Алгебра phys 1 осень 2017 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 12: Строка 12:
 
[1]&nbsp; Э.Б. Винберг. Курс алгебры.<br>
 
[1]&nbsp; Э.Б. Винберг. Курс алгебры.<br>
 
[2]&nbsp; А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.<br>
 
[2]&nbsp; А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.<br>
−
[3]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
+
[3]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.<br>
 +
[4]&nbsp; А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.<br>
 +
[5]&nbsp; Ю.И. Манин. Математика как метафора.
  
 
Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через [http://eek.diary.ru/p57704941.htm сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm].
 
Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через [http://eek.diary.ru/p57704941.htm сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm].
Строка 18: Строка 20:
 
Полезные учебные материалы по алгебре имеются на [http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-1/1314/list.html странице А.Л. Городенцева] и на [http://alexei.stepanov.spb.ru/students/index.html странице А.В. Степанова].<br><br>
 
Полезные учебные материалы по алгебре имеются на [http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-1/1314/list.html странице А.Л. Городенцева] и на [http://alexei.stepanov.spb.ru/students/index.html странице А.В. Степанова].<br><br>
  
−
<font size="3"><b><u>Содержание первой половины первого семестра курса алгебры</u></b></font>
+
<font size="3"><b><u>Содержание первого семестра курса алгебры</u></b></font>
  
−
<h3>1&nbsp; Основы алгебры</h3>
+
<h5>1&nbsp;&nbsp; Множества, отображения, отношения</h5>
 +
<ul><li>1.1&nbsp; Множества<br>
 +
Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над<br>множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
 +
<li>1.2&nbsp; Отображения<br>
 +
Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.<br>Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
 +
<li>1.3&nbsp; Отношения<br>
 +
Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.<br>Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.</ul>
  
−
<h5>1.1&nbsp; Множества, отображения, отношения</h5>
+
<h5>2&nbsp;&nbsp; Группы (часть 1)</h5>
−
<ul><li>1.1.1&nbsp; Множества<br>
+
<ul><li>2.1&nbsp; Множества с операцией<br>
−
<i>Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над<br>множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.</i>
+
Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Обозначения по<br>Минковскому. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
−
<li>1.1.2&nbsp; Отображения<br>
+
<li>2.2&nbsp; Моноиды и группы (основные определения и примеры)<br>
−
<i>Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.<br>Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.</i>
+
Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.<br>Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
−
<li>1.1.3&nbsp; Отношения<br>
+
<li>2.3&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы<br>
−
<i>Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Разбиения. Трансверсали.<br>Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле.</i></ul>
+
Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок<br>элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
 +
<li>2.4&nbsp; Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп<br>
 +
Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.<br>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.</ul>
  
−
<h5>1.2&nbsp; Группы (часть 1)</h5>
+
<h5>3&nbsp;&nbsp; Кольца (часть 1)</h5>
−
<ul><li>1.2.1&nbsp; Множества с операцией<br>
+
<ul><li>3.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с кольцами<br>
−
<i>Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Обозначения по<br>Минковскому. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.</i>
+
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о<br>гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
−
<li>1.2.2&nbsp; Моноиды и группы (основные определения и примеры)<br>
+
<li>3.2&nbsp; Кольца многочленов<br>
−
<i>Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.<br>Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.</i>
+
Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков<br>по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
−
<li>1.2.3&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы<br>
+
<li>3.3&nbsp; Поле комплексных чисел<br>
−
<i>Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок<br>элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.</i>
+
Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента.<br>Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>.
−
<li>1.2.4&nbsp; Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп<br>
+
<li>3.4&nbsp; Тело кватернионов<br>
−
<i>Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.<br>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.</i></ul>
+
Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах<br>кватернионов. Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</ul>
  
