Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 18:40, 27 августа 2016

1 Основы алгебры

По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с по-
мощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том,
что мы можем найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным.

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Том 3

В принципе математику можно рассматривать как разновидность утонченной, усовершенствованной логики. Замечательно, что,
построив правила этой логики и выучив их, человек получил орудие гораздо более мощное, чем обыкновенный «здравый смысл»,
основанный на традиционной, «домашней» логике. Человек руками создает простые орудия, применяя их, строит станки, с помо-
щью которых создает еще более совершенные и сложные механизмы — и с помощью этих механизмов он способен сделать то,
что недоступно голым рукам. Вот так же точно и математика, развивая все более сложные теории и создавая новые понятия, да-
ет возможность овладеть самыми необычными явлениями природы.

Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников

Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и
становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались
чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих
закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем и
что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а не
с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.

П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1.1 Множества, отображения, отношения

1.1.1 Множества

Логические связки: $\lnot$ — отрицание («не»), $\lor$ — дизъюнкция («или»), $\land$ — конъюнкция («и»), $\Rightarrow$ — импликация («влечет»), $\Leftrightarrow$ — эквивалентность.
Лемма о логических связках. Пусть $a$ , $b$ , $c$ — высказывания; тогда
(1) $(a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)$ , $a\lor b=b\lor a$ , $(a\land b)\land c=a\land (b\land c)$ , $a\land b=b\land a$ ;
(2) $a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$ , $a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$ ;
(3) $\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b$ , $\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$ , $(a\Rightarrow b)=\lnot a\lor b$ , $(a\Rightarrow b)=(\lnot b\Rightarrow \lnot a)$ .
Кванторы: $\exists$ — существование, $\forall$ — всеобщность («для любых»). Утверждение: $\lnot {\bigl (}\exists \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\forall \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}$ , $\lnot {\bigl (}\forall \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\exists \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}$ .
Задание множества перечислением элементов: $\{\ldots \}$ ; $\in$ — принадлежность, $\varnothing$ — пустое множество, $\subseteq$ — включение, $\subset$ — строгое включение.
Выделение подмножества: $\{x\in X\mid p(x)\}$ . Операции над множествами: $\cup$ — объединение, $\cap$ — пересечение, $\setminus$ — разность, $\times$ — произведение.
Лемма об операциях над множествами. Пусть $X$ , $Y$ , $Z$ — множества; тогда
(1) $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$ , $X\cup Y=Y\cup X$ , $(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$ , $X\cap Y=Y\cap X$ ;
(2) $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$ , $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)$ ;
(3) если $U$ — множество и $X,Y\subseteq U$ , то $U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)$ и $U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)$ .
Числовые множества: $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ — натуральные, целые, рациональные, вещественные числа; $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$ и $\mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$ ( $n\in \mathbb {N}$ ).
$|X|$ — порядок (количество элементов) множества $X$ , $2^{X}$ — множество подмножеств множества $X$ , $X^{n}$ — $n$ -я степень множества $X$ ( $n\in \mathbb {N} _{0}$ ).

1.1.2 Отображения

Множество отображений, действующих из мн.-ва $X$ в мн.-во $Y$ : $\mathrm {Map} (X,Y)$ . Область, кообласть, график отображения $f$ : $\mathrm {Dom} \,f$ , $\mathrm {Codom} \,f$ , $\mathrm {Gr} \,f$ .
Образ множества $A$ относительно $f$ ( $A\subseteq X$ ): $f(A)$ , прообраз множества $B$ относительно $f$ ( $B\subseteq Y$ ): $f^{-1}(B)$ , образ отображения $f$ : $\mathrm {Im} \,f=f(X)$ .
Сужения отображения $f$ ( $A\subseteq X$ и $f(A)\subseteq B\subseteq Y$ ): $f|_{A}$ и $f|_{A\to B}$ . Сокращенная запись образа: $\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}=\{f(x)\mid x\in X\}$ .
Инъекции: $\mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}$ . Сюръекции: $\mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}$ .
Биекции: $\mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)$ . Композиция отображений: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . Тождественное отображение: $\mathrm {id} _{X}(x)=x$ .
Теорема о композиции отображений. Пусть $X$ , $Y$ — множества и $f\in \mathrm {Map} (X,Y)$ ; тогда
(1) $f\circ \mathrm {id} _{X}=f$ , $\mathrm {id} _{Y}\circ f=f$ и, если $Z$ , $W$ — множества и $g\in \mathrm {Map} (Y,Z)$ , $h\in \mathrm {Map} (Z,W)$ , то $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ ;
(2) если $X\neq \varnothing$ , то $f\in \mathrm {Inj} (X,Y)$ , если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}$ ;
(3) $f\in \mathrm {Surj} (X,Y)$ , если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$ ;
(4) $f\in \mathrm {Bij} (X,Y)$ , если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$ ( $f'=f^{-1}$ — биекция, обратная к биекции $f$ ).
Утверждение: $\sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|$ . Принцип Дирихле. Пусть $X,Y$ — множества, $|X|=|Y|<\infty$ ; тогда $\,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)$ .

