
Числовые множества: $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$ , $\mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$ ( $n\in \mathbb {N}$ ).
Множество подмножеств мн.-ва $X$ : $2^{X}$ . Прямая степень мн.-ва $X$ ( $n\in \mathbb {N} _{0}$ ): $X^{n}$ . Порядок (количество элементов) мн.-ва $X$ : $|X|$ ( $|X|\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$ ).

1.2 Отображения

Множество отображений, действующих из мн.-ва $X$ в мн.-во $Y$ : $\mathrm {Map} (X,Y)$ . Область отобр.-я $f$ : $\mathrm {Dom} \,f$ . Кообласть отобр.-я $f$ : $\mathrm {Codom} \,f$ . Примеры.
Образ множества $A$ относительно $f$ ( $A\subseteq X$ ): $f(A)$ , прообраз множества $B$ относительно $f$ ( $B\subseteq Y$ ): $f^{-1}(B)$ , образ отображения $f$ : $\mathrm {Im} \,f=f(X)$ .
Сужения отображения $f$ ( $A\subseteq X$ и $f(A)\subseteq B\subseteq Y$ ): $f|_{A}$ и $f|_{A\to B}$ . Сокращенная запись образа: $\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}$ .
Инъекции: $\mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}$ . Сюръекции: $\mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}$ .
Биекции: $\mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)$ . Композиция отображений $g$ и $f$ : $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . Тождественное отображение: $\mathrm {id} _{X}(x)=x$ .
Теорема о композиции отображений. Пусть $X,Y$ — множества и $f\in \mathrm {Map} (X,Y)$ ; тогда
(1) $f\circ \mathrm {id} _{X}=f$ , $\mathrm {id} _{Y}\circ f=f$ и, если $Z,W$ — множества, $g\in \mathrm {Map} (Y,Z)$ и $h\in \mathrm {Map} (Z,W)$ , то $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ ;
(2) если $X\neq \varnothing$ , то $f$ — инъекция, если и только если $\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\bigr)$ ;
(3) $f$ — сюръекция, если и только если $\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)$ ;
(4) $f$ — биекция, если и только если $\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\,\land\,f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)$ .
Отображение $f^{-1}$ , обратное к отображению $f$ : $f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X$ и $f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y$ . Пример: взаимно обратные биекции $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)$ и $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)$ .

1.3 Отношения

Множество отношений между множествами $X$ и $Y$ : $\mathrm {Rel} (X,Y)$ . Область отношения $\Delta$ : $\mathrm {Dom} \,\Delta$ . Кообласть отношения $\Delta$ : $\mathrm {Codom} \,\Delta$ . Примеры.
Отношение эквивалентности $\sim$ на $X$ — такое отн.-е между $X$ и $X$ , что $\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\sim x\,\land\,(x\sim y\,\Rightarrow\,y\sim x)\,\land\,(x\sim y\,\land\,y\sim z\,\Rightarrow\,x\sim z)\bigr)$ .
Класс эквивалентности: $[x]_\sim\!=\{\breve x\in X\mid x\sim\breve x\}$ . Утверждение: $x\sim\breve x\;\Leftrightarrow\,[x]_\sim\!=[\breve x]_\sim$ . Фактормножество: $X/{\sim}=\{[x]_\sim\!\mid x\in X\}$ . Трансверсали.
Разбиение $\mathcal P$ множества $X$ — такое подмн.-во в $2^X\!\setminus\!\{\varnothing\}$ , что $\bigcup_{A\in\mathcal P}\!A=X$ и $\forall\,A,B\in\mathcal P\;\bigl(A\ne B\,\Rightarrow A\cap B=\varnothing\bigr)$ . Утверждение: $X/{\sim}$ — разбиение.
Отношение ${\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$ : $x\underset{\scriptscriptstyle f}\sim\breve x\;\Leftrightarrow\,f(x)=f(\breve x)$ . Мн.-во слоев отобр.-я $f$ : $\{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}$ ( $=X/{\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}$ ). Факторотображение $\Biggl(\!\begin{align}X/{\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}&\to\mathrm{Im}\,f\\{[x]_\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}\!&\mapsto f(x)\end{align}\Biggr)$ — биекция.
Утверждение: $\sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|$ . Принцип Дирихле. Пусть $X,Y$ — множества и $|X|=|Y|<\infty$ ; тогда $\,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)$ .
Отношение порядка $\preceq$ на $X$ — такое отн.-е между $X$ и $X$ , что $\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\preceq x\,\land\,(x\preceq y\,\land\,y\preceq x\,\Rightarrow\,x=y)\,\land\,(x\preceq y\,\land\,y\preceq z\,\Rightarrow\,x\preceq z)\bigr)$ .
Наименьший эл.-т $a$ мн.-ва $X$ с отн.-ем порядка $\preceq$ : $\forall\,x\in X\;\bigl(a\preceq x\bigr)$ . Единственность наименьшего эл.-та. Наибольший эл.-т мн.-ва с отн.-ем порядка.

2 Группы (часть 1)

2.1 Множества с операцией

Внутренняя $n$ -арная операция на мн.-ве $S$ — отображение, действующее из $S^{n}$ в $S$ (нульарная операция на $S$ — выделенный элемент множества $S$ ).
Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: $\mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}$ .
Изоморфизмы: $\mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)$ . Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: $\mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)$ . Автоморфизмы: $\mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)$ .
Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $S,V,Y$ — множества с $n$ -арной операцией; тогда
(1) для любых $f\in \mathrm {Hom} (S,V)$ и $g\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ выполнено $g\circ f\in \mathrm {Hom} (S,Y)$ ;
(2) для любых $f\in \mathrm {Iso} (S,V)$ выполнено $f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)$ .
Операции над подмножествами: $o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}$ . Примеры: $\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$ , $\mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ .
Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: $\forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}$ ; коммутативность (абелевость): $\forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}$ .
Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.
Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть $S$ — полугруппа, $n\in \mathbb {N}$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ ; тогда значение выражения $s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}$ не зависит от
расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций $\mathrm {Func} (X,M)$ , моноиды отображений $\mathrm {Map} (X)$ , моноиды слов $\mathrm W(X)$ и $\mathrm W(X)^\mathtt{ab}$ .
Обратимые элементы: $M^\times\!=\{m\in M\mid\exists\,m'\!\in M\;\bigl(m'\,m=m\,m'=1\bigr)\}$ . Единственность обратного элемента. Утверждение: $M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }$ .
Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа $M^{\times }$ ( $M$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: $G\cong J$ .
Примеры: числовые группы, группы остатков $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ и $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$ , группы функций $\mathrm {Func} (X,G)$ , группы биекций $\mathrm {Bij} (X)$ , свободные группы $\mathrm F(X)$ .
Группа изометрий пр.-ва $\mathbb {R} ^{n}$ : $\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{g\in\mathrm{Bij}(\mathbb R^n)\mid\forall\,v,w\in\mathbb R^n\,\bigl(\|g(v)-g(w)\|=\|v-w\|\bigr)\}$ , где $\|(v^1,\ldots,v^n)\|=\!\sqrt{(v^1)^2+\ldots+(v^n)^2}$ .
Симметрические группы: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {Bij} (\{1,\ldots ,n\})$ . Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
Лемма о циклах. Пусть $l,m,n\in \mathbb {N}$ , $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}$ , числа $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k$ попарно различны и $u\in \mathrm {S} _{n}$ ; тогда
$(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$ , а также $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$ .
Степени эл.-та группы. Мультипликативные обозначения: $g\,h$ , $1$ , $g^{-1}$ и $g^{n}$ . Аддитивные обозн.-я в абелевой (коммутативной) группе: $a+b$ , $0$ , $-a$ и $n\,a$ .

