Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 46 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
<h2>3&nbsp; Билинейная и полилинейная алгебра</h2>
+
<h2>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</h2>
  
<h3>3.1&nbsp; Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3>
+
<h3>11&nbsp;&nbsp; Линейные операторы (часть 2)</h3>
<h5>3.1.1&nbsp; ¯-Билинейные формы</h5>
+
<h5>11.1&nbsp; Многочлены и ряды от линейных операторов</h5>
<ul><li>Пространство билинейных форм: <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>V=K^n</math>, <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg</math> (<math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math>, <math>s\in V</math>).
+
<ul><li>Эвалюация <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{eval}_a\colon K[x]&\to\mathrm{End}(V)\\f&\mapsto f(a)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором <math>a</math>: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)</math>.
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
+
<li>Минимальный многочлен лин. оператора <math>a</math>: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> нормирован, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}\,\land\,f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>.
<li>Матрица Грама (<math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>): <math>(\sigma_{d,d})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,v_{j_2})</math>. Форма <math>\sigma</math> в координ.-х (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>.
+
<li>Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\,\bigl(a^m=0\bigr)</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a</math> — нильпот. лин. оператор; тогда <math>\chi_a=x^{\dim V}</math></i>.
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
+
<p><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i></p>
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
+
<li>Алгебраическая и безымянная кратности: <math>\alpha(a,c)</math> и <math>\beta(a,c)</math> — кратности <math>c</math> как корня многочлена <math>\chi_a</math> и многочлена <math>\mu_a</math>. Теорема о минимальном многочлене.
<li>Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>.
+
<p><u>Теорема о минимальном многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\mu_a</math> делит <math>\chi_a</math><br>(и, значит, для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le\alpha(a,c)</math>), а также <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mu_a(c)=0\}</math>.</i></p>
<li>Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
+
<li><u>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>f\in K[x]</math>, то <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)</math> (то есть <math>\mathrm{Ker}\,f(a)</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство в <math>V</math>);<br>(2) если <math>f,g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)</math>;<br>(3) если <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]</math> и многочлены <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты, то <math>\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math><br>(и, значит, <math>(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math>).</i>
<li>Изоморфизмы между пр.-вами с формой: <math>\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))\cap\mathrm{Bij}(V,Y)</math> и <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>.</ul>
+
<li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a</math> (<math>\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a</math>). Отражение: <math>a^2=\mathrm{id}_V</math> (<math>\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)</math>, если <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>).
 +
<li>Ряд от лин. оператора <math>a</math> (<math>V</math> — нормир. пр.-во): <math>\sum_{k=0}^\infty f_ka^k</math>. Достат. условие сходимости (<math>V</math> — банах. пр.-во, <math>a\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)</math>): <math>\sum_{k=0}^\infty|f_k|\|a\|^k<\infty</math>.
 +
<li>Экспонента от непрерывного линейн. оператора <math>a</math> в банах. пр.-ве: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
 +
<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — банахово пр.-во; тогда для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)</math> выполнено <math>a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.</i></p></ul>
  
<h5>3.1.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы</h5>
+
<h5>11.2&nbsp; Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора</h5>
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)</math>.
+
<ul><li>Собственные подпространства: <math>V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)</math>; геометрическая кратность: <math>\gamma(a,c)=\dim V_1(a,c)</math>. Лемма о собственных подпространствах.
<li>¯-Квадратичная форма в коорд.: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math>; если <math>\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K</math>, то <math>\kappa(v)</math> — однор. многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
+
<p><u>Лемма о собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>c_1,\ldots,c_k\in K</math> и<br><math>c_1,\ldots,c_k</math> попарно различны; тогда<br>(1) <math>\mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)</math>;<br>(2) если <math>C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_1(a,c_k)</math> и <math>C_1,\ldots,C_k</math> — независимые множества, то <math>C_1\cup\ldots\cup C_k</math> — независимое множество;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>.</i></p>
<li>Поляризация квадратичн. формы <math>\kappa</math> (<math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>): <math>\mathrm{pol}_\kappa(v,w)=\frac{\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)}2=\frac{\kappa(v+w)-\kappa(v-w)}4</math>. Утверждение: <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>.
+
<li><u>Теорема о диагонализации линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(у2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть многочлен <math>\mu_a</math> раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math>);<br>(у3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(у4) <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
<li>Поляризация ¯-квадратичной формы <math>\kappa</math> (<math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathrm{pol}_\kappa(v,w)=\frac{\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)}4</math>. Утверждение: <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>.
+
<li>Обобщенные собственные подпростр.-ва: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j</math>; относительные геометрич. кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math>.
<li><u>Теорема о биекции между билинейными формами и квадратичными формами.</u><br><i>(1) Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>; тогда отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств.<br>(2) Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств.</i>
+
<li><u>Теорема об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)</math> и, если <math>V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)</math>, то <math>V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)</math>;<br>(2) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(3) <math>\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)</math> и <math>V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots</math>.</i>
<li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: множество вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math>, <math>c\in K</math>.
+
<li>Корневые подпространства: <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>. Нильпотентные части линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}</math>.
<li>Примеры гиперповерхностей. Утверждение: <i>пусть <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\lambda\in K_n</math>, <math>c\in K</math> и <math>v\in K^n</math>; тогда <math>\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}c&\lambda\\\lambda^\mathtt T&s\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)</math></i>.</ul>
+
<li><u>Теорема о прямой сумме корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> расклад.-ся в<br>произв.-е многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> в силу алгебр. замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}\!=0</math> (и, значит, <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный линейный оператор) и <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>.</i>
 +
<li>Жорданова клетка: <math>\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathbf e_1^2+\ldots+\mathbf e_{n-1}^n</math>. Пример: если <math>a=\mathrm{jc}_n(c)</math>, то <math>\chi_a=\mu_a=(x-c)^n</math> и <math>\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_j\rangle\bigr)</math>.</ul>
  