1.1.3 Отношения

Множество отношений между множествами $X$ и $Y$ : $\mathrm {Rel} (X,Y)$ . Область, кообласть, график отношения $\Delta$ : $\mathrm {Dom} \,\Delta$ , $\mathrm {Codom} \,\Delta$ , $\mathrm {Gr} \,\Delta$ . Примеры.
Отношения эквивалентности: $\mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}$ .
Классы эквивалентности: $\mathrm {cl} _{\sim }(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}$ . Утверждение: $x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }(x)=\mathrm {cl} _{\sim }({\breve {x}})$ . Фактормножество: $X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }(x)\mid x\in X\}$ .
Разбиения: $\mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}$ . Утверждение: $X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)$ . Трансверсали.
Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть $X$ — множество; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — биекция.
Отношение ${\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$ : $x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})$ . Слои отображения $f$ : $\{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}$ ( $=X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$ ). Факторотображение ${\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}$ — биекция.

1.2 Группы (часть 1)

1.2.1 Множества с операцией

Внутренняя $n$ -арная операция на $S$ — отображение, действующее из $S^{n}$ в $S$ (нульарная операция на $S$ — выделенный элемент множества $S$ ).
Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: $\mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}$ .
Утверждение: пусть $f\in \mathrm {Hom} (S,V)$ и $g\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ ; тогда $g\circ f\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ . Изоморфизмы: $\mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)$ .
Утверждение: пусть $f\in \mathrm {Iso} (S,V)$ ; тогда $f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)$ . Эндоморфизмы: $\mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)$ . Автоморфизмы: $\mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)$ .
Обозначения по Минковскому: $o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}$ . Примеры: $\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$ , $\mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ .
Инфиксная запись бинарных операций. Ассоциативность: $\forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}$ . Коммутативность: $\forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}$ .
Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Примеры полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть $S$ — полугруппа, $n\in \mathbb {N}$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ ; тогда значение выражения $s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}$ не зависит от
расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
Примеры: числовые моноиды (по умножению или сложению), моноиды функций, моноиды слов $\mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , моноиды отображений $\mathrm {Map} (X)$ .
Обратимые элементы: $M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}$ . Единственность обратного элемента. Утверждение: $M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }$ .
Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа $M^{\times }$ ( $M$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: $G\cong J$ .
Примеры: числовые группы, группы функций, свободные группы $\mathrm {F} (x_{1},\ldots ,x_{n})$ , группы биекций $\mathrm {Bij} (X)$ , группы автоморфизмов графов $\mathrm {Aut} (\Gamma )$ .
Мультипликативные обозначения в группе $G$ : $g\,h$ , $1$ , $g^{-1}$ , $g^{n}$ ( $n\in \mathbb {Z}$ ). Аддитивные обозначения в абелевой группе $A$ : $a+b$ , $0$ , $-a$ , $n\,a$ ( $n\in \mathbb {Z}$ ).
Симметрические группы: $\mathrm {S} (X)=\mathrm {Bij} (X)$ , $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})$ . Запись перестановки в виде посл.-сти значений, цикловая запись. Лемма о циклах.
Лемма о циклах. Пусть $l,m,n\in \mathbb {N}$ , $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}$ , числа $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k$ попарно различны и $u\in \mathrm {S} _{n}$ ; тогда
$(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$ , а также $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$ .