2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы

Подгруппа: $H\le G\,\Leftrightarrow\,H\,H\subseteq H\,\land\,1\in H\,\land\,H^{-1}\!\subseteq H$ . Подгруппа, порожд. мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle$ — наименьш. относ.-но $\subseteq$ подгруппа, содержащая $D$ .
Утверждение: $\langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\!\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}$ (в частности, $\langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}$ ). Пример: $(\mathbb Z/n)^+\!=\langle1\rangle$ .
Отношения ${\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и ${\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ ( $H\leq G$ ): $g\,{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H$ ( $\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H$ ) и $g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\,{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H$ ( $\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}$ ). Утверждение: $[g]\!_\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\!=gH$ и $[g]_\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\!\!=Hg$ .
Множества классов смежности: $G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и $H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ . Теорема Лагранжа. Индекс: $|G:H|=|G/H|$ .
Теорема Лагранжа. Пусть $G$ — группа, $|G|<\infty$ и $H\leq G$ ; тогда $|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|$ (и, значит, $|H|$ делит $|G|$ ).
Порядок элемента: $\mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}$ ( $\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ ). Утверждение: пусть $n=\mathrm {ord} (g)<\infty$ ; тогда $\{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z}$ .
Лемма о порядке элемента. Пусть $G$ — группа и $g\in G$ ; тогда $\mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |$ и, если $|G|<\infty$ , то $\mathrm {ord} (g)$ делит $|G|$ и $g^{|G|}\!=1$ .
Теорема об обратимых остатках.
(1) Пусть $n\in \mathbb {N}$ и $a\in \mathbb {Z} /n$ ; тогда $\mathrm{ord}_{(\mathbb Z/n)^+\!}(a)=\frac n{\gcd(a,n)}$ .
(2) Пусть $n\in \mathbb {N}$ ; тогда $(\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}$ (в частности, если $p\in \mathbb {P}$ , то $(\mathbb {Z} /p)^{\times }\!=(\mathbb {Z} /p)\!\setminus \!\{0\}$ ).
(3) Пусть $p\in \mathbb {P}$ , $a\in \mathbb {Z}$ и $p$ не делит $a$ ; тогда $a^{p-1}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)$ (это малая теорема Ферма).
Циклическая группа: $\exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}$ . Примеры: $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ для любых $n\in \mathbb {N}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ , $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$ для некоторых $n\in \mathbb {N}$ . Теорема о циклических группах.
Теорема о циклических группах. Пусть $G$ — циклическая группа и $n=|G|$ ; тогда, если $n<\infty$ , то $G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ , и, если $n=\infty$ , то $G\cong \mathbb {Z} ^{+}$ .

2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

Нормальная подгруппа: $H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}$ . Пример: если $|G:H|=2$ , то $H\trianglelefteq G$ .
Сопряжение при помощи эл.-та $g$ : ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ . Отнош.-е сопряженности: ${\bigl (}$ $x$ и ${\breve {x}}$ сопряжены ${\bigr )}$ $\;\Leftrightarrow \;$ $\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}$ . Классы сопряженности.
Нормальная подгруппа, порожд. мн.-вом $T$ : $(T)$ — наименьш. относ.-но $\subseteq$ нормальная подгруппа, содержащая $T$ . Утверждение: $(T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }$ .
Ядро и образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)$ и $\mathrm {Im} \,f$ . Утверждение: $\mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq G$ и $\,\mathrm {Im} \,f\leq J$ . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда
(1) для любых $j\in J$ и $g_{0}\in f^{-1}(j)$ выполнено $f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f$ ;
(2) $f$ — инъекция, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}$ .
Факторгруппа: $G/H$ с фактороперациями ( $H\trianglelefteq G$ ). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ .
Теорема о гомоморфизме. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда $G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Задание групп образующими и соотношениями ( $D$ — множество, $T\subseteq\mathrm F(D)$ ): $\langle D\mid T\rangle=\mathrm F(D)/(T)$ . Пример: $\langle d_1,d_2\!\mid d_1^2,d_2^2,(d_1d_2)^2\rangle\cong(\mathbb Z/8)^\times$ .
Прямое произведение групп: $F\times H$ с покомпонентными операциями. Утверждение: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизмы групп.
Теорема о прямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$ ; обозначим через $\mathrm {mult}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ ; тогда
(1) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ , $\mathrm {mult} ^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} =FH$ ;
(2) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ ;
(3) если $|G|<\infty$ , то в пункте (2) условие " $G=FH\!$ " можно заменить на условие " $|G|=|F|\,|H|\!$ ".

3 Кольца (часть 1)

3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами

Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
Примеры: числовые кольца, кольца остатков $\mathbb Z/n$ , кольца функций $\mathrm{Func}(X,R)$ . Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца $R$ : $R^{+}$ и $R^{\times }$ .
Подкольцо: $S\le R\,\Leftrightarrow\,S+S\subseteq S\,\land\,0\in S\,\land\,-S\subseteq S\,\land\,S\,S\subseteq S\,\land\,1\in S$ . Подкольцо, порожд. мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle$ (в частности, $S[r]=\langle S\cup\{r\}\rangle$ ).
Идеал: $I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow\,I+I\subseteq I\,\land\,0\in I\,\land\,R\;I\,R\subseteq I$ . Идеал, порожденный мн.-вом $T$ : $(T)$ . Пример: если $R$ — коммут. кольцо и $r\in R$ , то $(r)=rR$ .
Ядро и образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,f$ . Факторкольцо: $R/I$ с фактороперациями ( $I\trianglelefteq R$ ). Корректность. Теорема о гомоморфизме.
Теорема о гомоморфизме. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$ ; тогда $R/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Прямое произв.-е колец: $Q\times S$ с покомпонент. операциями. Характеристика кольца $R$ : $\mathrm{char}\,R=\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)$ , если $\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)<\infty$ ; иначе $\mathrm{char}\,R=0$ .
Кольцо без делителей нуля: $\forall\,r,s\in R\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(r\,s\ne0\bigr)$ и $R\neq \{0\}$ . Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: $K^{\times }\!=K\!\setminus \!\{0\}$ .
Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p$ , где $p\in \mathbb {P}$ . Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.

3.2 Кольца многочленов

Множество многочленов от переменной $x$ над кольцом $R$ : $R[x]=\mathrm{FinFunc}(\mathrm W(x),R)$ ; общий вид многочлена: $f_nx^n+\ldots+f_0$ ; операции в $R[x]$ .
Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в $R[x]$ ( $R$ — коммут. кольцо): $g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)$ .
Лемма о степени многочлена. Пусть $R$ — кольцо без делителей нуля и $f,g\in R[x]$ ; тогда $\deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g$ , а также $R[x]^{\times }\!=R^{\times }$ .
Неприводимые многочл. ( $R$ — обл. цел.): $\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\}$ . Пример: если $K$ — поле и $\deg f=1$ , то $f\in\mathrm{Irr}(K[x])$ .
Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f,g\in R[x]$ и старший коэффициент многочлена $f$ обратим; тогда
существуют единственные такие многочлены $q,t\in R[x]$ , что $g=q\,f+t$ и $\deg t<\deg f$ (обозначения: $q=g\;\mathrm{div}\,f$ и $t=g\;\mathrm{mod}\,f$ ).
Кольцо остатков по модулю многочлена $f$ ( $K$ — поле, $f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}$ ): $K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}$ . Утверждение: $K[x]/(f)\cong K[x]/f$ .
Сопост.-е многочлену полиномиал. функции ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {pf} _{A}\colon R[x]&\to \mathrm {Func} (A,A)\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto {\bigl (}a\mapsto f_{n}a^{n}+\ldots +f_{0}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм ( $R\leq A$ , $\forall\,a\in A,\,r\in R\;\bigl(a\,r=r\,a\bigr)$ ).
Сокращенная запись: $f(a)={\bigl (}\mathrm {pf} _{A}(f){\bigr )}(a)$ . Корень $a$ многочлена $f$ в кольце $A$ : $f(a)=0$ . Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.
Теорема Безу. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f\in R[x]$ и $r\in R$ ; тогда $f\;\mathrm {mod} \;(x-r)=f(r)$ (и, значит, $(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0$ ).

