Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Текущая версия на 15:00, 15 марта 2019

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11   Линейные операторы (часть 2)

11.1  Многочлены и ряды от линейных операторов

• Эвалюация ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)}$.
• Минимальный многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mu _{a}(a)=0}$, ${\displaystyle \mu _{a}}$ нормирован, ${\displaystyle \deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}}$; ${\displaystyle (\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]}$.
• Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: ${\displaystyle \exists\,m\in\mathbb N_0\,\bigl(a^m=0\bigr)}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a}$ — нильпот. лин. оператор; тогда ${\displaystyle \chi _{a}=x^{\dim V}}$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \chi _{a}(a)=0}$.

• Алгебраическая и безымянная кратности: ${\displaystyle \alpha (a,c)}$ и ${\displaystyle \beta (a,c)}$ — кратности ${\displaystyle c}$ как корня многочлена ${\displaystyle \chi _{a}}$ и многочлена ${\displaystyle \mu _{a}}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \mu _{a}}$ делит ${\displaystyle \chi _{a}}$
  (и, значит, для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \beta (a,c)\leq \alpha (a,c)}$), а также ${\displaystyle \,\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}}$.

• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle f\in K[x]}$, то ${\displaystyle a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)}$ (то есть ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,f(a)}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантное подпространство в ${\displaystyle V}$);
  (2) если ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ и ${\displaystyle f}$ делит ${\displaystyle g}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)}$;
  (3) если ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle f_1,\ldots,f_k\in K[x]}$ и многочлены ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ попарно взаимно просты, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$
  (и, значит, ${\displaystyle (f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$).
• Проектор (идемпотент): ${\displaystyle a^{2}=a}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a}$). Отражение: ${\displaystyle a^2=\mathrm{id}_V}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)}$, если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$).
• Ряд от лин. оператора ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle V}$ — нормир. пр.-во): ${\displaystyle \sum_{k=0}^\infty f_ka^k}$. Достат. условие сходимости (${\displaystyle V}$ — банах. пр.-во, ${\displaystyle a\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)}$): ${\displaystyle \sum_{k=0}^\infty|f_k|\|a\|^k<\infty}$.
• Экспонента от непрерывного линейн. оператора ${\displaystyle a}$ в банах. пр.-ве: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}}$. Пример: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\varphi \\\varphi &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}\!={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  Пусть ${\displaystyle V}$ — банахово пр.-во; тогда для любых ${\displaystyle a,b\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)}$ выполнено ${\displaystyle a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!}$ и ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}}$.

11.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

• Собственные подпространства: ${\displaystyle V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)}$; геометрическая кратность: ${\displaystyle \gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)}$. Лемма о собственных подпространствах.

  Лемма о собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k\in K}$ и
  ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k}$ попарно различны; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)}$;
  (2) если ${\displaystyle C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_1(a,c_k)}$ и ${\displaystyle C_1,\ldots,C_k}$ — независимые множества, то ${\displaystyle C_1\cup\ldots\cup C_k}$ — независимое множество;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)}$.

• Теорема о диагонализации линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица;
  (у2) ${\displaystyle \mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)}$ (то есть многочлен ${\displaystyle \mu _{a}}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в ${\displaystyle K[x]}$);
  (у3) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (у4) ${\displaystyle \dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)}$.
• Обобщенные собственные подпростр.-ва: ${\displaystyle V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j}$; относительные геометрич. кратности: ${\displaystyle \gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)}$.
• Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle c\in K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)}$ и, если ${\displaystyle V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)}$, то ${\displaystyle V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle \beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)}$;
  (3) ${\displaystyle \{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)}$ и ${\displaystyle V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots}$.
• Корневые подпространства: ${\displaystyle V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)}$. Нильпотентные части линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}}$.
• Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ расклад.-ся в
  произв.-е многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ в силу алгебр. замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда
  (1) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (2) для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}\!=0}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm {nil} (a,c)}$ — нильпотентный линейный оператор) и ${\displaystyle \dim V(a,c)=\alpha (a,c)}$.
• Жорданова клетка: ${\displaystyle \mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathbf e_1^2+\ldots+\mathbf e_{n-1}^n}$. Пример: если ${\displaystyle a=\mathrm{jc}_n(c)}$, то ${\displaystyle \chi_a=\mu_a=(x-c)^n}$ и ${\displaystyle \forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_j\rangle\bigr)}$.

