Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями

Версия 19:40, 19 декабря 2016

Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности

Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.

• Глобальная ${\displaystyle 4}$-мерная система координат на множестве ${\displaystyle M}$ — биекция между множествами ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.
• Глобальные ${\displaystyle 4}$-мерные системы координат ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}}$ на множестве ${\displaystyle M}$ инерциально согласованы в смысле СТО, если замена координат ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}\circ \alpha ^{-1}}$ —
  преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие ${\displaystyle \Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$
  и ${\displaystyle \xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{4}}$, что для любых ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{4}}$ выполнено ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}(\alpha ^{-1}(x))=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot x+\xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}}$.
• Лемма 1. Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
• Пространство событий в СТО — множество ${\displaystyle M}$, на котором зафиксирован класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{M}}$ инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных
  ${\displaystyle 4}$-мерных систем координат.
• Инерциальная система координат на пространстве событий ${\displaystyle M}$ в СТО — глобальная ${\displaystyle 4}$-мерная система координат, принадлежащая классу ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{M}}$.

Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура ${\displaystyle 4}$-мерного многообразия: на ${\displaystyle 4}$-мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.

Всюду далее ${\displaystyle M}$ — пространство событий в СТО.

• Лемма 2. Для любых ${\displaystyle m\in M}$, ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{m}M}$ и ${\displaystyle \alpha ,{\tilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}_{M}}$ выполнено ${\displaystyle v^{\tilde {\alpha }}\!=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot v^{\alpha }}$ (здесь ${\displaystyle v^{\alpha }}$ — столбец координат вектора ${\displaystyle v}$ относительно базиса
  ${\displaystyle {\Bigl \{}{\frac {\partial }{\partial x^{0}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(m){\Bigr \}}}$ пространства ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$, определяемого инерциальной системой координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$).
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$ и ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{m}M}$; сумма ${\displaystyle n+v}$ события ${\displaystyle n}$ и касательного вектора ${\displaystyle v}$ — событие ${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (n)+v^{\alpha })}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 3. Определение суммы события и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle m\in M}$; скалярное произведение ${\displaystyle g(m)}$ на касательном пространстве ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$ — невырожденная симметричная билинейная форма
  ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M\times \mathrm {T} _{m}M&\to \mathbb {R} \\(v,w)&\mapsto (v^{\alpha })^{\mathtt {T}}\!\cdot \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)\cdot w^{\alpha }\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 4. Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}\in M}$, ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{k}\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \tau _{1}+\ldots +\tau _{k}=1}$; барицентрическая комбинация ${\displaystyle \tau _{1}m_{1}+\ldots +\tau _{k}m_{k}}$ событий ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}}$
  с коэффициентами ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{k}}$ — событие ${\displaystyle \alpha ^{-1}(\tau _{1}\alpha (m_{1})+\ldots +\tau _{k}\alpha (m_{k}))}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 5. Определение барицентрической комбинации событий не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; прямая, проходящая через события ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, — множество ${\displaystyle \{(1-\tau )m+\tau \,n\mid \tau \in \mathbb {R} \}}$.
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; разность ${\displaystyle n-m}$ событий ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — скорость в нуле пути ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {R} &\to M\\\tau &\mapsto (1-\tau )m+\tau \,n\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ (это элемент касательного простр.-ва ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$).
• Лемма 6. Для любых ${\displaystyle m,n\in M}$ и ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$ выполнено ${\displaystyle (n-m)^{\alpha }\!=\alpha (n)-\alpha (m)}$.
• Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; тогда
  (1) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to M\\v&\mapsto m+v\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\n&\mapsto n-m\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ суть взаимно обратные биекции;
  (2) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to \mathrm {T} _{n}M\\v&\mapsto (n+v)-n\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{n}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\v&\mapsto (m+v)-m\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.

Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и
структурой псевдориманова многообразия сигнатуры ${\displaystyle (1,3)}$ (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,
определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.

Дифференциальные операции на многообразии ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Рассмотрим множество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом
согласованности системы координат ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{3}}}$ (эти координаты обозначаются ${\displaystyle (x,y,z)}$), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом
элемента длины») ${\displaystyle \sigma =(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}+(\mathrm {d} z)^{2}}$ и формой объема («элементом объема») ${\displaystyle vol=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$.

Пусть ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$ — система координат на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$; тогда
(1) ${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial x}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial x}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}}$, ${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial y}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial y}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}}$ и ${\displaystyle \mathrm {d} z={\frac {\partial z}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial z}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial z}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}}$;
(2) ${\displaystyle \sigma =(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}+(\mathrm {d} z)^{2}=\sigma _{1,1}(\mathrm {d} x^{1})^{2}+\sigma _{2,2}(\mathrm {d} x^{2})^{2}+\sigma _{3,3}(\mathrm {d} x^{3})^{2}+2\,\sigma _{1,2}\,\mathrm {d} x^{1}\,\mathrm {d} x^{2}+2\,\sigma _{1,3}\,\mathrm {d} x^{1}\,\mathrm {d} x^{3}+2\,\sigma _{2,3}\,\mathrm {d} x^{2}\,\mathrm {d} x^{3}}$, где для любых
${\displaystyle i,j\in \{1,2,3\}}$ выполнено ${\displaystyle \sigma _{i,j}={\frac {\partial x}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial y}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial y}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial z}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial z}{\partial x^{j}}}}$;
(3) ${\displaystyle vol=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=vol_{1,2,3}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$, где ${\displaystyle vol_{1,2,3}}$ есть якобиан замены координат при переходе от коорд. ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$ к коорд. ${\displaystyle (x,y,z)}$.