Теорема о количестве корней многочлена. Пусть $R$ — область целостности и $f\in R[x]\!\setminus \!\{0\}$ ; тогда $|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\leq \deg f$ , а также,
если $|R|=\infty$ , то существует такой элемент $r\in R$ , что $f(r)\ne0$ (и, значит, $\mathrm{pf}_R$ — инъекция).
Теорема Виета. Пусть $R$ — кольцо, $n\in \mathbb {N}$ , $f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R$ и $x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)$ ; тогда для
любых $k\in\{0,\ldots,n-1\}$ выполнено $f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}$ (в частности, $f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n$ и $f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)$ ).

3.3 Поле комплексных чисел

Кольцо комплексных чисел: $\mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=-1$ . Утверждение: $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ . Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ .
Вещественная и мнимая части: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta$ . Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i}$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}$ .
Теорема о свойствах комплексных чисел.
(1) Для любых $a\in \mathbb {C}$ выполнено $a\,{\overline {a}}=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {C}$ — поле).
(2) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb {C}$ ).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Группа $\mathrm S^1$ : $\mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}$ . Утверждение: $\mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1$ . Экспонента от компл. числа $a$ : $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}$ , а также $\mathrm e^0\!=1$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$ .
(2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ выполнено $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i$ (и, значит, $\mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}$ и $\,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z$ ).
Тригонометрическая запись: $r\,(\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i)=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$ . Группа корней $n$ -й степ. из $1$ : $\mathrm C_n\!=\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=1\}=\{1,\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i},\ldots,\mathrm e^{\frac{2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\langle\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i}\rangle$ .
Первообразные корни $n$ -й степени из $1$ . Корни $n$ -й степени из $r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$ : $\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\}=\{\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i},\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi}n\mathrm i},\ldots,\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i}\,\mathrm C_n$ .
«Основная теорема алгебры»: $\mathbb {C}$ — алгебраически замкнутое поле, то есть $\forall\,f\in\mathbb C[x]\!\setminus\!\mathbb C^\times\;\exists\,a\in\mathbb C\;\bigl(f(a)=0\bigr)$ (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
(1) Пусть $f\in \mathbb {R} [x]$ , $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$ ; тогда $f(\alpha+\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,f(\alpha-\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,(x^2-2\alpha\,x+\alpha^2+\beta^2)\,|\,f$ .
(2) $\mathrm {Irr} (\mathbb {R} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0\}\cup \{a\,x^{2}+b\,x+c\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,\,b^{2}-4a\,c<0\}$ и $\,\mathrm{Irr}(\mathbb C[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb C,\,a\ne0\}$ .

3.4 Тело кватернионов

Кольцо кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$ , а также $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$ , $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$ , $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$ .
Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k}$ .
Чистые кватернионы: $\mathbb H_\mathrm{vect}\!=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}(v)=0\}$ . Скалярное произвед.-е, векторное произвед.-е, норма в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ : $(v\!\mid\!w)$ , $v\times w$ , $\|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}$ .
Утверждение: пусть $v,w\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ ; тогда $\,v\,w=-(v\!\mid\!w)+v\times w$ . Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\|\mathrm {Im} (a)\|^{2}}}$ .
Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых $a\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {H}$ — тело).
(2) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — антиавтоморфизм тела $\,\mathbb {H}$ ).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Группа $\mathrm {S} ^{3}$ : $\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}$ . Утверждение: $\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3$ . Экспонента от кватерниона $a$ : $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b$ , а также $\mathrm e^0\!=1$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$ .
(2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ и таких $u\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ , что $\|u\|=1$ , выполнено $\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u$ (и, значит, $\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid\varphi\in[0;\pi],\,u\in\mathbb H_\mathrm{vect},\,\|u\|=1\}$ ).
Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
(1) Пусть $\varphi \in \mathbb {R}$ ; тогда $\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)$ — поворот на угол $\varphi$ против часовой стрелки вокруг нуля.
(1') $\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}$ (доказательство только включения $\,\supseteq$ ).
(2) Пусть $\varphi \in \mathbb {R}$ , $u\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ и $\|u\|=1$ ; тогда $\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)$ — поворот на угол $2\varphi$ против час. стрелки вокруг оси с напр. вектором $u$ .
(2') $\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}$ (доказательство только включения $\,\supseteq$ ).