1.2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы

Подгруппы: $H\leq G\,\Leftrightarrow \,H\cdot H\subseteq H\,\land \,1\in H\,\land \,H^{-1}\!\subseteq H$ . Подгруппа, порожденная мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle \leq G\;\land \;\forall \,H\leq G\;{\bigl (}D\subseteq H\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq H{\bigr )}$ .
Утверждение: $\langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}$ , а также $\langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}$ . Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!=\langle 1\rangle =\langle -1\rangle$ .
Отношения ${\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и ${\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ : $g\;{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H\,\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H$ и $g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H\,\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}$ . Утверждение: $\mathrm {cl} \!_{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}(g)=gH$ и $\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\!(g)=Hg$ .
Множества классов смежности: $G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и $H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ . Теорема Лагранжа. Индекс: $|G:H|=|G/H|$ .
Теорема Лагранжа. Пусть $G$ — группа, $|G|<\infty$ и $H\leq G$ ; тогда $|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|$ (и, значит, $|H|$ делит $|G|$ ).
Порядок элемента: $\mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}$ ( $\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ ). Утверждение: пусть $n=\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N}$ ; тогда $\{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z}$ .
Лемма о порядке элемента. Пусть $G$ — группа и $g\in G$ ; тогда $\mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |$ (и, значит, если $|G|<\infty$ , то $\mathrm {ord} (g)$ делит $|G|$ и $g^{|G|}\!=1$ ).
Лемма об обратимых остатках. Пусть $n\in \mathbb {N}$ ; тогда $(\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid (\mathbb {Z} /n)^{+}\!=\langle a\rangle \}$ .
Циклические группы: $\exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}$ . Примеры: $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ ( $n\in \mathbb {N}$ ), $\mathbb {Z} ^{+}$ . Теорема о циклических группах. Первообразный корень по модулю $n$ .
Теорема о циклических группах. Пусть $G$ — циклич. группа; обозначим через $n$ величину $|G|$ ; тогда $n\in \mathbb {N}$ и $G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ или $n=\infty$ и $G\cong \mathbb {Z} ^{+}$ .

1.2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

Нормальные подгруппы: $H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}$ . Пример: $|G:H|=2\,\Rightarrow \,H\trianglelefteq G$ .
Отношение сопряженности: ${\bigl (}$ $x$ и ${\breve {x}}$ сопряжены ${\bigr )}$ $\;\Leftrightarrow \;$ $\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}$ . Нормальная подгруппа, порожденная мн.-вом $T$ : $(T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }$ .
Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s,{\breve {s}}\in \mathrm {S} _{n}$ ; тогда перестановки $s$ и ${\breve {s}}$ сопряжены, если и только
если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок $s$ и ${\breve {s}}$ равны.
Ядро гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)\trianglelefteq G$ . Образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Im} \,f\leq J$ . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее. Примеры.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы, $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ , $j\in J$ и $g_{0}\in f^{-1}(j)$ ; тогда $f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f$ .

Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда $f\in \mathrm {Inj} (G,J)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}$ .
Факторгруппа: $G/H$ с фактороперациями ( $H\trianglelefteq G$ ). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ .
Теорема о гомоморфизме. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда $G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Прямое произведение групп: $F\times H$ с покомпонентными операциями. Теорема о прямом произведении. Внутреннее прямое произведение подгрупп.
Теорема о прямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$ ; обозначим через $\mathrm {mult} _{F,H}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ ; тогда
(1) $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ , $\mathrm {mult} _{F,H}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} _{F,H}=FH$ ;
(2) $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ ;
(3) если $|G|<\infty$ , то $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,|G|=|F|\,|H|\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ .

1.3 Кольца (часть 1)

1.3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами

Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, операции в которых связаны дистрибутивностью. Кольца в широком смысле слова.

1.3.2 Кольца многочленов

1.3.3 Поле комплексных чисел

1.4 Кольца (часть 2)

1.5 Группы (часть 2)

2 Линейная алгебра

2.1 Матрицы, базисы, координаты

2.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк

Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$ . Пространство столбцов: $K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$ . Пространство строк: ${}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)$ .
Матричные единицы: $(\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}$ . Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$ : $\{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$ .
Стандартный базис пространства $K^{p}$ : $\{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$ . Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$ : $\{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$ .
Умножение матриц: $(b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}$ . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$ . Группа $\mathrm {GL} (n,K)$ .
Строки матрицы: $a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a$ . Столбцы матрицы: $a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}$ . Утверждение: $(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}$ и $(b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}$ .
След матрицы: $\mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}$ . Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)$ ; тогда $\mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)$ .
Транспонирование матрицы: $(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$ . Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)$ ; тогда $(b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}$ .