11.3  Жорданова нормальная форма линейного оператора

• ${\displaystyle C}$ — независимое мн.-во относит.-но ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle \forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)}$. ${\displaystyle D}$ — порождающее мн.-во относит.-но ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle V=U+\langle D\rangle}$.
• Базис относительно ${\displaystyle U}$ — независимое и порождающее множ.-во относительно ${\displaystyle U}$. Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

  Первая теорема об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U\leq V}$ и ${\displaystyle E\subseteq V}$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) ${\displaystyle E}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (у2) ${\displaystyle E}$ — независимое множество и ${\displaystyle V=U\oplus \langle E\rangle }$ (и, значит, если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle |E|=\dim V-\dim U}$);
  (у3) для любого вектора ${\displaystyle v\in V}$ существуют единственные такие ${\displaystyle u\in U}$ и ${\displaystyle f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)}$, что ${\displaystyle v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e}$;
  (у4) ${\displaystyle E}$ — максимальное независимое множество относительно ${\displaystyle U}$;
  (у5) ${\displaystyle E}$ — минимальное порождающее множество относительно ${\displaystyle U}$.

  Вторая теорема об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно дополнить до базиса в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (2) из любого порождающего подмножества в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно выделить базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$.

• Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$ и
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, а также ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}}$, ${\displaystyle V_j=\mathrm{Ker}\,a^j}$ и ${\displaystyle V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j+1}}$ относительно ${\displaystyle V_{j}}$, то ${\displaystyle a|_C}$ — инъекция и ${\displaystyle a(C)}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j}}$ относительно ${\displaystyle V_{j-1}}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j}$.
• Диаграммы Юнга. Жорданов блок: ${\displaystyle \mathrm{jb}_\Delta(c)}$ — прямая сумма жордановых клеток ${\displaystyle \mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)}$, где ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ — длины строк диаграммы Юнга ${\displaystyle \Delta }$.
• Диаграмма Юнга ${\displaystyle \Delta (a,c)}$: высоты столбцов диаграммы ${\displaystyle \Delta (a,c)}$ — относительные геометрич. кратности ${\displaystyle \gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)}$. Корректность опред.-я.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в
  произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ в силу алгебр. замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$);
  тогда существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — прямая сумма жордановых блоков ${\displaystyle \,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)}$ по всем ${\displaystyle c\in \mathrm {Spec} (a)}$.
• Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: ${\displaystyle \sum_{k=0}^\infty f_k\,\mathrm{jc}_n(c)^k=\sum_{l=0}^{n-1}\frac1{l!}\Bigl(\sum_{k=l}^\infty\frac{k!}{(k-l)!}f_kc^{k-l}\Bigr)\,\mathrm{jc}_n(0)^l}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}}$, ${\displaystyle \mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T}$ и ${\displaystyle \,\mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T}$, а также ${\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(\mathrm e^{\tau\,a})=a\cdot\mathrm e^{\tau\,a}}$. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.

  Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )}$; обозначим через ${\displaystyle \gamma}$ кривую ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathrm{GL}(n,\mathbb C)\!\\\tau&\mapsto\mathrm e^{\tau\,a}\end{align}\!\biggr)}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R)}$, и, если ${\displaystyle a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C)}$;
  (2) если ${\displaystyle a\in\mathfrak{so}(n)}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n)}$, а также, если ${\displaystyle a\in\mathfrak u(n)}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n)}$, и, если ${\displaystyle a\in\mathfrak{su}(n)}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n)}$.