−
<h5>1.3&nbsp; Кольца (часть 1)</h5>
+
<h5>4&nbsp;&nbsp; Кольца (часть 2)</h5>
−
<ul><li>1.3.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с кольцами<br>
+
<ul><li>4.1&nbsp; Делимость в коммутативных кольцах<br>
−
<i>Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о<br>гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.</i>
+
Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.<br>Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
−
<li>1.3.2&nbsp; Кольца многочленов<br>
+
<li>4.2&nbsp; Евклидовы кольца и факториальные кольца<br>
−
<i>Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков<br>по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.</i>
+
Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.<br>Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
−
<li>1.3.3&nbsp; Поле комплексных чисел<br>
+
<li>4.3&nbsp; Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера<br>
−
<i>Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\,\mathrm S^1</math>. Экспонента.<br>Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\,\mathbb R</math> и <math>\,\mathbb C</math>.</i>
+
Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. Китайская<br>теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
−
<li>1.3.4&nbsp; Тело кватернионов<br>
+
<li>4.4&nbsp; Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби<br>
−
<i>Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах кватернионов. Группа <math>\,\mathrm S^3</math>.<br>Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</i></ul><br>
+
Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных<br>формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к<br>несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
 +
<li>4.5&nbsp; Матрицы, столбцы, строки<br>
 +
Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,R)</math>. Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.<br>Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.</ul>
  
−
[[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br>
+
<h5>5&nbsp;&nbsp; Группы (часть 2)</h5>
 +
<ul><li>5.1&nbsp; Символ Леви-Чивиты и симметрические группы<br>
 +
Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах<br>знака. Знакопеременные группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы <math>\mathrm S_n</math> образующими и соотношениями.
 +
<li>5.2&nbsp; Определитель матрицы и группы матриц<br>
 +
Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах<br>определителя. Геометрический смысл определителя матрицы. Группа <math>\mathrm{SL}(n,R)</math> и ее геометрический смысл. Группа <math>\mathrm{AGL}(n,R)</math> и ее геометрический<br>смысл. Группы <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm{SO}(n)</math>. Группы <math>\mathrm U(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>. Описание изометрий в <math>\mathbb R^n</math>. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
 +
<li>5.3&nbsp; Действия групп на множествах<br>
 +
Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. <math>G</math>-Множества. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств. Орбиты. Транзитивные<br>действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
 +
<li>5.4&nbsp; Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп<br>
 +
Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов. Коммутант.<br>Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.</ul><br>
  
−
<font size="3"><b><u>Информация о коллоквиуме</u></b></font>
+
[[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры</b></font>]]
  
−
<h5>Вопросы к коллоквиуму по первой половине первого семестра</h5>
+
[[Алгебра_phys_1_ноябрь–декабрь|<font size="3"><b>Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br>
−
<ol><li>Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения.
+
−
<li>Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение.
+
−
<li>Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
+
−
<li>Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества.
+
−
<li>Разбиения. Трансверсали. Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях.
+
−
<li>Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле.
+
−
<li>Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы.
+
−
<li>Теорема о композиции гомоморфизмов. Обозначения по Минковскому. Ассоциативные и коммутативные операции.
+
−
<li>Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
+
−
<li>Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида.
+
−
<li>Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп. Группы изометрий.
+
−
<li>Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
+
−
<li>Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством.
+
−
<li>Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
+
−
<li>Порядок элемента группы. Лемма о порядке элемента.
+
−
<li>Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
+
−
<li>Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством.
+
−
<li>Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
+
−
<li>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями.
+
−
<li>Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
+
−
<li>Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца.
+
−
<li>Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика.
+
−
<li>Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
+
−
<li>Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены.
+
−
<li>Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.
+
−
<li>Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
+
−
<li>Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
+
−
<li>Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел.
+
−
<li>Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
+
−
<li>«Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>.
+
−
<li>Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах кватернионов.
+
−
<li>Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</ol>
+
  
−
<h5>Правила проведения коллоквиума</h5>
+
<font size="3"><b><u>Информация об экзамене</u></b></font>
−
<ul><li>В течение всего времени проведения коллоквиума каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список<br>вопросов к коллоквиуму. Кроме того, рекомендуется принести с собой на коллоквиум конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса, так как их<br>будет можно использовать на коллоквиуме в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
+
 