<h5>3.1.3&nbsp; Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы</h5>
+
<h5>11.3&nbsp; Жорданова нормальная форма линейного оператора</h5>
<ul><li>Оператор бемоль (опускание индекса): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индекса в координатах: <math>(\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}</math>.
+
<ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во относит.-но <math>U</math>: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во относит.-но <math>U</math>: <math>V=U+\langle D\rangle</math>.
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\flat_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
+
<li>Базис относительно <math>U</math> — независимое и порождающее множ.-во относительно <math>U</math>. Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).
<li>Топологич. невырожденность (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — нормир. вект. пр.-во, <math>\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — биекция.
+
<p><u>Первая теорема об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>U\le V</math> и <math>E\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>E</math> — базис пространства <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(у2) <math>E</math> — независимое множество и <math>V=U\oplus\langle E\rangle</math> (и, значит, если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>|E|=\dim V-\dim U</math>);<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существуют единственные такие <math>u\in U</math> и <math>f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)</math>, что <math>v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e</math>;<br>(у4) <math>E</math> — максимальное независимое множество относительно <math>U</math>;<br>(у5) <math>E</math> — минимальное порождающее множество относительно <math>U</math>.</i></p>
<li>Пример: <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топологич. невырождена (без док.-ва).
+
<p><u>Вторая теорема об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) любое независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math> можно дополнить до базиса в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) из любого порождающего подмножества в <math>V</math> относительно <math>U</math> можно выделить базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>.</i></p>
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>.
+
<li><u>Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math> и<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, а также <math>j\in\mathbb N</math>, <math>V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math>, <math>V_j=\mathrm{Ker}\,a^j</math> и <math>V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}</math>; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V_{j+1}</math> относительно <math>V_j</math>, то <math>a|_C</math> — инъекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_j</math> относительно <math>V_{j-1}</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j</math>.</i>
<li>Нахождение координат вектора при помощи невырожд. формы: <math>v^e=\sigma^{e,e}\!\cdot((\flat_\sigma v)_e)^\mathtt T\!=\sigma^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_n)\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Теорема о базисах и невырожденных формах.
+
<li>Диаграммы Юнга. Жорданов блок: <math>\mathrm{jb}_\Delta(c)</math> — прямая сумма жордановых клеток <math>\mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)</math>, где <math>n_1,\ldots,n_r</math> — длины строк диаграммы Юнга <math>\Delta</math>.
<p><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>d\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i></p>
+
<li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> — относительные геометрич. кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>. Корректность опред.-я.
<li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополн.-е: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
+
<li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в<br>произведение многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> в силу алгебр. замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>);<br>тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — прямая сумма жордановых блоков <math>\,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math> по всем <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>.</i>
<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> , значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul>
+
<li>Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: <math>\sum_{k=0}^\infty f_k\,\mathrm{jc}_n(c)^k=\sum_{l=0}^{n-1}\frac1{l!}\Bigl(\sum_{k=l}^\infty\frac{k!}{(k-l)!}f_kc^{k-l}\Bigr)\,\mathrm{jc}_n(0)^l</math>.
 +
<li>Утверждение: <i><math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>, <math>\mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T</math> и <math>\,\mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T</math>, а также <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(\mathrm e^{\tau\,a})=a\cdot\mathrm e^{\tau\,a}</math></i>. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
 +
<p><u>Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; обозначим через <math>\gamma</math> кривую <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathrm{GL}(n,\mathbb C)\!\\\tau&\mapsto\mathrm e^{\tau\,a}\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) если <math>a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R)</math>, и, если <math>a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C)</math>;<br>(2) если <math>a\in\mathfrak{so}(n)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n)</math>, а также, если <math>a\in\mathfrak u(n)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n)</math>, и, если <math>a\in\mathfrak{su}(n)</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n)</math>.</i></p></ul>
  
<h5>3.1.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
+
<h3>12&nbsp;&nbsp; Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогонал. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{j=1}^n\sigma_{j,j}\,v^j\overline{w^j}</math>.
+
<h5>12.1&nbsp; Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы</h5>
<li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональн. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
+
<ul><li>Группа автоморфизмов простр.-ва с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}</math>.
<li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>;<br>тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i>
+
<li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
+
<p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p>
+
<p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ. такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p>
+
<li>Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U<\infty</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>; тогда <math>\forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)</math></i>.
+
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор<br>матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>m_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\,\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>;<br>(2) <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i>
+
<li>Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва и Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul>
+
 