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 __NOTOC__
-<h3>1.1&nbsp; Матрицы, базисы, координаты</h3>
+<h2>Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры</h2>
-<h5>1.1.1&nbsp; Пространства матриц, столбцов, строк</h5>
+<table cellpadding="6" cellspacing="0">
-<ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.
+<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы-<br>вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат<br>не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж-<br>дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку<br>этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика и физика</i></td></tr></table></td></tr>
-<li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{e_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
+<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и<br>становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались<br>чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих<br>закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем<br>и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а<br>не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.</td></tr><tr align="right"><td><i>П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле</i></td></tr></table></td></tr></table>
-<li>Стандартный базис пространства <math>K^p</math>: <math>\{e_i\mid i\in\{1,\ldots,p\}\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\{e^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
-<li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.
-<li>Строки матрицы: <math>a^i=e^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы: <math>a_j=a\cdot e_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i=b^i\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j</math> и <math>(b\cdot a)_k=b\cdot a_k=\sum_{j=1}^pa^j_k\,b_j</math></i>.
-<li>След матрицы: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math></i>.
-<li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>(b\cdot a)^\mathtt T=a^\mathtt T\cdot b^\mathtt T</math></i>.</ul>
-<h5>1.1.2&nbsp; Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</h5>
+<h3>1&nbsp;&nbsp; Множества, отображения, отношения</h3>
-<ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств между <math>V</math> и <math>K^{\dim V}</math>.
+<h5>1.1&nbsp; Множества</h5>
-<li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <i><math>a(e)=h\cdot a_e^h</math> и <math>\forall\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math></i>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.
+<ul><li>Логические операции: <math>\lnot</math> — отрицание («не»), <math>\lor</math> — дизъюнкция («или»), <math>\land</math> — конъюнкция («и»), <math>\Rightarrow</math> — импликация («влечет»), <math>\Leftrightarrow</math> — эквивалентность.
-<li>Изоморфизм векторных пространств между <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)</math>. Изоморфизм колец между <math>\mathrm{End}(V)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim V,K)</math>.</ul>
+<li>Кванторы: <math>\exists</math> — существование («существует»), <math>\forall</math> — всеобщность («для любых»), <math>\exists!</math> — существование и единственность («существует единственный»).
+<li>Принадлежность: <math>\in</math>. Равенство множеств: <math>X=Y\,\Leftrightarrow\,\forall\,z\;\bigl(z\in X\,\Leftrightarrow\,z\in Y\bigr)</math>. Включение и строгое включение между множ.-вами: <math>X\subseteq Y</math> и <math>X\subset Y</math>.
+<li>Кванторы по элементам множества: <math>\exists\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)</math> и <math>\forall\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)</math>. Задание множества перечислением элементов: <math>\{\ldots\}</math>. Пустое множество: <math>\varnothing</math>.
+<li>Выделение подмножества: <math>\{x\in X\mid p(x)\}</math>. Операции над мн.-вами: <math>\cup</math> — объединение, <math>\cap</math> — пересечение, <math>\setminus</math> — разность, <math>\times</math> — прямое произведение.
+<li><u>Теорема об операциях над множествами.</u> <i>Пусть <math>X,Y,Z</math> — множества; тогда<br>(1) <math>(X\cup Y)\cup Z=X\cup(Y\cup Z)</math> и <math>X\cup Y=Y\cup X</math>, а также <math>(X\cap Y)\cap Z=X\cap(Y\cap Z)</math> и <math>X\cap Y=Y\cap X</math>;<br>(2) <math>X\cap(Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup(X\cap Z)</math> и <math>X\cup(Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap(X\cup Z)</math>;<br>(3) если <math>U</math> — множество и <math>X,Y\subseteq U</math>, то <math>U\setminus(X\cup Y)=(U\setminus X)\cap(U\setminus Y)</math> и <math>U\setminus(X\cap Y)=(U\setminus X)\cup(U\setminus Y)</math>.</i>
+<li>Числовые множества: <math>\mathbb N</math>, <math>\mathbb Z</math>, <math>\mathbb Q</math>, <math>\mathbb R</math> — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, <math>\mathbb N_0=\mathbb N\cup\{0\}</math>, <math>\mathbb Z/n=\{0,\ldots,n-1\}</math> (<math>n\in\mathbb N</math>).
+<li>Множество подмножеств мн.-ва <math>X</math>: <math>2^X</math>. Прямая степень мн.-ва <math>X</math> (<math>n\in\mathbb N_0</math>): <math>X^n</math>. Порядок (количество элементов) мн.-ва <math>X</math>: <math>|X|</math> (<math>|X|\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}</math>).</ul>
-<h5>1.1.3&nbsp; Преобразования координат при замене базиса</h5>
+<h5>1.2&nbsp; Отображения</h5>
-<ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=\bigl(\mathrm c_\tilde e^e\bigr)^{-1}</math></i>.
+<ul><li>Множество отображений, действующих из мн.-ва <math>X</math> в мн.-во <math>Y</math>: <math>\mathrm{Map}(X,Y)</math>. Область отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Dom}\,f</math>. Кообласть отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Codom}\,f</math>. Примеры.
-<li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i\,v^k</math>.
+<li>Образ множества <math>A</math> относительно <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math>): <math>f(A)</math>, прообраз множества <math>B</math> относительно <math>f</math> (<math>B\subseteq Y</math>): <math>f^{-1}(B)</math>, образ отображения <math>f</math>: <math>\mathrm{Im}\,f=f(X)</math>.
-<li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
+<li>Сужения отображения <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math> и <math>f(A)\subseteq B\subseteq Y</math>): <math>f|_A</math> и <math>f|_{A\to B}</math>. Сокращенная запись образа: <math>\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid\exists\,x\in X\;\bigl(f(x)=y\bigr)\}</math>.
+<li>Инъекции: <math>\mathrm{Inj}(X,Y)=\{f\in\mathrm{Map}(X,Y)\mid\forall\,y\in Y\;\bigl(|f^{-1}(y)|\le1\bigr)\}</math>. Сюръекции: <math>\mathrm{Surj}(X,Y)=\{f\in\mathrm{Map}(X,Y)\mid\forall\,y\in Y\;\bigl(|f^{-1}(y)|\ge1\bigr)\}</math>.
+<li>Биекции: <math>\mathrm{Bij}(X,Y)=\mathrm{Inj}(X,Y)\cap\mathrm{Surj}(X,Y)</math>. Композиция отображений <math>g</math> и <math>f</math>: <math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math>. Тождественное отображение: <math>\mathrm{id}_X(x)=x</math>.
+<li><u>Теорема о композиции отображений.</u> <i>Пусть <math>X,Y</math> — множества и <math>f\in\mathrm{Map}(X,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>f\circ\mathrm{id}_X=f</math>, <math>\mathrm{id}_Y\circ f=f</math> и, если <math>Z,W</math> — множества, <math>g\in\mathrm{Map}(Y,Z)</math> и <math>h\in\mathrm{Map}(Z,W)</math>, то <math>(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)</math>;<br>(2) если <math>X\ne\varnothing</math>, то <math>f</math> — инъекция, если и только если <math>\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\bigr)</math>;<br>(3) <math>f</math> — сюръекция, если и только если <math>\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)</math>;<br>(4) <math>f</math> — биекция, если и только если <math>\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\,\land\,f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)</math>.</i>
+<li>Отображение <math>f^{-1}</math>, обратное к отображению <math>f</math>: <math>f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X</math> и <math>f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y</math>. Пример: взаимно обратные биекции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)</math>.</ul>
-<h5>1.1.4&nbsp; Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5>
+<h5>1.3&nbsp; Отношения</h5>
-<ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,e_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)e_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
+<ul><li>Множество отношений между множествами <math>X</math> и <math>Y</math>: <math>\mathrm{Rel}(X,Y)</math>. Область отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Dom}\,\Delta</math>. Кообласть отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Codom}\,\Delta</math>. Примеры.
-<li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,e_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)e_i^i)\cdot a</math>.