−
<li>Для каждого студента коллоквиум начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса на специальном<br>столе (далее «стол знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (один номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем<br>начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. В течение подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к<br>столу знаний и кратковременно проконсультироваться с конспектом лекций и<math>/</math>или подробным планом курса.
+
<h5>Вопросы к экзамену по второй половине первого семестра</h5>
 +
<ol><li>Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
 +
<li>Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах.
 +
<li>Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
 +
<li>Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
 +
<li>Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
 +
<li>Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
 +
<li>Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов.
 +
<li>Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
 +
<li>Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
 +
<li>Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
 +
<li>Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к несократимой записи.
 +
<li>Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
 +
<li>Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,R)</math>. Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
 +
<li>Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
 +
<li>Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
 +
<li>Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Знакопеременные группы.
 +
<li>Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы <math>\mathrm S_n</math> образующими и соотношениями.
 +
<li>Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов.
 +
<li>Теорема о свойствах определителя. Геометрический смысл определителя матрицы.
 +
<li>Группа <math>\mathrm{SL}(n,R)</math> и ее геометрический смысл. Группа <math>\mathrm{AGL}(n,R)</math> и ее геометрический смысл. Группы <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm{SO}(n)</math>. Группы <math>\mathrm U(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
 +
<li>Описание изометрий в <math>\mathbb R^n</math>. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
 +
<li>Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия.
 +
<li><math>G</math>-Множества. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств. Орбиты.
 +
<li>Транзитивные действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры.
 +
<li>Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
 +
<li>Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов.
 +
<li>Коммутант. Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп.
 +
<li>Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.</ol>
 +
 
 +
<h5>Правила проведения экзамена</h5>
 +
<ul><li>В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список<br>вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса, так как их будет<br>можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
 +
<li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса на специальном<br>столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 14, второй номер будет от 15 до 28) и затем<br>начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к<br>«столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса.
 
<li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
 
<li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
−
<li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой<br>половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача.
+
<li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй<br>половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
−
<li>При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать стол знаний при подготовке к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul>
+
<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul>

Текущая версия на 00:00, 8 января 2018

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.

Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.

Дополнительная литература

[1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  Ю.И. Манин. Математика как метафора.

Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.

Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.

Содержание первого семестра курса алгебры

1   Множества, отображения, отношения
  • 1.1  Множества
    Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
    множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
  • 1.2  Отображения
    Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
    Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
  • 1.3  Отношения
    Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
    Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
2   Группы (часть 1)
  • 2.1  Множества с операцией
    Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Обозначения по
    Минковскому. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
  • 2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)
    Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
    Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
  • 2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
    Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
    элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
  • 2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
    Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
    Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
3   Кольца (часть 1)
  • 3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами
    Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
    гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
  • 3.2  Кольца многочленов
    Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков
    по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
  • 3.3  Поле комплексных чисел
    Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа . Экспонента.
    Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и .
  • 3.4  Тело кватернионов
    Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах
    кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
4   Кольца (часть 2)
  • 4.1  Делимость в коммутативных кольцах
    Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
    Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
  • 4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
    Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
    Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
  • 4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
    Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. Китайская
    теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
  • 4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
    Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных
    формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к
    несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
  • 4.5  Матрицы, столбцы, строки
    Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
    Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
5   Группы (часть 2)
  • 5.1  Символ Леви-Чивиты и симметрические группы
    Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах
    знака. Знакопеременные группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями.
  • 5.2  Определитель матрицы и группы матриц
    Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах
    определителя. Геометрический смысл определителя матрицы. Группа и ее геометрический смысл. Группа и ее геометрический
    смысл. Группы и . Группы и . Описание изометрий в . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
  • 5.3  Действия групп на множествах
    Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. -Множества. Гомоморфизмы -множеств. Орбиты. Транзитивные
    действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
  • 5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
    Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов. Коммутант.
    Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.

Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры

Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине первого семестра
  1. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
  2. Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах.
  3. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
  4. Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
  5. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
  6. Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
  7. Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов.
  8. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
  9. Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
  10. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
  11. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к несократимой записи.
  12. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
  13. Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
  14. Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
  15. Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
  16. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Знакопеременные группы.
  17. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями.
  18. Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов.
  19. Теорема о свойствах определителя. Геометрический смысл определителя матрицы.
  20. Группа и ее геометрический смысл. Группа и ее геометрический смысл. Группы и . Группы и .
  21. Описание изометрий в . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
  22. Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия.
  23. -Множества. Гомоморфизмы -множеств. Орбиты.
  24. Транзитивные действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры.
  25. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
  26. Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов.
  27. Коммутант. Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп.
  28. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.
Правила проведения экзамена
  • В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список
    вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций иили подробный план курса, так как их будет
    можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
  • Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
    столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 14, второй номер будет от 15 до 28) и затем
    начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
    «столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  • После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
    дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
    половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
  • При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
    использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).
Источник — «http://mit.spbau.ru/sewiki/index.php?title=Алгебра_phys_1_осень_2017&oldid=14414»