2.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$ . Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ .
Матрица гомоморфизма: $(a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}$ . Утверждение: $a(e)=h\cdot a_{e}^{h}$ и $\forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$ . Утверждение: $(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$ .
Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ . Изоморфизм колец и векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ .

2.1.3 Преобразования координат при замене базиса

Матрица замены координат: $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$ . Матрица замены базиса: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$ . Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}$ .
Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ . Преобразование координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$ . Покомпонентная запись: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$ .
Преобразование координат гомоморфизма: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ . Покомпонентная запись (если $a$ — эндоморфизм): $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$ .

2.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$ .
Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a$ .
Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})$ .
Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть $K$ — поле, $p,n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ ; тогда
(1) существуют такие $l\in \mathbb {N} _{0}$ и элементарные матрицы $g_{1},\ldots ,g_{l}$ размера $p\times p$ над полем $K$ , что $g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a$ — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно $\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ (и, значит, не зависит от матриц $g_{1},\ldots ,g_{l}$ ).
Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2 Линейные операторы (часть 1)

2.2.1 Ядро и образ линейного оператора

Отступление о свойствах базиса. Утверждение: $V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y$ . Утверждение: пусть $U\leq V$ , $\dim U=\dim V<\infty$ ; тогда $U=V$ .
Ядро линейного оператора: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V$ . Образ линейного оператора: $\mathrm {Im} \,a\leq Y$ . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$ , $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ , $y\in Y$ , $v_{0}\in a^{-1}(y)$ ; тогда $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$ .

Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$ , $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ ; тогда $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$ .
Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ ,
$\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ ; тогда выполнено $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$ .
Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V=\dim Y<\infty$ ;
тогда выполнено $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)$ .

2.2.2 Ранг линейного оператора

Ранг линейного оператора: $\mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a$ . Ранг матрицы (ранг по столбцам): $\mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$ . Утверждение: $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})$ .
Утверждение: $\mathrm {rk} (a)\leq \min\{\dim V,\dim Y\}$ . Утверждение: $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V$ и $a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y$ .
Теорема о свойствах ранга. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ ; тогда
(1) для любых матриц $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$ выполнено $\mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)$ ;
(2) существуют такие матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$ , что $g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$ ;
(3) $\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ и $\,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

2.2.3 Системы линейных уравнений

Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть $a\cdot v_{0}=y$ ; тогда $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$ .
Теорема Кронекера–Капелли. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ , $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $y\in K^{p}$ ; тогда $\exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))$ .
Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$ .

2.3 Конструкции над векторными пространствами

2.3.1 Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

Факторпространство: $V/U$ . Утверждение: пусть $U\leq V$ , $A$ — базис в $U$ , $B$ — базис в $V$ , $A\subseteq B$ ; тогда $\{b+U\mid b\in B\setminus A\}$ — базис в $V/U$ .
Теорема о гомоморфизме. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ ; тогда $V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a$ .
Прямая сумма векторных пространств: $U\oplus W$ . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $U,W\leq V$ ;
обозначим через $\mathrm {add} _{U,W}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}$ ; тогда
(1) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)$ , $\mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W$ ;
(2) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)$ $\;\Leftrightarrow \,$ $\forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}$ $\,\Leftrightarrow \;$ $U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V$ ;
(3) если $\dim V<\infty$ , то $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)$ $\;\Leftrightarrow \;$ $U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V$ ;
(4) если $\dim U,\dim W<\infty$ , то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ (это формула Грассмана).
Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: $a(U)\leq U$ . Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.

2.3.2 Двойственное пространство

Двойственное пространство: $V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)$ . Двойственный базис: $e^{j}(v)=(v^{e})^{j}$ . Утверждение: $\lambda =\!\sum _{j=1}^{\dim V}\!\lambda (e_{j})e^{j}$ . Столбец $e^{*}$ .
Строка координат ковектора. Утверждение: $\lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}$ . Преобразования при замене базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$ , $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ и $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$ .
Отождествление пространств $V$ и $V^{**}$ в случае конечномерного пространства $V$ при помощи изоморфизма $\,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ .
Сводная таблица о координатах. (В таблице $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $n=\dim V<\infty$ и $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$ .)