+
<h3>3.2&nbsp; Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 1)</h3>
+
<h5>3.2.1&nbsp; Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы</h5>
+
<ul><li>Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=-\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>.
+
<li>Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=-\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>.
+
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена (и, значит, <math>V=U\oplus U^\perp</math>)</i>.
+
<li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i>
+
<li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>.
+
<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i>
+
<li><u>Теорема о классификации пространств с формой.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)</math>.</i>
+
<li>Сигнатура формы <math>\sigma</math>: <math>(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)</math>). Классифик.-я кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>
+
 
+
<h5>3.2.2&nbsp; Предгильбертовы пространства</h5>
+
<ul><li>Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: <math>(\,\mid\,)</math>. Примеры: <math>(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w</math>, <math>(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g</math>.
+
<li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>.
+
<li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>.
+
<li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i>
+
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Теорема об ортогональном проектировании. Расст.-е между вектором и подпр.-вом: <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>.
+
<p><u>Теорема об ортогональном проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство, <math>U\le V</math> и <math>\dim U<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math> и <math>u\in U\!\setminus\!\{\mathrm{proj}_U(v)\}</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))<\mathrm{dist}(v,u)</math> (и, значит, <math>\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))=\min\{\mathrm{dist}(v,u)\mid u\in U\}</math>);<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это неравенство Бесселя).</i></p>
+
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
+
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>.
+
<li>Псевдоевклидово<math>\,/\,</math>псевдоунитарное пр.-во сигнатуры <math>(p,q)</math> — кон.-мерн. вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math> с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры <math>(p,q)</math>.</ul>
+
 
+
<h3>3.3&nbsp; Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>
+
<h5>3.3.1&nbsp; Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы</h5>
+
<ul><li>Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}</math>.
+
 
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, или <math>K=\mathbb C</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(v))=\sigma(v,v)\bigr)\}</math></i>.
 
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, или <math>K=\mathbb C</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(v))=\sigma(v,v)\bigr)\}</math></i>.
<li>Ортогональная группа (<math>V</math> — в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. Унитарная группа (<math>V</math> — в. пр. над <math>\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>.
+
<li>Ортогональная группа (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>; унитарная группа (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>.
<li><u>Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.</u><br><i>(1) Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}</math> и, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то условие "<math>\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)</math>" можно убрать.<br>(2) Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.<br>(2) Пусть <math>V</math> — псевдоунитарное пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i>
+
<li><u>Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.</u><br><i>(1) Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}</math> и, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то условие "<math>\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)</math>" можно убрать.<br>(2) Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.<br>(3) Пусть <math>V</math> — псевдоунитарное пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i>
<li>Матричные ортогонал. группы: <math>\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)</math>, <math>\mathrm O(n)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)</math>.
+
<li>Матричные ортогонал. группы: <math>\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)</math>, <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm{SO}(n)</math>.
<li>Матричные унитарные группы: <math>\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)</math>, <math>\mathrm U(n)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
+
<li>Матричные унитарные группы: <math>\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)</math>, <math>\mathrm U(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\-\overline b&\overline a\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a,b\in\mathbb C,\,|a|^2\!+|b|^2\!=1\bigr\}</math>.
+
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math> и <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}</math>.
 
<li>Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: <math>\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}</math>. Теорема об описании изометрий.
 
<li>Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: <math>\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}</math>. Теорема об описании изометрий.
<p><u>Теорема об описании изометрий.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>; тогда<br>(1) <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)</math>;<br>(2) обозначая через <math>G</math>, <math>F</math> и <math>H</math> группу <math>\,\mathrm{Isom}(V)</math> и ее подгруппы <math>\{\bigl(v\mapsto v+v_0\bigr)\mid v_0\in V\}</math> и <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}</math> соответственно, имеем<br>следующие факты: <math>F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}</math>, <math>G=F\circ H</math> и <math>\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>, а также <math>F\cong V^+\!</math> (и, значит, <math>\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)</math>).</i></p></ul>
+
<p><u>Теорема об описании изометрий.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>; тогда <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)</math>, а также,<br>обозначая через <math>G</math>, <math>F</math> и <math>H</math> группу <math>\,\mathrm{Isom}(V)</math> и ее подгруппы <math>\{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}</math> и <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}</math> соответственно, имеем следующие<br>факты: <math>F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}</math>, <math>G=F\circ H</math>, <math>\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math> и <math>F\cong V^+\!</math> (и, значит, <math>\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)</math>).</i></p></ul>
  
<h5>3.3.2&nbsp; Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы</h5>
+
<h5>12.2&nbsp; Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы</h5>
<ul><li>Пр.-во симметричных операторов: <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
+
<ul><li>Простр.-во симметричных операторов: <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
<li>Пр.-во антисимм. операторов: <math>\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
+
<li>Простр.-во антисимм. операторов: <math>\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
<li>Мн.-во положительно опред. операторов (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}</math>.
+
<li>Множество полож. определенных операторов (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}</math>.
<li>Пример: <math>V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}</math>, <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,</math> и <math>a\,\colon f\mapsto-f''</math>; тогда <math>a</math> — положит. определ. оператор.
+
<li>Пример: <math>V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}</math>, <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,</math> и <math>a\,\colon f\mapsto-f''</math>; тогда <math>a</math> — полож. определенный оператор.
<li>Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>).
+
<li>Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>).
 