+<li>Отношение эквивалентности <math>\sim</math> на <math>X</math> — такое отн.-е между <math>X</math> и <math>X</math>, что <math>\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\sim x\,\land\,(x\sim y\,\Rightarrow\,y\sim x)\,\land\,(x\sim y\,\land\,y\sim z\,\Rightarrow\,x\sim z)\bigr)</math>.
-<li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,e_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)e_j^j)</math>.
+<li>Класс эквивалентности: <math>[x]_\sim\!=\{\breve x\in X\mid x\sim\breve x\}</math>. Утверждение: <math>x\sim\breve x\;\Leftrightarrow\,[x]_\sim\!=[\breve x]_\sim</math>. Фактормножество: <math>X/{\sim}=\{[x]_\sim\!\mid x\in X\}</math>. Трансверсали.
-<li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
+<li>Разбиение <math>\mathcal P</math> множества <math>X</math> — такое подмн.-во в <math>2^X\!\setminus\!\{\varnothing\}</math>, что <math>\bigcup_{A\in\mathcal P}\!A=X</math> и <math>\forall\,A,B\in\mathcal P\;\bigl(A\ne B\,\Rightarrow A\cap B=\varnothing\bigr)</math>. Утверждение: <i><math>X/{\sim}</math> — разбиение</i>.
-<p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p>
+<li>Отношение <math>\underset{\scriptscriptstyle f}\sim</math>: <math>x\underset{\scriptscriptstyle f}\sim\breve x\;\Leftrightarrow\,f(x)=f(\breve x)</math>. Мн.-во слоев отобр.-я <math>f</math>: <math>\{f^{-1}(y)\mid y\in\mathrm{Im}\,f\}</math> (<math>=X/{\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}</math>). Факторотображение <math>\Biggl(\!\begin{align}X/{\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}&\to\mathrm{Im}\,f\\{[x]_\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}\!&\mapsto f(x)\end{align}\Biggr)</math> — биекция.
-<li>Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul>
+<li>Утверждение: <math>\sum_{y\in\mathrm{Im}\,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|</math>. <u>Принцип Дирихле.</u> <i>Пусть <math>X,Y</math> — множества и <math>|X|=|Y|<\infty</math>; тогда <math>\,\mathrm{Inj}(X,Y)=\mathrm{Surj}(X,Y)=\mathrm{Bij}(X,Y)</math>.</i>
+<li>Отношение порядка <math>\preceq</math> на <math>X</math> — такое отн.-е между <math>X</math> и <math>X</math>, что <math>\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\preceq x\,\land\,(x\preceq y\,\land\,y\preceq x\,\Rightarrow\,x=y)\,\land\,(x\preceq y\,\land\,y\preceq z\,\Rightarrow\,x\preceq z)\bigr)</math>.
+<li>Наименьший эл.-т <math>a</math> мн.-ва <math>X</math> с отн.-ем порядка <math>\preceq</math>: <math>\forall\,x\in X\;\bigl(a\preceq x\bigr)</math>. Единственность наименьшего эл.-та. Наибольший эл.-т мн.-ва с отн.-ем порядка.</ul>
-<h3>1.2&nbsp; Линейные операторы (часть 1)</h3>
+<h3>2&nbsp;&nbsp; Группы (часть 1)</h3>
-<h5>1.2.1&nbsp; Ядро и образ линейного оператора</h5>
+<h5>2.1&nbsp; Множества с операцией</h5>
-<ul><li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U=\dim V<\infty</math>; тогда <math>U=V</math></i>.
+<ul><li>Внутренняя <math>n</math>-арная операция на мн.-ве <math>S</math> — отображение, действующее из <math>S^n</math> в <math>S</math> (нульарная операция на <math>S</math> — выделенный элемент множества <math>S</math>).
-<li>Ядро линейного оператора: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)\le V</math>. Образ линейного оператора: <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math>. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
+<li>Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: <math>\mathrm{Hom}(S,V)=\{f\in\mathrm{Map}(S,V)\mid\forall\,s_1,\ldots,s_n\in S\;\bigl(f(o_S(s_1,\ldots,s_n))=o_V(f(s_1),\ldots,f(s_n))\bigr)\}</math>.
-<p><u>Лемма о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v_0\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p>
+<li>Изоморфизмы: <math>\mathrm{Iso}(S,V)=\mathrm{Hom}(S,V)\cap\mathrm{Bij}(S,V)</math>. Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: <math>\mathrm{End}(S)=\mathrm{Hom}(S,S)</math>. Автоморфизмы: <math>\mathrm{Aut}(S)=\mathrm{Iso}(S,S)</math>.
-<p><u>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p>
+<li><u>Теорема о композиции гомоморфизмов.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>S,V,Y</math> — множества с <math>n</math>-арной операцией; тогда<br>(1) для любых <math>f\in\mathrm{Hom}(S,V)</math> и <math>g\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> выполнено <math>g\circ f\in\mathrm{Hom}(S,Y)</math>;<br>(2) для любых <math>f\in\mathrm{Iso}(S,V)</math> выполнено <math>f^{-1}\!\in\mathrm{Iso}(V,S)</math>.</i>
-<li><u>Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда выполнено <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i>
+<li>Операции над подмножествами: <math>o_S(S_1,\ldots,S_n)=\{o_S(s_1,\ldots,s_n)\mid s_1\in S_1,\ldots,s_n\in S_n\}</math>. Примеры: <math>\mathbb N+\mathbb N=\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>\mathbb N\cdot\mathbb N=\mathbb N</math>, <math>\mathbb Z+\mathbb Z=\mathbb Z</math>.
-<li><u>Принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда выполнено <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Isom}(V,Y)</math>.</i></ul>
+<li>Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: <math>\forall\,s,t,u\in S\;\bigl((s\cdot t)\cdot u=s\cdot(t\cdot u)\bigr)</math>; коммутативность (абелевость): <math>\forall\,s,t\in S\;\bigl(s\cdot t=t\cdot s\bigr)</math>.
+<li>Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.
+<p><u>Лемма об обобщенной ассоциативности.</u> <i>Пусть <math>S</math> — полугруппа, <math>n\in\mathbb N</math> и <math>s_1,\ldots,s_n\in S</math>; тогда значение выражения <math>s_1\cdot\ldots\cdot s_n</math> не зависит от<br>расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).</i></p></ul>
-<h5>1.2.2&nbsp; Ранг линейного оператора</h5>
+<h5>2.2&nbsp; Моноиды и группы (основные определения и примеры)</h5>
-<ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>.
+<ul><li>Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
-<li>Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>. Утверждение: <i><math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>.
+<li>Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций <math>\mathrm{Func}(X,M)</math>, моноиды отображений <math>\mathrm{Map}(X)</math>, моноиды слов <math>\mathrm W(X)</math> и <math>\mathrm W(X)^\mathtt{ab}</math>.
-<li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g\cdot a\cdot g')=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=e_1^1+e_2^2+\ldots+e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></ul>
+<li>Обратимые элементы: <math>M^\times\!=\{m\in M\mid\exists\,m'\!\in M\;\bigl(m'\,m=m\,m'=1\bigr)\}</math>. Единственность обратного элемента. Утверждение: <math>M^\times\!\cdot M^\times\!\subseteq M^\times</math>.
+<li>Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа <math>M^\times</math> (<math>M</math> — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: <math>G\cong J</math>.
+<li>Примеры: числовые группы, группы остатков <math>(\mathbb Z/n)^+</math> и <math>(\mathbb Z/n)^\times</math>, группы функций <math>\mathrm{Func}(X,G)</math>, группы биекций <math>\mathrm{Bij}(X)</math>, свободные группы <math>\mathrm F(X)</math>.
+<li>Группа изометрий пр.-ва <math>\mathbb R^n</math>: <math>\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{g\in\mathrm{Bij}(\mathbb R^n)\mid\forall\,v,w\in\mathbb R^n\,\bigl(\|g(v)-g(w)\|=\|v-w\|\bigr)\}</math>, где <math>\|(v^1,\ldots,v^n)\|=\!\sqrt{(v^1)^2+\ldots+(v^n)^2}</math>.
+<li>Симметрические группы: <math>\mathrm S_n=\mathrm{Bij}(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
+<p><u>Лемма о циклах.</u> <i>Пусть <math>l,m,n\in\mathbb N</math>, <math>i_1,\ldots,i_l,j_1,\ldots,j_m,k\in\{1,\ldots,n\}</math>, числа <math>i_1,\ldots,i_l,j_1,\ldots,j_m,k</math> попарно различны и <math>u\in\mathrm S_n</math>; тогда<br><math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>, а также <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}\!=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.</i></p>
+<li>Степени эл.-та группы. Мультипликативные обозначения: <math>g\,h</math>, <math>1</math>, <math>g^{-1}</math> и <math>g^n</math>. Аддитивные обозн.-я в абелевой (коммутативной) группе: <math>a+b</math>, <math>0</math>, <math>-a</math> и <math>n\,a</math>.</ul>
-<h5>1.2.3&nbsp; Системы линейных уравнений</h5>
+<h5>2.3&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы</h5>
-<ul><li>Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: <i>пусть <math>a\cdot v_0=y</math>; тогда <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math></i>.
+<ul><li>Подгруппа: <math>H\le G\,\Leftrightarrow\,H\,H\subseteq H\,\land\,1\in H\,\land\,H^{-1}\!\subseteq H</math>. Подгруппа, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> — наименьш. относ.-но <math>\subseteq</math> подгруппа, содержащая <math>D</math>.
-<li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда <math>\exists\,v\in K^n\;\bigl(a\cdot v=y\bigr)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}((a\;\,y))</math>.</i>
+<li>Утверждение: <i><math>\langle D\rangle=\{d_1^{\varepsilon_1}\!\cdot\ldots\cdot d_n^{\varepsilon_n}\!\mid n\in\mathbb N_0,\,d_1,\ldots,d_n\in D,\,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\in\{1,-1\}\}</math> (в частности, <math>\langle g\rangle=\{g^a\!\mid a\in\mathbb Z\}</math>)</i>. Пример: <math>(\mathbb Z/n)^+\!=\langle1\rangle</math>.
