Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
<h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2> | <h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2> | ||
+ | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> | ||
+ | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table><br> | ||
− | Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках | + | Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных<br>(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства. |
<ul><li><i>Глобальная <math>4</math>-мерная система координат</i> на множестве <math>M</math> — биекция между множествами <math>M</math> и <math>\mathbb R^4</math>. | <ul><li><i>Глобальная <math>4</math>-мерная система координат</i> на множестве <math>M</math> — биекция между множествами <math>M</math> и <math>\mathbb R^4</math>. | ||
Строка 25: | Строка 27: | ||
<li><u>Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах.</u> Пусть <math>m,n\in M</math>; тогда<br>(1) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}M&\to\mathrm T_mM\\n&\mapsto n-m\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to M\\v&\mapsto m+v\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биекции;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathrm T_nM\\v&\mapsto(n+v)-n\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_nM&\to\mathrm T_mM\\v&\mapsto(m+v)-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.</ul> | <li><u>Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах.</u> Пусть <math>m,n\in M</math>; тогда<br>(1) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}M&\to\mathrm T_mM\\n&\mapsto n-m\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to M\\v&\mapsto m+v\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биекции;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathrm T_nM\\v&\mapsto(n+v)-n\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_nM&\to\mathrm T_mM\\v&\mapsto(m+v)-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.</ul> | ||
− | Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math>, а также<br>на нем | + | Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math>, а также<br>на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами. |
− | + | ||
− | + | ||
<!--<h2>Алгебраические структуры</h2> | <!--<h2>Алгебраические структуры</h2> |
Версия 02:10, 13 декабря 2016
Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности
|
Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.
- Глобальная -мерная система координат на множестве — биекция между множествами и .
- Глобальные -мерные системы координат и на множестве инерциально согласованы в смысле СТО, если замена координат —
преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие
и , что для любых выполнено . - Утверждение 1. Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
- Пространство событий в СТО — множество , на котором зафиксирован класс инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных
-мерных систем координат. - Инерциальная система координат на пространстве событий в СТО — глобальная -мерная система координат, принадлежащая классу .
Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура -мерного многообразия: на -мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.
Зафиксируем пространство событий в СТО; его элементы для простоты будем называть точками (а не событиями).
- Пусть , , и ; барицентрическая комбинация точек с
коэффициентами — точка , где . - Утверждение 2. Определение барицентрической комбинации точек не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Пусть ; прямая, проходящая через точки и , — множество .
- Пусть ; разность точек и — скорость в нуле пути (это элемент касательного пространства ).
- Утверждение 3. Для любых и выполнено (здесь — столбец координат вектора
относительно базиса пространства , определяемого инерциальной системой координат на ). - Пусть и ; сумма точки и касательного вектора — точка , где .
- Утверждение 4. Для любых , и выполнено .
- Утверждение 5. Определение суммы точки и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Пусть ; скалярное произведение на касательном пространстве — невырожденная симметричная билинейная форма
, где . - Утверждение 6. Определение скалярного произведения на касательном простр.-ве не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах. Пусть ; тогда
(1) отображения и суть взаимно обратные биекции;
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.
Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры , а также
на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.