<li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
 
<li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
<p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}</math>, <math>\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}</math>;<br>(3) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, то для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>a^{**}\!=a</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>.</i></p>
+
<p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math> (и, значит, отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> —<br>¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>), а также <math>a^{**}\!=a</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}</math>.</i></p>
 
<p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp</math>, а также <math>\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}</math>.</i></p>
 
<p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp</math>, а также <math>\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}</math>.</i></p>
<li>Форма, связанная с линейн. оператором <math>a</math>: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math>. Форма <math>\sigma_a</math> в коорд.: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. Лемма о форме, связанной с оператором.
+
<li>Множество нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>.
<p><u>Лемма о форме, связанной с оператором.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда<br>(1) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}</math>;<br>(3) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}</math>.</i></p>
+
<li>Форма, связанная с линейным оператором <math>a</math>: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math>. Форма <math>\sigma_a</math> в коорд.: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. Лемма о форме, связанной с оператором.
<li>Мн.-во нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>.</ul>
+
<p><u>Лемма о форме, связанной с оператором.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}</math>;<br>(3) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}</math>.</i></p></ul>
  
<h5>3.3.3&nbsp; Спектральная теория в унитарных пространствах</h5>
+
<h5>12.3&nbsp; Спектральная теория в унитарных пространствах</h5>
<ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br>для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>, а также для любых таких <math>c,c'\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne c'</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
+
<ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда для любых<br><math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>, а также для любых таких <math>c,c'\!\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne c'</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
 
<li><u>Спектральная теорема для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
 
<li><u>Спектральная теорема для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
 
 
<li><u>Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
 
<li><u>Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
<li>Ортогональный проектор: <math>p^2=p\,\land\,p^*\!=p\;\Leftrightarrow\,\exists\,U\le V\;\bigl(p=\mathrm{proj}_U\!\bigr)</math>. Спектральное разложение нормального оператора <math>a</math>: <math>a=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!c\cdot\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}</math>.
+
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Теорема о собственных числах и собственных векторах автоморфизмов, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.</u><br><i>(1) Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math><br>оператора <math>a</math> выполнено <math>a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также<br>для любых двух различных собственных чисел <math>c</math> и <math>c'</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.<br>(2) Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math> и <math>a\in\mathrm O(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math><br>оператора <math>a</math> выполнено <math>a\in\mathrm O(V)\,\Rightarrow\,c\in\{1,-1\}</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c=0</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также для любых двух различных<br>собственных чисел <math>c</math> и <math>c'</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
+
<li><u>Теорема о спектральном разложении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пр.-во и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; для любых <math>c\in\mathbb C</math> обозначим через <math>\,p_c</math> оператор <math>\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>c,c'\!\in\mathbb C</math>, что <math>c\ne c'</math>, выполнено <math>\,p_c^2=p_c=p_c^*\,</math> и <math>\,p_c\!\circ p_{c'}=0</math>, а также <math>|\{c\in\mathbb C\mid p_c\ne0\}|<\infty</math>, <math>\mathrm{id}_V=\sum_{c\in\mathbb C}p_c</math> и <math>a=\sum_{c\in\mathbb C}c\,p_c</math>;<br>(2) если для любых <math>c\in\mathbb C</math> заданы операторы <math>\,p_c'\in\mathrm{End}(V)</math>, удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых <math>c\in\mathbb C</math> выполнено <math>\,p_c'=p_c</math>.</i>
 +
<li><u>Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math> оператора <math>a</math><br>выполнено <math>a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также для любых различных<br>собственных чисел <math>c</math> и <math>c'</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
 
<li>Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).</ul>
 
<li>Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).</ul>
  
<h5>3.3.4&nbsp; Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5>
+
<h5>12.4&nbsp; Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5>
<ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица — блочно-диагональная матрица над полем <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
+
<ul><li>Препятствия к диагонализ.-и над <math>\mathbb R</math>. <math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над <math>\mathbb R</math> с блоками разм. <math>1\!\times\!1</math> и блоками <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
<li><math>\mathbb C</math>-Спектр линейного оператора <math>a</math> в конечномерном пр.-ве над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Пример: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math>.
+
<li><math>\mathbb C</math>-Спектр линейного оператора <math>a</math> в конечномерном вект. пр.-ве над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Пример: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math>.
 
<li><u>Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\subseteq U</math> и, если <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>, то <math>a^*(U)\subseteq U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
 
<li><u>Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\subseteq U</math> и, если <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>, то <math>a^*(U)\subseteq U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
 
<li><u>Спектральная теорема для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
 
<li><u>Спектральная теорема для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
 