-<li>Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>.</ul>
+<li>Отношения <math>\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim</math> и <math>\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim</math> (<math>H\le G</math>): <math>g\,\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\;\breve g\,\Leftrightarrow\,g^{-1}\breve g\in H</math> (<math>\Leftrightarrow\,gH=\breve gH</math>) и <math>g\;\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\,\breve g\,\Leftrightarrow\,\breve g\,g^{-1}\!\in H</math> (<math>\Leftrightarrow\,Hg=H\breve g</math>). Утверждение: <i><math>[g]\!_\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\!=gH</math> и <math>[g]_\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\!\!=Hg</math></i>.
+<li>Множества классов смежности: <math>G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim</math> и <math>H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim</math>. Теорема Лагранжа. Индекс: <math>|G:H|=|G/H|</math>.
+<p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>|G|<\infty</math> и <math>H\le G</math>; тогда <math>|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|</math> (и, значит, <math>|H|</math> делит <math>|G|</math>).</i></p>
+<li>Порядок элемента: <math>\mathrm{ord}(g)=\min\{n\in\mathbb N\mid g^n=1\}</math> (<math>\mathrm{ord}(g)\in\mathbb N\cup\{\infty\}</math>). Утверждение: <i>пусть <math>n=\mathrm{ord}(g)<\infty</math>; тогда <math>\{a\in\mathbb Z\mid g^a=1\}=n\,\mathbb Z</math></i>.
+<li><u>Лемма о порядке элемента.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>g\in G</math>; тогда <math>\mathrm{ord}(g)=|\langle g\rangle|</math> и, если <math>|G|<\infty</math>, то <math>\mathrm{ord}(g)</math> делит <math>|G|</math> и <math>g^{|G|}\!=1</math>.</i>
+<li><u>Теорема об обратимых остатках.</u><br><i>(1) Пусть <math>n\in\mathbb N</math> и <math>a\in\mathbb Z/n</math>; тогда <math>\mathrm{ord}_{(\mathbb Z/n)^+\!}(a)=\frac n{\gcd(a,n)}</math>.<br>(2) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>; тогда <math>(\mathbb Z/n)^\times\!=\{a\in\mathbb Z/n\mid\gcd(a,n)=1\}</math> (в частности, если <math>p\in\mathbb P</math>, то <math>(\mathbb Z/p)^\times\!=(\mathbb Z/p)\!\setminus\!\{0\}</math>).<br>(3) Пусть <math>p\in\mathbb P</math>, <math>a\in\mathbb Z</math> и <math>p</math> не делит <math>a</math>; тогда <math>a^{p-1}\!\equiv1\;(\mathrm{mod}\;p)</math> (это малая теорема Ферма).</i>
+<li>Циклическая группа: <math>\exists\,d\in G\;\bigl(G=\langle d\rangle\bigr)</math>. Примеры: <math>(\mathbb Z/n)^+</math> для любых <math>n\in\mathbb N</math>, <math>\mathbb Z^+</math>, <math>(\mathbb Z/n)^\times</math> для некоторых <math>n\in\mathbb N</math>. Теорема о циклических группах.
+<p><u>Теорема о циклических группах.</u> <i>Пусть <math>G</math> — циклическая группа и <math>n=|G|</math>; тогда, если <math>n<\infty</math>, то <math>G\cong(\mathbb Z/n)^+</math>, и, если <math>n=\infty</math>, то <math>G\cong\mathbb Z^+</math>.</i></p></ul>
-<h3>1.3&nbsp; Конструкции над векторными пространствами</h3>
+<h5>2.4&nbsp; Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп</h5>
-<h5>1.3.1&nbsp; Прямая сумма векторных пространств и факторпространства</h5>
+<ul><li>Нормальная подгруппа: <math>H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow\,H\le G\,\land\,\forall\,g\in G\;\bigl(gHg^{-1}\!\subseteq H\bigr)\,\Leftrightarrow\,H\le G\,\land\,\forall\,g\in G\;\bigl(gH=Hg\bigr)</math>. Пример: если <math>|G:H|=2</math>, то <math>H\trianglelefteq G</math>.
-<ul><li>Прямая сумма векторных пространств: <math>U\oplus W</math>. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
+<li>Сопряжение при помощи эл.-та <math>g</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>. Отнош.-е сопряженности: <math>\bigl(</math><math>x</math> и <math>\breve x</math> сопряжены<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,g\in G\;\bigl(\breve x=g\,x\,g^{-1}\bigr)</math>. Классы сопряженности.
-<p><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U,W\le V</math>;<br>обозначим через <math>\mathrm{add}_{U,W}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Hom}(U\oplus W,V)</math>, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{add}_{U,W}\cong U\cap W</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{add}_{U,W}=U+W</math>;<br>(2) если <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана);<br>(3) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Isom}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,v\in V\;\exists!\,u\in U,\,w\in W\;\bigl(v=u+w\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;U+W=V</math>;<br>(4) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Isom}(U\oplus W,V)\,\Leftrightarrow\,U\cap W=\{0\}\;\land\;\dim U+\dim W=\dim V</math>.</i></p>
+<li>Нормальная подгруппа, порожд. мн.-вом <math>T</math>: <math>(T)</math> — наименьш. относ.-но <math>\subseteq</math> нормальная подгруппа, содержащая <math>T</math>. Утверждение: <math>(T)=\bigl\langle\!\bigcup_{g\in G}g\,Tg^{-1}\bigr\rangle</math>.
-<li>Инвариантное относительно эндоморфизма подпространство: <math>a(U)\le U</math>. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
+<li>Ядро и образ гомоморфизма <math>f</math>: <math>\mathrm{Ker}\,f=f^{-1}(1)</math> и <math>\mathrm{Im}\,f</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,f\trianglelefteq G</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,f\le J</math></i>. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
-<li>Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
+<p><u>Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>G,J</math> — группы и <math>f\in\mathrm{Hom}(G,J)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in J</math> и <math>g_0\in f^{-1}(j)</math> выполнено <math>f^{-1}(j)=g_0\,\mathrm{Ker}\,f</math>;<br>(2) <math>f</math> — инъекция, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,f=\{1\}</math>.</i></p>
-<li>Факторпространство <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>.
+<li>Факторгруппа: <math>G/H</math> с фактороперациями (<math>H\trianglelefteq G</math>). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: <math>\mathbb Z^+\!/n\,\mathbb Z\cong(\mathbb Z/n)^+</math>.
-<li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></ul>
+<p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>G,J</math> — группы и <math>f\in\mathrm{Hom}(G,J)</math>; тогда <math>G/\,\mathrm{Ker}\,f\cong\mathrm{Im}\,f</math>.</i></p>
+<li>Задание групп образующими и соотношениями (<math>D</math> — множество, <math>T\subseteq\mathrm F(D)</math>): <math>\langle D\mid T\rangle=\mathrm F(D)/(T)</math>. Пример: <math>\langle d_1,d_2\!\mid d_1^2,d_2^2,(d_1d_2)^2\rangle\cong(\mathbb Z/8)^\times</math>.
+<li>Прямое произведение групп: <math>F\times H</math> с покомпонентными операциями. Утверждение: <i><math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизмы групп</i>.
+<li><u>Теорема о прямом произведении.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>F,H\le G</math>; обозначим через <math>\mathrm{mult}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{mult}\in\mathrm{Hom}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>, <math>\mathrm{mult}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{mult}=FH</math>;<br>(2) <math>\mathrm{mult}\in\mathrm{Iso}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>;<br>(3) если <math>|G|<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>G=FH\!</math>" можно заменить на условие "<math>|G|=|F|\,|H|\!</math>".</i></ul>
-<h5>1.3.2&nbsp; Двойственное пространство</h5>
+<h3>3&nbsp;&nbsp; Кольца (часть 1)</h3>
-<ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e_j^*(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\sum_{j=1}^{\dim V}\lambda(e_j)e_j^*</math>. Столбец <math>e^*</math>.
+<h5>3.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с кольцами</h5>
-<li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <i><math>\tilde e^*=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^{\dim V}(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math></i>.
+<ul><li>Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
-<li>Отождествление пространств <math>V</math> и <math>V^{**}</math> в случае конечномерного пространства <math>V</math> при помощи изоморфизма <math>\,v\mapsto\!\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K\\\lambda&\mapsto\lambda(v)\end{align}\!\biggr)</math>.
+<li>Примеры: числовые кольца, кольца остатков <math>\mathbb Z/n</math>, кольца функций <math>\mathrm{Func}(X,R)</math>. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца <math>R</math>: <math>R^+</math> и <math>R^\times</math>.
-<li>Сводная таблица о координатах. (В таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>.)</ul>
+<li>Подкольцо: <math>S\le R\,\Leftrightarrow\,S+S\subseteq S\,\land\,0\in S\,\land\,-S\subseteq S\,\land\,S\,S\subseteq S\,\land\,1\in S</math>. Подкольцо, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> (в частности, <math>S[r]=\langle S\cup\{r\}\rangle</math>).