Инвариантный объект

Координаты
относительно базиса

Преобразование координат
при замене базиса

Пример использования
в геометрии и физике

вектор

—
элемент пространства

(тензор типа

над

)

(это изоморфизм
векторных пространств)

матричная запись:

покомпонентная запись:

преобразование базиса:

скорость в точке
гладкого пути
на многообразии

ковектор

—
элемент пространства

(тензор типа

над

)

(это изоморфизм
векторных пространств)

матричная запись:

покомпонентная запись:

преобразование базиса:

дифференциал в точке
гладкой функции (скалярного поля)
на многообразии

эндоморфизм

—
элемент пространства

(тензор типа

над

)

(это изоморфизм колец
и векторных пространств)

матричная запись:

покомпонентная запись:

дифференциал в неподвижной точке
гладкого отображения,
действующего из многообразия в себя

2.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1 Отступление о симметрических группах

Симметрическая группа: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})$ . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
Утверждение: $(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$ . Утверждение: $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$ .
Транспозиции $\{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}$ и фундаментальные транспозиции $\{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}$ . Число циклов $\kappa (u)$ .
Лемма об умножении на транспозицию. Пусть $n\in \mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$ , $u\in \mathrm {S} _{n}$ , $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i<j$ ; тогда
(1) если числа $i$ и $j$ принадлежат одному циклу в перестановке $u$ , то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1$ ;
(2) если числа $i$ и $j$ принадлежат разным циклам в перестановке $u$ , то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1$ .
Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $u\in \mathrm {S} _{n}$ ; обозначим через $l$ число $n-\kappa (u)$ ; тогда
(1) существуют такие транспозиции $u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}$ , что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}$ ;
(2) для любых $t\in \mathbb {N} _{0}$ из существования таких транспозиций $u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}$ , что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}$ , следует, что $t\geq l$ и $t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)$ .
Знак перестановки: $\mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}$ . Утверждение: $\mathrm {sgn}$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: $\mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\!\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}\trianglelefteq \mathrm {S} _{n}$ .

2.4.2 Полилинейные отображения и формы объема

Пространства полилинейных отображений $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$ , $\mathrm {Multi} _{k}(V,Y)$ и полилинейных форм $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)$ , $\mathrm {Multi} _{k}V$ .
Пространства билинейных отображений $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)$ , $\mathrm {Bi} (V,Y)$ и билинейных форм $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)$ , $\mathrm {Bi} (V)$ . Примеры полилинейных форм.
Пространство симметричных полилинейных форм $\mathrm {SMulti} _{k}V$ . Пространство антисимметричных полилинейных форм $\mathrm {AMulti} _{k}V$ .
Лемма об антисимметричных формах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V$ ; тогда
следующие условия эквивалентны (если $\mathrm {char} \,K=2$ , то исключаются импликации (2) $\;\Rightarrow \,$ (1) и (3) $\;\Rightarrow \,$ (1)):
(1) $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$ ;
(2) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и таких $u\in \mathrm {S} _{k}$ , что $u$ — транспозиция, выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$ ;
(3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$ .
Пространство форм объема $\mathrm {AMulti} _{n}V$ ( $n=\dim V$ ). Форма объема, связанная с базисом: $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}$ .
Теорема о формах объема. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$ , $\dim V<\infty$ ; обозначим через $n$ число $\dim V$ ; тогда
(1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V$ выполнено $\omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}$ ;
(2) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ множество $\{\mathrm {vol} ^{e}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {AMulti} _{n}V$ ;
(3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}$ выполнено $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0$ .