 
<li><u>Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
 
<li><u>Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
<li><u>Усиленная теорема Лагранжа для евклидовых и унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>\tau\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>\tau_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>).</i>
+
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\dim V=3</math>, <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>, <math>a\ne\mathrm{id}_V</math>, <math>U=V_1(a,1)</math> и <math>b=a|_{U^\perp\to U^\perp}</math>; тогда<br><math>\dim U=1</math>, <math>b\in\mathrm{SO}(U^\perp)</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>a(v)=\mathrm{proj}_U(v)+b\bigl(v-\mathrm{proj}_U(v)\bigr)</math> (и, значит, <math>a</math> — оператор вращения вокруг оси <math>U</math>).</i></ul>
+
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во с ориентацией, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>; тогда существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и<br><math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math> (и, значит, <math>a</math> — оператор поворота на угол <math>\varphi</math> против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором <math>e_1</math>).</i>
 +
<li><u>Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во, <math>\tau\in\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>a</math> — лин. оператор, соответств.<br>форме <math>\tau</math> относит.-но изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto(\,\mid\,)_a\end{align}\!\biggr)</math> (то есть <math>\forall\,v,w\in V\;\bigl((a(v)\!\mid\!w)=\tau(v,w)\bigr)</math>); тогда в <math>V</math> сущ.-т ортонормированный базис,<br>ортогональный относит.-но формы <math>\tau</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>), а также <math>\{\tau(v,v)\mid v\in V,\,\|v\|=1\}=[\min\mathrm{Spec}(a);\max\mathrm{Spec}(a)]</math>.</i></ul>
 +
 
 +
<h5>12.5&nbsp; Специальная ортохронная группа Лоренца</h5>
 +
<ul><li>Движение со скоростью света: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R^4\\\tau&\mapsto\tau\,p+q\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>\,p^\mathtt T\eta\,p=0</math> (<math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>). Теорема о сохранении скорости света. Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)</math>.
 +
<p><u>Теорема о сохранении скорости света.</u><br><i>Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{GL}(4,\mathbb R)</math>; тогда след. утверждения эквивалентны: (у1) <math>\forall\,p\in\mathbb R^4\,\bigl(p^\mathtt T\eta\,p=0\,\Leftrightarrow(\Lambda\,p)^\mathtt T\eta\,(\Lambda\,p)=0\bigr)</math> и (у2) <math>\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=c\,\eta</math>, где <math>c=(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0</math>.</i></p>
 +
<li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>v,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>b=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,b^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,b^\mathtt Tb-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det b</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det b))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}</math>.</i>
 +
<li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>.
 +
<li>Пр.-во Минковского — псевдоевклид. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (опр.-е не зависит от выбора базиса).
 +
<li>Спинорная модель пространства Минковского: <math>\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math>. Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>.
 +
<li>Матрицы Паули: <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>. Утверждение: <i><math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k</math>, <math>\mathrm{tr}(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math> и <math>[\sigma_i,\sigma_j]=\sum_{k=1}^32\,\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k</math></i>.
 +
<li><u>Теорема о спинорной модели пространства Минковского.</u><br><i>(1) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> определяет на <math>\mathcal M</math> структуру пространства Минковского, и <math>(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)</math>.<br>(2) Сужение на <math>\mathcal E</math> формы из пункта (1), взятое с противопол. знаком, определяет на <math>\mathcal E</math> структуру евклидова пространства, и <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)</math>.<br>(3) Для любых <math>\varphi\in\mathbb R</math> и таких <math>u\in\mathcal E</math>, что <math>\|u\|=1</math>, выполнено <math>u^2=\mathrm{id}_2</math>, <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,</math> и <math>\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u</math>.</i>
 +
<li><u>Теорема о бустах и поворотах.</u> <i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathcal E</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — буст с быстротой <math>2\varphi</math> вдоль оси с направляющим<br>вектором <math>u</math>, а также <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот на угол <math>2\varphi</math> вокруг оси с направляющим вектором <math>u</math> (эскиз доказательства).<br>(2) Спинорные представления <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизмы групп (без док.-ва).</i></ul>
 +
 
 +
<h3>13&nbsp;&nbsp; Многообразия (часть 1)</h3>
 +
<h5>13.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с многообразиями</h5>
 +
<ul><li><math>n</math>-Мерная система координат на топол. пр.-ве <math>M</math> — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в <math>M</math> и <math>\mathbb R^n</math>; отн.-е согласованности: <math>\tilde\xi\circ\xi^{-1}</math> — диффеоморфизм.
 +
<li><math>n</math>-Мерный атлас на <math>M</math> — множество попарно согласованных <math>n</math>-мерных систем координат на <math>M</math>, области определения которых покрывают <math>M</math>. Примеры.
 +
<li><math>n</math>-Мерное многообразие <math>M</math> — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во <math>M</math> с максимальным <math>n</math>-мерным атласом <math>\mathcal A</math>. Примеры: <math>\mathbb R^n</math>, откр. мн.-ва в <math>\mathbb R^n</math>, <math>\mathrm S^n</math>.
 +
<li>Отобр. <math>\varphi</math> между многообр. <math>M</math> и <math>P</math> гладкое в <math>m</math>, если существ. такие <math>\xi\in\mathcal A</math> и <math>\rho\in\mathcal D</math>, что <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi</math>, <math>\varphi(m)\in\mathrm{Dom}\,\rho</math> и отобр. <math>\rho\circ\varphi\circ\xi^{-1}\!</math> гладкое в <math>\xi(m)</math>.
 +
<li>Утверждение: <i>гладкость отображения не зависит от выбора систем координат</i>. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми <math>M</math> и <math>P</math>: <math>\mathrm C^\infty\!(M,P)</math>.
 +
<li><math>\mathrm{Curv}_m(M)=\!\!\!\bigcup_{\alpha\in[-\infty;0),\,\beta\in(0;\infty]}\!\!\!\{\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)\mid\gamma(0)=m\}</math> — множество кривых, проходящих через <math>m</math>. <math>\mathrm C^\infty\!(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> — <math>\mathbb R</math>-алгебра функций.
 +
<li>Скорость кривой в координатах (<math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)</math>, <math>\tau\in(\alpha;\beta)</math>): <math>\dot\gamma(\tau)^\xi=(\xi\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(\tau)\in\mathbb R^n</math>; <math>i</math>-я компонента скорости: <math>(\dot\gamma(\tau)^\xi)^i=\bigl((\xi\circ\gamma)^i\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(\tau)=\dot\gamma(\tau)^i</math>.
 +
<li>Матрица Якоби замены коорд.: <math>\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)=\mathrm d(\tilde\xi\circ\xi^{-1})(\xi(m))</math>; <math>(i,k)</math>-я компон.: <math>\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)_k^i=\frac{\partial(\tilde\xi\circ\xi^{-1})^i}{\partial x^k}(\xi(m))=\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))</math>. Лемма о замене координат.
 +
<p><u>Лемма о замене координат.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math>, <math>m\in M</math>, <math>\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, <math>\xi,\tilde\xi\in\mathcal A</math> и <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi\cap\mathrm{Dom}\,\tilde\xi</math>; тогда<br>(1) <math>\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)\cdot\dot\gamma(0)^\xi</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\dot\gamma(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,\dot\gamma(0)^k\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(2) <math>\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\,\Leftrightarrow\,\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\tilde\xi\!</math> (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).</i></p></ul>
 +
 