Пусть ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$ — ортогональная положительно ориентированная система координат на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (то есть ${\displaystyle \sigma _{1,2}=\sigma _{1,3}=\sigma _{2,3}=0}$ и ${\displaystyle vol_{1,2,3}\!>0}$); тогда
${\displaystyle \sigma =\sigma _{1,1}(\mathrm {d} x^{1})^{2}+\sigma _{2,2}(\mathrm {d} x^{2})^{2}+\sigma _{3,3}(\mathrm {d} x^{3})^{2}}$ и ${\displaystyle vol=vol_{1,2,3}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$, где ${\displaystyle vol_{1,2,3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}$.

• Зафиксируем ортогональную положительно ориентированную систему координат ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ и обозначим через ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ и ${\displaystyle e_{3}}$ векторные
  поля ${\displaystyle {\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}}$ соответственно (они образуют ортонормированный базис в каждом касательном пространстве); тогда
  ${\displaystyle e^{1}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,\mathrm {d} x^{1}}$, ${\displaystyle e^{2}\!=\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,\mathrm {d} x^{2}}$ и ${\displaystyle e^{3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,\mathrm {d} x^{3}}$, а также ${\displaystyle \sigma =(e^{1})^{2}+(e^{2})^{2}+(e^{3})^{2}}$ и ${\displaystyle vol=e^{1}\!\wedge e^{2}\!\wedge e^{3}}$.
• Пусть ${\displaystyle v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})}$; тогда
  (1) ${\displaystyle {\downarrow }\,v=v^{1}e^{1}+v^{2}e^{2}+v^{3}e^{3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{1}+\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{2}+\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{3}}$;
  (2) ${\displaystyle *\,({\downarrow }\,v)=v^{1}e^{2}\!\wedge e^{3}-v^{2}e^{1}\!\wedge e^{3}+v^{3}e^{1}\!\wedge e^{2}\!=\!{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}-\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}}$.
• Пусть ${\displaystyle f\in \mathrm {Func} (\mathbb {R} ^{3})}$; найдем градиент функции ${\displaystyle f}$ в координатах ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$:
  ${\displaystyle \nabla f={\uparrow }\,(\mathrm {d} f)={\uparrow }\,(\partial _{1}f\;\mathrm {d} x^{1}+\partial _{2}f\;\mathrm {d} x^{2}+\partial _{3}f\;\mathrm {d} x^{3})={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}\,\partial _{1}f\;e_{1}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}\,\partial _{2}f\;e_{2}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}\,\partial _{3}f\;e_{3}}$.
• Пусть ${\displaystyle v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})}$; найдем дивергенцию векторного поля ${\displaystyle v}$ в координатах ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$:
  ${\displaystyle \mathrm {div} \,v=*\,\mathrm {d} \,{*}\,({\downarrow }\,v)=*\,\mathrm {d} {\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}-\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}{\bigr )}=}$
  ${\displaystyle =*{\Bigl (}{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}{\bigr )}+\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}{\bigr )}+\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}{\bigr )}{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}{\Bigr )}=}$
  ${\displaystyle ={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}}{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}{\bigr )}+\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}{\bigr )}+\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}{\bigr )}{\bigr )}}$.
• Пусть ${\displaystyle v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})}$; найдем ротор векторного поля ${\displaystyle v}$ в координатах ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$:
  ${\displaystyle \mathrm {rot} \,v={\uparrow }\,(*\,\mathrm {d} ({\downarrow }\,v))={\uparrow }\,{\bigl (}{*}\,\mathrm {d} {\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{1}+\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{2}+\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{3}{\bigr )}{\bigr )}=}$
  ${\displaystyle ={\uparrow }{\Bigl (}{*}{\Bigl (}\!{\bigl (}\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}-\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}{\Bigr )}\!{\Bigr )}\!=}$
  ${\displaystyle ={\frac {\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}\,e_{1}-{\frac {\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}}\,e_{2}+{\frac {\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}-\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}}\,e_{3}}$.
• Пусть ${\displaystyle f\in \mathrm {Func} (\mathbb {R} ^{3})}$; найдем лапласиан функции ${\displaystyle f}$ в координатах ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$:
  ${\displaystyle \Delta f=\mathrm {div} (\nabla f)=\mathrm {div} {\Bigl (}{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}\,\partial _{1}f\;e_{1}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}\,\partial _{2}f\;e_{2}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}\,\partial _{3}f\;e_{3}{\Bigr )}\!=}$
  ${\displaystyle ={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}}{\Bigl (}\partial _{1}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}\,\partial _{1}f{\Bigr )}+\partial _{2}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}\,\partial _{2}f{\Bigr )}+\partial _{3}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}\,\partial _{3}f{\Bigr )}\!{\Bigr )}}$.

Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (за исключением множества меры ${\displaystyle 0}$) являются
цилиндрическая система координат ${\displaystyle (r,\varphi ,z)}$ и сферическая система координат ${\displaystyle (R,\varphi ,\theta )}$ (обозначения В.И. Арнольда). Для цилиндрической системы
координат выполнено ${\displaystyle \sigma _{1,1}=1}$, ${\displaystyle \sigma _{2,2}=r^{2}}$ и ${\displaystyle \sigma _{3,3}=1}$. Для сферической системы координат выполнено ${\displaystyle \sigma _{1,1}=1}$, ${\displaystyle \sigma _{2,2}=R^{2}\cos ^{2}\theta }$ и ${\displaystyle \sigma _{3,3}=R^{2}}$.

2  Линейная алгебра

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись (если ${\displaystyle a}$ — эндоморфизм): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.