-<p><table border cellpadding="3" cellspacing="0">
+<li>Идеал: <math>I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow\,I+I\subseteq I\,\land\,0\in I\,\land\,R\;I\,R\subseteq I</math>. Идеал, порожденный мн.-вом <math>T</math>: <math>(T)</math>. Пример: если <math>R</math> — коммут. кольцо и <math>r\in R</math>, то <math>(r)=rR</math>.
-<tr><th>Инвариантный объект</th><th>Координаты<br>относительно базиса</th><th>Преобразование координат<br>при замене базиса</th><th>Пример использования<br>в геометрии и физике</th></tr>
+<li>Ядро и образ гомоморфизма <math>f</math>: <math>\mathrm{Ker}\,f=f^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,f</math>. Факторкольцо: <math>R/I</math> с фактороперациями (<math>I\trianglelefteq R</math>). Корректность. Теорема о гомоморфизме.
-<tr align="center"><td>вектор <math>v</math> —<br>элемент пространства <math>V</math><br>(тензор типа <math>(1,0)</math> над <math>V</math>)</td>
+<p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>R,U</math> — кольца и <math>f\in\mathrm{Hom}(R,U)</math>; тогда <math>R/\,\mathrm{Ker}\,f\cong\mathrm{Im}\,f</math>.</i></p>
-<td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
+<li>Прямое произв.-е колец: <math>Q\times S</math> с покомпонент. операциями. Характеристика кольца <math>R</math>: <math>\mathrm{char}\,R=\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)</math>, если <math>\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)<\infty</math>; иначе <math>\mathrm{char}\,R=0</math>.
-<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr>
+<li>Кольцо без делителей нуля: <math>\forall\,r,s\in R\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(r\,s\ne0\bigr)</math> и <math>R\ne\{0\}</math>. Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: <math>K^\times\!=K\!\setminus\!\{0\}</math>.
-<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr>
+<li>Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля <math>\mathbb F_p=\mathbb Z/p</math>, где <math>p\in\mathbb P</math>. Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.</ul>
-<tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td>
-<td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr>
-<tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td>
-<td><math>\begin{align}V^*\!&\to{}^n\!K\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
-<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
-<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr>
-<tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td>
-<td>дифференциал в точке<br>гладкой функции (скалярного поля)<br>на многообразии</td></tr>
-<tr align="center"><td>эндоморфизм <math>a</math> —<br>элемент пространства <math>\mathrm{End}(V)</math><br>(тензор типа <math>(1,1)</math> над <math>V</math>)</td>
-<td><math>\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм колец<br>и векторных пространств)</td>
-<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
-<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)</math></td></tr></table></td>
-<td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table></p>
-<h3>1.4&nbsp; Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h3>
+<h5>3.2&nbsp; Кольца многочленов</h5>
-<h5>1.4.1&nbsp; Отступление о симметрических группах</h5>
+<ul><li>Множество многочленов от переменной <math>x</math> над кольцом <math>R</math>: <math>R[x]=\mathrm{FinFunc}(\mathrm W(x),R)</math>; общий вид многочлена: <math>f_nx^n+\ldots+f_0</math>; операции в <math>R[x]</math>.
-<ul><li>Симметрическая группа: <math>\mathrm S_n=\mathrm S(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
+<li>Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в <math>R[x]</math> (<math>R</math> — коммут. кольцо): <math>g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)</math>.
-<li>Утверждение: <math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>. Утверждение: <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.
+<p><u>Лемма о степени многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо без делителей нуля и <math>f,g\in R[x]</math>; тогда <math>\deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g</math>, а также <math>R[x]^\times\!=R^\times</math>.</i></p>
-<li>Транспозиции <math>\{(i\;\,j)\mid i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i<j\}</math> и фундаментальные транспозиции <math>\{(i\;\,i+1)\mid i\in\{1,\ldots,n-1\}\}</math>. Число циклов <math>\kappa(u)</math>.
+<li>Неприводимые многочл. (<math>R</math> — обл. цел.): <math>\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\}</math>. Пример: если <math>K</math> — поле и <math>\deg f=1</math>, то <math>f\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>.
-<li><u>Лемма об умножении на транспозицию.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\setminus\{1\}</math>, <math>u\in\mathrm S_n</math>, <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i<j</math>; тогда<br>(1) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат одному циклу в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)+1</math>;<br>(2) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат разным циклам в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)-1</math>.</i>
+<li><u>Лемма о делении многочленов с остатком.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f,g\in R[x]</math> и старший коэффициент многочлена <math>f</math> обратим; тогда<br>существуют единственные такие многочлены <math>q,t\in R[x]</math>, что <math>g=q\,f+t</math> и <math>\deg t<\deg f</math> (обозначения: <math>q=g\;\mathrm{div}\,f</math> и <math>t=g\;\mathrm{mod}\,f</math>).</i>
-<li><u>Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>u\in\mathrm S_n</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>n-\kappa(u)</math>; тогда<br>(1) существуют такие транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_l</math>;<br>(2) для любого <math>t\in\mathbb N_0</math> из существования таких транспозиций <math>u_1,\ldots,u_t\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_t</math>, следует, что <math>t\ge l</math> и <math>t\equiv l\;(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i>
+<li>Кольцо остатков по модулю многочлена <math>f</math> (<math>K</math> — поле, <math>f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math>): <math>K[x]/f=\{a\in K[x]\mid\deg a<\deg f\}</math>. Утверждение: <math>K[x]/(f)\cong K[x]/f</math>.
-<li>Знак перестановки: <math>\mathrm{sgn}(u)=(-1)^{n-\kappa(u)}</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{sgn}</math> — гомоморфизм групп</i>. Знакопеременная группа: <math>\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\!\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}\trianglelefteq\mathrm S_n</math>.</ul>
+<li>Сопост.-е многочлену полиномиал. функции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pf}_A\colon R[x]&\to\mathrm{Func}(A,A)\\f_nx^n+\ldots+f_0&\mapsto\bigl(a\mapsto f_na^n+\ldots+f_0\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм (<math>R\le A</math>, <math>\forall\,a\in A,\,r\in R\;\bigl(a\,r=r\,a\bigr)</math>).
+<li>Сокращенная запись: <math>f(a)=\bigl(\mathrm{pf}_A(f)\bigr)(a)</math>. Корень <math>a</math> многочлена <math>f</math> в кольце <math>A</math>: <math>f(a)=0</math>. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.
+<p><u>Теорема Безу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math> и <math>r\in R</math>; тогда <math>f\;\mathrm{mod}\;(x-r)=f(r)</math> (и, значит, <math>(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0</math>).</i></p>
+<p><u>Теорема о количестве корней многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности и <math>f\in R[x]\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда <math>|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\le\deg f</math>, а также,<br>если <math>|R|=\infty</math>, то существует такой элемент <math>r\in R</math>, что <math>f(r)\ne0</math> (и, значит, <math>\mathrm{pf}_R</math> — инъекция).</i></p>
+<li><u>Теорема Виета.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо, <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R</math> и <math>x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)</math>; тогда для<br>любых <math>k\in\{0,\ldots,n-1\}</math> выполнено <math>f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}</math> (в частности, <math>f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n</math> и <math>f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)</math>).</i></ul>
-<h5>1.4.2&nbsp; Полилинейные отображения и формы объема</h5>
+<h5>3.3&nbsp; Поле комплексных чисел</h5>
-<ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k;Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}^k(V;Y)</math> и полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k)</math> и <math>\mathrm{Multi}^kV</math>.
+<ul><li>Кольцо комплексных чисел: <math>\mathbb C=\{\alpha+\beta\,\mathrm i\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\}</math>, где <math>\mathrm i^2=-1</math>. Утверждение: <math>\mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1)</math>. Комплексные числа как точки плоскости <math>\mathbb R^2</math>.