 +
<h5>13.2&nbsp; Касательные пространства и кокасательные пространства</h5>
 +
<ul><li>Отнош.-е касания в <math>m</math> (<math>\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>): <math>\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A\;\bigl(m\in\mathrm{Dom}\,\xi\,\land\,\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\bigr)</math>. Инвариантная скорость: <math>\dot\gamma(0)=[\gamma]_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\!\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>.
 +
<li>Касательное простр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Базисные векторы, определяемые координатами: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\,\mathbf e_i)\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(0)</math>.
 +
<li>Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат на <math>M</math>: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,v^k</math> и <math>\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\xi(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)</math>.
 +
<p><u>Теорема о касательных пространствах.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math>, <math>m\in M</math>, <math>\xi\in\mathcal A</math> и <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\dot\gamma(0)</math>, и обозначая через <math>v^\xi</math> столбец <math>\dot\gamma(0)^\xi</math>, имеем следующий факт:<br>столбец <math>v^\xi</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\v&\mapsto v^\xi\end{align}\!\biggr)</math> — биекция; определим на <math>\,\mathrm T_mM</math> структуру вект. простр.-ва над <math>\,\mathbb R</math> так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом<br>вект. простр.-в (то есть <math>\forall\,v,w\in\mathrm T_mM,\,c,d\in\mathbb R\;\bigl((c\,v+d\,w)^\xi=c\,v^\xi+d\,w^\xi\bigr)</math>); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;<br>(3) <math>\Bigl(\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OB}(\mathrm T_mM)</math>, и для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> выполнено <math>v=\sum_{i=1}^n(v^\xi)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> (это разложение по базису в <math>\,\mathrm T_mM</math>).</i></p>
 +
<li>Кокасательное пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T^*_mM=(\mathrm T_mM)^*</math>. Базисные ковекторы, опред. координатами: <math>\mathrm dx^j(m)=\Bigl(\frac\partial{\partial x^j}(m)\Bigr)^{\!*}</math>. Строка координат ковектора: <math>\lambda_\xi</math>.
 +
<li>Разложение по базису в <math>\mathrm T^*_mM</math>: <math>\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_\xi)_j\,\mathrm dx^j(m)</math>. Преобр.-я при замене координат: <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\xi(m))\,\lambda_l</math> и <math>\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\xi(m))\,\mathrm dx^l(m)</math>.
 +
<li><u>Теорема о дифференциале функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>m\in M</math> и <math>f\in\mathrm C^\infty\!(M)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\dot\gamma(0)</math>, и обозначая через <math>(\mathrm df(m))(v)</math> число <math>(f\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(0)</math>, имеем следующий<br>факт: число <math>(\mathrm df(m))(v)</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> и таких <math>\xi\in\mathcal A</math>, что <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi</math>, выполнено <math>(\mathrm df(m))(v)=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\cdot v^\xi</math>;<br>(3) обозначая через <math>\mathrm df(m)</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\v&\mapsto(\mathrm df(m))(v)\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm df(m)\in\mathrm T^*_mM</math>.</i>
 +
<li>Дифференциал функции в коорд. (<math>f\in\mathrm C^\infty\!(M)</math>): <math>\mathrm df(m)_\xi=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\in\mathbb R_n</math>; <math>j</math>-я компон. дифф.-ла: <math>(\mathrm df(m)_\xi)_j=\frac{\partial(f\circ\xi^{-1})}{\partial x^j}(\xi(m))=\partial_jf(m)</math>.
 +
<li>Произв. Ли функции вдоль вект.: <math>\mathcal L_vf(m)=(\mathrm df(m))(v)</math>. Пример: <math>\mathcal L_{\frac\partial{\partial x^i}(m)}f(m)=\partial_if(m)</math>. Утверждение: <math>\mathcal L_v(fg)(m)=\mathcal L_vf(m)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_vg(m)</math>.</ul>

Текущая версия на 15:00, 15 марта 2019

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11   Линейные операторы (часть 2)

11.1  Многочлены и ряды от линейных операторов
  • Эвалюация — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором : .
  • Минимальный многочлен лин. оператора : , нормирован, ; .
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: . Утверждение: пусть — нильпот. лин. оператор; тогда .

    Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .

  • Алгебраическая и безымянная кратности: и — кратности как корня многочлена и многочлена . Теорема о минимальном многочлене.

    Теорема о минимальном многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда делит
    (и, значит, для любых выполнено ), а также .

  • Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) если , то (то есть -инвариантное подпространство в );
    (2) если и делит , то ;
    (3) если , и многочлены попарно взаимно просты, то
    (и, значит, ).
  • Проектор (идемпотент): (). Отражение: (, если ).
  • Ряд от лин. оператора ( — нормир. пр.-во): . Достат. условие сходимости ( — банах. пр.-во, ): .
  • Экспонента от непрерывного линейн. оператора в банах. пр.-ве: . Пример: . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    Пусть — банахово пр.-во; тогда для любых выполнено , а также и .

11.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
  • Собственные подпространства: ; геометрическая кратность: . Лемма о собственных подпространствах.

    Лемма о собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
    попарно различны; тогда
    (1) ;
    (2) если и — независимые множества, то — независимое множество;
    (3) если , то для любых выполнено .

  • Теорема о диагонализации линейных операторов. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (у2) (то есть многочлен раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в );
    (у3) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора );
    (у4) .
  • Обобщенные собственные подпростр.-ва: ; относительные геометрич. кратности: .
  • Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено и, если , то ;
    (2) для любых выполнено ;
    (3) и .
  • Корневые подпространства: . Нильпотентные части линейного оператора : .
  • Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и многочлен расклад.-ся в
    произв.-е многочленов степени в (если , то это условие выполнено для любых в силу алгебр. замкнутости поля ); тогда
    (1) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора );
    (2) для любых выполнено (и, значит, — нильпотентный линейный оператор) и .
  • Жорданова клетка: . Пример: если , то и .
11.3  Жорданова нормальная форма линейного оператора
  • — независимое мн.-во относит.-но : . — порождающее мн.-во относит.-но : .
  • Базис относительно — независимое и порождающее множ.-во относительно . Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

    Первая теорема об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) — базис пространства относительно ;
    (у2) — независимое множество и (и, значит, если , то );
    (у3) для любого вектора существуют единственные такие и , что ;
    (у4) — максимальное независимое множество относительно ;
    (у5) — минимальное порождающее множество относительно .

    Вторая теорема об относительных базисах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
    (2) из любого порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .

  • Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем и
    , а также , , и ; тогда
    (1) если — независимое подмножество в относительно , то — инъекция и — независимое подмножество в относительно ;
    (2) если , то .
  • Диаграммы Юнга. Жорданов блок: — прямая сумма жордановых клеток , где — длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы — относительные геометрич. кратности . Корректность опред.-я.
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и многочлен раскладывается в
    произведение многочленов степени в (если , то это условие выполнено для любых в силу алгебр. замкнутости поля );
    тогда существует такой упорядоченный базис , что — прямая сумма жордановых блоков по всем .
  • Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: .
  • Утверждение: , и , а также . Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.

    Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть и ; обозначим через кривую ; тогда
    (1) если , то , и, если , то ;
    (2) если , то , а также, если , то , и, если , то .

12   Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
  • Группа автоморфизмов простр.-ва с ¯-билинейной формой: .
  • Утверждение: пусть и , или и ; тогда .
  • Ортогональная группа ( — вект. пр. над , ): ; унитарная группа ( — вект. пр. над , ): .
  • Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
    (1) Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , , , и ; тогда
    и, если форма невырождена, то условие "" можно убрать.
    (2) Пусть — псевдоевклидово пространство сигнатуры и ; тогда .
    (3) Пусть — псевдоунитарное пространство сигнатуры и ; тогда .
  • Матричные ортогонал. группы: , , и .
  • Матричные унитарные группы: , , и .
  • Примеры: , и .
  • Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: . Теорема об описании изометрий.

    Теорема об описании изометрий. Пусть — предгильбертово пространство над полем ; тогда , а также,
    обозначая через , и группу и ее подгруппы и соответственно, имеем следующие
    факты: , , и (и, значит, ).

12.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
  • Простр.-во симметричных операторов: ; условие в коорд.: .
  • Простр.-во антисимм. операторов: ; условие в коорд.: .
  • Множество полож. определенных операторов (, или ): .
  • Пример: , и ; тогда — полож. определенный оператор.
  • Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору ( невырождена): ().
  • Сопряженный оператор в координатах: . Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.

    Теорема о свойствах сопряжения. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , и форма невырождена; тогда
    (1) для любых и выполнено , и (и, значит, отобр.-е
    ¯-антиэндоморфизм -алгебры ), а также и ;
    (2) , и .

    Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , форма невырождена,
    и ; тогда , а также и .

