Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
<h3>1.4 Кольца (часть 2)</h3> | <h3>1.4 Кольца (часть 2)</h3> | ||
| − | <h5>1.4.1 Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5> | + | <h5>1.4.1 Делимость в коммутативных кольцах</h5> |
| + | <ul><li>Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце <math>R</math>: <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\exists\,t\in R\;\bigl(r=s\,t\bigr)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\;\Leftrightarrow\;s\,|\,r\,\land\,\lnot(r\,|\,s)</math>; <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\;\Leftrightarrow\;r\,|\,s\,\land\,s\,|\,r</math>. | ||
| + | <li>Понятия <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> в коммут. кольце <math>R</math>: <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{gcd}(r,s)\;\Leftrightarrow\;\forall\,t'\in R\;\bigl(t'\,|\,r\,\land\,t'\,|\,s\,\Leftrightarrow\,t'\,|\,t\bigr)</math> и <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{lcm}(r,s)\;\Leftrightarrow\;\forall\,t'\in R\;\bigl(r\,|\,t'\,\land\,s\,|\,t'\,\Leftrightarrow\,t\,|\,t'\bigr)</math>. | ||
| + | <li>Нормировка в <math>\mathbb Z</math>: <math>\mathrm{gcd}(a,b),\mathrm{lcm}(a,b)\in\mathbb N</math> (если <math>a\,b\ne0</math>); нормировка в <math>K[x]</math>: старшие коэфф. многочл. <math>\mathrm{gcd}(f,g)</math>, <math>\mathrm{lcm}(f,g)</math> равны <math>1</math> (если <math>f\,g\ne0</math>). | ||
| + | <li><u>Теорема о делимости и главных идеалах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>r,s,t\in R</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subseteq(s)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subset(s)</math>; <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\,\Leftrightarrow\,(r)=(s)</math>;<br>(2) <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{lcm}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)\cap(s)</math>; если идеал <math>(r)+(s)</math> — главный, то <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{gcd}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)+(s)</math>.</i></ul> | ||
| + | |||
| + | <h5>1.4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5> | ||
<ul><li>Евклидова норма на кольце <math>R</math>: <math>\nu\colon R\to N</math>, где <math>N\subseteq\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math> и <math>\forall\,r\in R\!\setminus\!\{0\},\,s\in R\;\bigl(\exists\,q,t\in R\;\bigl(s=qr+t\,\land\,\nu(t)<\nu(r)\bigr)\,\land\,\nu(s)\le\nu(rs)\bigr)</math>. | <ul><li>Евклидова норма на кольце <math>R</math>: <math>\nu\colon R\to N</math>, где <math>N\subseteq\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math> и <math>\forall\,r\in R\!\setminus\!\{0\},\,s\in R\;\bigl(\exists\,q,t\in R\;\bigl(s=qr+t\,\land\,\nu(t)<\nu(r)\bigr)\,\land\,\nu(s)\le\nu(rs)\bigr)</math>. | ||
<li>Евклидово кольцо — область целостности с евкл. нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>).</ul> | <li>Евклидово кольцо — область целостности с евкл. нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>).</ul> | ||
| − | <h5>1.4. | + | <h5>1.4.3 Элементарная теория чисел</h5> |
| − | + | ||
| − | + | ||
Версия 03:40, 7 ноября 2016
1 Основы алгебры
1.4 Кольца (часть 2)
1.4.1 Делимость в коммутативных кольцах
- Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : ; ; .
- Понятия и в коммут. кольце : и .
- Нормировка в : (если ); нормировка в : старшие коэфф. многочл. , равны (если ).
- Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
(1) ; ; ;
(2) ; если идеал — главный, то .
1.4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца
- Евклидова норма на кольце : , где и .
- Евклидово кольцо — область целостности с евкл. нормой. Примеры: (); , где — поле (); , ().