-<li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}^kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}^kV</math>.
+<li>Вещественная и мнимая части: <math>\mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\alpha</math> и <math>\mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\beta</math>. Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)\,\mathrm i</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\mathrm{Im}(a)^2}</math>.
-<li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}^kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>, то исключаются импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1) и (3)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1)):<br>(1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i>
+<li><u>Теорема о свойствах комплексных чисел.</u><br><i>(1) Для любых <math>a\in\mathbb C</math> выполнено <math>a\,\overline a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb C</math> — поле).<br>(2) Для любых <math>a,b\in\mathbb C</math> выполнено <math>\overline{a+b}=\overline a+\overline b</math> и <math>\overline{a\,b}=\overline a\,\overline b</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — автоморфизм поля <math>\,\mathbb C</math>).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb C</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
-<li>Пространство форм объема <math>\mathrm{AMulti}^nV</math> (<math>n=\dim V</math>). Форма объема, связанная с базисом: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,(v_1^e)^{u(1)}\!\ldots(v_n^e)^{u(n)}</math>.
+<li>Группа <math>\mathrm S^1</math>: <math>\mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}</math>. Утверждение: <math>\mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1</math>. Экспонента от компл. числа <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
-<li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{AMulti}^nV</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV\setminus\{0\}</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul>
+<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb C</math> выполнено <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>\varphi\in\mathbb R</math> выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i</math> (и, значит, <math>\mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}</math> и <math>\,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z</math>).</i></p>
+<li>Тригонометрическая запись: <math>r\,(\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i)=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>. Группа корней <math>n</math>-й степ. из <math>1</math>: <math>\mathrm C_n\!=\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=1\}=\{1,\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i},\ldots,\mathrm e^{\frac{2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\langle\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i}\rangle</math>.
+<li>Первообразные корни <math>n</math>-й степени из <math>1</math>. Корни <math>n</math>-й степени из <math>r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>: <math>\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\}=\{\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i},\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi}n\mathrm i},\ldots,\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i}\,\mathrm C_n</math>.
+<li>«Основная теорема алгебры»: <math>\mathbb C</math> — алгебраически замкнутое поле, то есть <math>\forall\,f\in\mathbb C[x]\!\setminus\!\mathbb C^\times\;\exists\,a\in\mathbb C\;\bigl(f(a)=0\bigr)</math> (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
+<li><u>Теорема о неприводимых многочленах над полями <b>R</b> и <b>C</b>.</u><br><i>(1) Пусть <math>f\in\mathbb R[x]</math>, <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>f(\alpha+\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,f(\alpha-\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,(x^2-2\alpha\,x+\alpha^2+\beta^2)\,|\,f</math>.<br>(2) <math>\mathrm{Irr}(\mathbb R[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb R,\,a\ne0\}\cup\{a\,x^2+b\,x+c\mid a,b,c\in\mathbb R,\,b^2-4a\,c<0\}</math> и <math>\,\mathrm{Irr}(\mathbb C[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb C,\,a\ne0\}</math>.</i></ul>
-<h5>1.4.3&nbsp; Определитель линейного оператора</h5>
+<h5>3.4&nbsp; Тело кватернионов</h5>
-<ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV\setminus\{0\}</math>. Корректность определения.
+<ul><li>Кольцо кватернионов: <math>\mathbb H=\{\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k\mid\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb R\}</math>, где <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math>, а также <math>\mathrm i\,\mathrm j=-\mathrm j\,\mathrm i=\mathrm k</math>, <math>\mathrm j\,\mathrm k=-\mathrm k\,\mathrm j=\mathrm i</math>, <math>\mathrm k\,\mathrm i=-\mathrm i\,\mathrm k=\mathrm j</math>.
-<li><u>Теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> (напоминание: <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\det(a\circ b)=\det a\cdot\det b</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{GL}(V)&\to K^\times\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является гомоморфизмом групп).</i>
+<li>Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: <math>\mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\alpha</math> и <math>\mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k</math>.
-<li>Определитель матрицы: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\ldots a^{u(n)}_n</math>. Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math></i>.
+<li>Чистые кватернионы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}\!=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}(v)=0\}</math>. Скалярное произвед.-е, векторное произвед.-е, норма в <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math>: <math>(v\!\mid\!w)</math>, <math>v\times w</math>, <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>.
-<li><u>Лемма об определителе оператора и определителе матрицы.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>.</i>
+<li>Утверждение: <i>пусть <math>v,w\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math>; тогда <math>\,v\,w=-(v\!\mid\!w)+v\times w</math></i>. Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\|\mathrm{Im}(a)\|^2}</math>.
-<li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math> и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>.
+<li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(2) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a+b}=\overline a+\overline b</math> и <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм тела <math>\,\mathbb H</math>).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
-<li>Специальные линейные группы: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>.</ul>
+<li>Группа <math>\mathrm S^3</math>: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}</math>. Утверждение: <math>\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3</math>. Экспонента от кватерниона <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
+<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>\varphi\in\mathbb R</math> и таких <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math>, что <math>\|u\|=1</math>, выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid\varphi\in[0;\pi],\,u\in\mathbb H_\mathrm{vect},\,\|u\|=1\}</math>).</i></p>
-<h5>1.4.4&nbsp; Миноры матрицы и присоединенная матрица</h5>
+<li><u>Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</u><br><i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)</math> — поворот на угол <math>\varphi</math> против часовой стрелки вокруг нуля.<br>(1') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).<br>(2) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот на угол <math>2\varphi</math> против час. стрелки вокруг оси с напр. вектором <math>u</math>.<br>(2') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).</i></ul>
-<ul><li>Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^i_j=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнительный минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(j,i)</math><math>\bigr)</math>.
-<li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i,k\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k\Bigr)</math> и <math>\forall\,j,l\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j\Bigr)</math> (в частности,<br>при <math>i=k</math> имеем <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a\Bigr)</math> и при <math>j=l</math> имеем <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a\Bigr)</math>;<br>это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, то <math>a^{-1}=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math>.</i>
-<li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i>
-<li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел<br><math>t\in\mathbb N_0</math>, что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>t\times t</math>, что <math>\det a'\ne0</math>.</i></ul>