  • Множество нормальных операторов ( невырождена): ; условие в коорд. (): .
  • Форма, связанная с линейным оператором : . Форма в коорд.: . Лемма о форме, связанной с оператором.

    Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) если форма невырождена, то отображение — изоморфизм векторных пространств;
    (2) и ;
    (3) если или , то .

12.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
  • Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда для любых
    выполнено , а также для любых таких , что , выполнено .
  • Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
    (1) — диагональная матрица;
    (2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
    (4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
    , , , .
  • Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть и ; тогда
    (1) — диагональная матрица;
    (2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
    (4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Теорема о спектральном разложении. Пусть — унитарное пр.-во и ; для любых обозначим через оператор ; тогда
    (1) для любых таких , что , выполнено и , а также , и ;
    (2) если для любых заданы операторы , удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых выполнено .
  • Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
    Пусть — предгильбертово пространство над полем и ; тогда для любого собственного числа оператора
    выполнено , , , , а также для любых различных
    собственных чисел и оператора выполнено .
  • Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).
12.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах
  • Препятствия к диагонализ.-и над . -Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над с блоками разм. и блоками , где и .
  • -Спектр линейного оператора в конечномерном вект. пр.-ве над : . Пример: .
  • Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
    (1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
    (2) если , то для любых выполнено .
  • Спектральная теорема для евклидовых пространств. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
    (1) -диагональная матрица;
    (2) -диагон. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица;
    (4) -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
    , , , .
  • Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть и ; тогда
    (1) -диагональная матрица;
    (2) -диагон. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали;
    (3) — диагональная матрица;
    (4) -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали;
    (5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали.
  • Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пр.-во с ориентацией, и ; тогда существуют такие и
    , что (и, значит, — оператор поворота на угол против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором ).
  • Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пр.-во, и — лин. оператор, соответств.
    форме относит.-но изоморфизма (то есть ); тогда в сущ.-т ортонормированный базис,
    ортогональный относит.-но формы (то есть ), а также .
12.5  Специальная ортохронная группа Лоренца
  • Движение со скоростью света: , где (). Теорема о сохранении скорости света. Матричная группа Лоренца: .

    Теорема о сохранении скорости света.
    Пусть ; тогда след. утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) , где .

  • Теорема о матричной группе Лоренца.
    (1) Пусть ; тогда , а также .
    (2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
    , () и ; тогда , а также
    и .
    (3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
    (4) Обозначая через ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: и .
  • Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
  • Пр.-во Минковского — псевдоевклид. пр.-во сигнатуры ; (опр.-е не зависит от выбора базиса).
  • Спинорная модель пространства Минковского: . Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: .
  • Матрицы Паули: , , . Утверждение: , и .
  • Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
    (1) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
    (2) Сужение на формы из пункта (1), взятое с противопол. знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и .
    (3) Для любых и таких , что , выполнено , и .
  • Теорема о бустах и поворотах. (1) Пусть , и ; тогда — буст с быстротой вдоль оси с направляющим
    вектором , а также — поворот на угол вокруг оси с направляющим вектором (эскиз доказательства).
    (2) Спинорные представления и — изоморфизмы групп (без док.-ва).

13   Многообразия (часть 1)

13.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями
  • -Мерная система координат на топол. пр.-ве — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в и ; отн.-е согласованности: — диффеоморфизм.
  • -Мерный атлас на — множество попарно согласованных -мерных систем координат на , области определения которых покрывают . Примеры.
  • -Мерное многообразие — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во с максимальным -мерным атласом . Примеры: , откр. мн.-ва в , .
  • Отобр. между многообр. и гладкое в , если существ. такие и , что , и отобр. гладкое в .
  • Утверждение: гладкость отображения не зависит от выбора систем координат. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми и : .
  • — множество кривых, проходящих через . -алгебра функций.
  • Скорость кривой в координатах (, ): ; -я компонента скорости: .
  • Матрица Якоби замены коорд.: ; -я компон.: . Лемма о замене координат.

    Лемма о замене координат. Пусть — многообразие, , , , и ; тогда
    (1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
    (2) (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).

13.2  Касательные пространства и кокасательные пространства
  • Отнош.-е касания в (): . Инвариантная скорость: .
  • Касательное простр.-во в точке : . Базисные векторы, определяемые координатами: .
  • Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат на : и .

    Теорема о касательных пространствах. Пусть — многообразие, , , и ; тогда
    (1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через столбец , имеем следующий факт:
    столбец не зависит от выбора кривой ;
    (2) отображение — биекция; определим на структуру вект. простр.-ва над так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом
    вект. простр.-в (то есть ); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;
    (3) , и для любых выполнено (это разложение по базису в ).

  • Кокасательное пр.-во в точке : . Базисные ковекторы, опред. координатами: . Строка координат ковектора: .
  • Разложение по базису в : . Преобр.-я при замене координат: и .
  • Теорема о дифференциале функции. Пусть — многообразие, и ; тогда
    (1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через число , имеем следующий
    факт: число не зависит от выбора кривой ;
    (2) для любых и таких , что , выполнено ;
    (3) обозначая через отображение , имеем следующий факт: .
  • Дифференциал функции в коорд. (): ; -я компон. дифф.-ла: .
  • Произв. Ли функции вдоль вект.: . Пример: . Утверждение: .