Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Текущая версия на 23:00, 20 мая 2020

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры

8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

8.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм: ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры: ${\displaystyle (v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w}$ (${\displaystyle V=K^n}$, ${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$), ${\displaystyle (f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg}$ (${\displaystyle V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)}$, ${\displaystyle s\in V}$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\displaystyle {\overline {V}}}$: ${\displaystyle c\overline\cdot v=\overline c\,v}$. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ${\displaystyle \overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K}$): ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)}$.
• Матрица Грама формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle (\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})}$. Обобщенная матрица Грама: ${\displaystyle (\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2})}$. Теорема о матрице Грама.

  Теорема о матрице Грама. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ выполнено ${\displaystyle \sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}}$ (координаты вычисляются относительно ${\displaystyle e}$);
  (2) для любых ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V}$ выполнено ${\displaystyle \sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}}$.

• Изоморфизм вект. пр.-в ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}}$ и ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}}$.
• Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}}$.
• Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}}$.
• Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: ${\displaystyle \mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}}$.
• Изоморфизмы между пр.-вами с формой: ${\displaystyle \mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)}$ и ${\displaystyle (V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing}$.

8.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\displaystyle \overline{\mathrm{Quad}}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Func}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\,\,\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)}$.
• ¯-Квадратичная форма ${\displaystyle \kappa }$ в коорд.: ${\displaystyle \kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}}$; если ${\displaystyle \overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K}$, то ${\displaystyle \kappa(v)}$ — однор. многочлен степени ${\displaystyle 2}$ от ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{n}}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)}$, имеем следующие факты:
  ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — симметричная билинейная форма (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)}$), а также ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)}$;
  (2) отображения ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем
  следующие факты: ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — полуторалинейная форма (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$), а также ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)}$;
  (2) отображения ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве ${\displaystyle V}$: множество вида ${\displaystyle \{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}}$, где ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$ и ${\displaystyle c\in K}$.
• Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть ${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$, ${\displaystyle \lambda\in K_n}$, ${\displaystyle c\in K}$ и ${\displaystyle v\in K^{n}}$; тогда ${\displaystyle \,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}s&\lambda^\mathtt T\\\lambda&c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)}$.

8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы

• Оператор бемоль (опускание индекса): ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$. Опускание индекса в координатах: ${\displaystyle (\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}}$ и ${\displaystyle (\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}}$.
• Случай ${\displaystyle \dim V<\infty }$: ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma }$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \flat_\sigma}$ — биекция${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle \mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}}$. Ранг формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle \mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})}$.
• Топологическая невырожденность (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ — нормир. пр.-во, ${\displaystyle \sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)}$): ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ — биекция.
• Пример: ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}}$ и ${\displaystyle \sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n}$; тогда ${\displaystyle \sigma }$ топологич. невырождена (без док.-ва).
• Оператор диез (подъем индекса): ${\displaystyle \sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}}$ (${\displaystyle \sigma }$ невырождена). Подъем индекса в коорд. (${\displaystyle \sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T}$): ${\displaystyle (\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T}$ и ${\displaystyle (\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j}$.
• Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle v_1,\ldots,v_m\in V}$ и
  ${\displaystyle U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle}$; тогда ${\displaystyle \sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K)}$, если и только если ${\displaystyle (v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U)}$ и форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена.
• Ортогональные векторы (${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$): ${\displaystyle v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0}$. Ортогональное дополнение: ${\displaystyle U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V}$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle U\subseteq U^{\perp\perp}}$, ${\displaystyle U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp}$, ${\displaystyle (U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }}$ и ${\displaystyle \,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена, то ${\displaystyle \dim U^\perp\!=\dim V-\dim U}$, а также ${\displaystyle U=U^{\perp \perp }}$ и ${\displaystyle \,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp}$ и, если ${\displaystyle \dim U<\infty }$, то ${\displaystyle {\bigl (}}$форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle U\cap U^{\perp }\!=\{0\}}$;
  (4) если форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена, то ${\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }}$ (и, значит, определен ортогональный проектор на ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+w&\mapsto u\end{align}\!\biggr)}$).

8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица${\displaystyle {\bigr )}}$. Форма ${\displaystyle \sigma }$ в ортогональн. коорд. (${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$): ${\displaystyle \sigma(v,w)=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,i}\,v^i\overline{w^i}}$.
• Ортонормированный базис (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$): ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица с ${\displaystyle 1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0}$ на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}}$;
  тогда существует такой вектор ${\displaystyle v\in V}$, что ${\displaystyle \sigma (v,v)\neq 0}$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

  Теорема Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$; тогда
  (1) в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортогональный базис (то есть ${\displaystyle \mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$);
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортонормированный базис (то есть ${\displaystyle \mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$).

  Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)}$; тогда
  (1) существует такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диагональная матрица;
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то сущ.-т такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диаг. матрица с ${\displaystyle 1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0}$ на диагонали.

• Лемма об ортогональном проекторе. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$, ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle m=\dim U<\infty}$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (U)}$,
  форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена и ${\displaystyle v\in V}$; тогда ${\displaystyle \mathrm{proj}_U(v)^e=(\sigma|_{U\times U})^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_m)\end{smallmatrix}\biggr)}$ и, если ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})}$, то ${\displaystyle \mathrm {proj} _{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\sigma (v,e_{i})}{\sigma (e_{i},e_{i})}}\,e_{i}}$.
• Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$, ${\displaystyle m\in\mathbb N}$, ${\displaystyle v_1,\ldots,v_m\in V}$,
  ${\displaystyle U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}$, форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена и ${\displaystyle \hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m)}$; тогда ${\displaystyle \det \sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{m}),(v_{1},\ldots ,v_{m})}=\det \sigma _{(v_{1},\ldots ,v_{m-1}),(v_{1},\ldots ,v_{m-1})}\cdot \sigma ({\hat {v}}_{m},{\hat {v}}_{m})}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle V_{i}}$ пространство ${\displaystyle \langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle }$ и обозначим через ${\displaystyle cm_i}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор
  матрицы ${\displaystyle \sigma _{e,e}}$. Пусть для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$ форма ${\displaystyle \sigma |_{V_{i}\times V_{i}}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что ${\displaystyle cm_i\ne0}$); для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$
  обозначим через ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ вектор ${\displaystyle e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}$. Тогда для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено ${\displaystyle ({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})}$ и ${\displaystyle \sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}}$,
  а также ${\displaystyle \hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\displaystyle {\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}}$).
• Ортогонал. системы функций: ${\displaystyle \cos(nx)}$ и ${\displaystyle \sin(nx)}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$), ${\displaystyle \mathrm e^{nx\,\mathrm i}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).