2.4.3 Определитель линейного оператора

Определитель линейного оператора: $\omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))=\det a\cdot \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})$ , где $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}$ . Корректность определения.
Теорема о главных свойствах определителя. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$ ; тогда
(1) $\mathrm {GL} (V)=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \det a\neq 0\}$ (напоминание: $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }$ );
(2) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\det(a\circ b)=\det a\cdot \det b$
(и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {GL} (V)&\to K^{\times }\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является гомоморфизмом групп).
Определитель матрицы: $\det a=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,a_{1}^{u(1)}\!\ldots a_{n}^{u(n)}$ . Утверждение: пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$ ; тогда $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}$ .
Лемма об определителе оператора и определителе матрицы. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ ,
$a\in \mathrm {End} (V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$ ; обозначим через $n$ число $\dim V$ ; тогда $\det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}$ .
Утверждение: $\det a=\det a^{\mathtt {T}}$ и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
Специальные линейные группы: $\mathrm {SL} (V)=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (V)$ и $\mathrm {SL} (n,K)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (n,K)$ .

2.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица

Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: $\mathrm {adj} (a)_{j}^{i}=(-1)^{i+j}$ ${\bigl (}$ дополнительный минор матрицы $a$ в позиции $(j,i)$ ${\bigr )}$ .
Теорема о присоединенной матрице. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$ ; тогда
(1) $\forall \,i,k\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}{\Bigr )}$ и $\forall \,j,l\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}{\Bigr )}$ (в частности,
при $i=k$ имеем $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a{\Bigr )}$ и при $j=l$ имеем $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a{\Bigr )}$ ;
это формулы разложения определителя матрицы $a$ по $i$ -й строке матрицы $a$ и по $j$ -му столбцу матрицы $a$ соответственно);
(2) $a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}}$ и, если $a\in \mathrm {GL} (n,K)$ , то $a^{-1}={\frac {1}{\det a}}\,\mathrm {adj} (a)$ .
Правило Крамера. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$ , $a\in \mathrm {GL} (n,K)$ , $y\in K^{n}$ и $j\in \{1,\ldots ,n\}$ ; тогда $(a^{-1}\!\cdot y)^{j}={\frac {\det \!{\bigl (}a_{1}\;\ldots \;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots \;a_{n}{\bigr )}}{\det a}}$ .
Теорема о базисном миноре. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ ; тогда $\mathrm {rk} (a)$ равен максимальному среди всех таких чисел
$t\in \mathbb {N} _{0}$ , что в матрице $a$ существует такая подматрица $a'$ размера $t\times t$ , что $\det a'\neq 0$ .

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 <table cellpadding="6" cellspacing="0">
 <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с по-<br>мощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное <i>величие</i> науки состоит в том,<br>что мы <i>можем найти такой способ рассуждения</i>, при котором закон становится <i>очевидным</i>.</td></tr><tr align="right"><td><i>Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Том 3</i></td></tr></table></td></tr>
-<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>В принципе математику можно рассматривать как разновидность утонченной, усовершенствованной логики. Замечательно, что,<br>построив правила этой логики и выучив их, человек получил орудие гораздо более мощное, чем обыкновенный «здравый смысл»,<br>основанный на традиционной, «домашней» логике. Человек руками создает простые орудия, применяя их, строит станки, с помо-<br>щью которых создает еще более совершенные и сложные механизмы — и с помощью этих механизмов он способен сделать то,<br>что недоступно голым рукам. Вот так же точно и математика, развивая все более сложные теории и создавая новые понятия, да-<br>ет возможность овладеть самыми необычными явлениями природы.</td></tr><tr align="right"><td><i>Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников</i></td></tr></table></td></tr></table>
+<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>В принципе математику можно рассматривать как разновидность утонченной, усовершенствованной логики. Замечательно, что,<br>построив правила этой логики и выучив их, человек получил орудие гораздо более мощное, чем обыкновенный «здравый смысл»,<br>основанный на традиционной, «домашней» логике. Человек руками создает простые орудия, применяя их, строит станки, с помо-<br>щью которых создает еще более совершенные и сложные механизмы — и с помощью этих механизмов он способен сделать то,<br>что недоступно голым рукам. Вот так же точно и математика, развивая все более сложные теории и создавая новые понятия, да-<br>ет возможность овладеть самыми необычными явлениями природы.</td></tr><tr align="right"><td><i>Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников</i></td></tr></table></td></tr>
+<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и<br>становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались<br>чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих<br>закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем и<br>что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а не<br>с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.</td></tr><tr align="right"><td><i>П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле</i></td></tr></table></td></tr></table>
 <h3>1.1&nbsp; Множества, отображения, отношения</h3>

Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 18:40, 27 августа 2016

1 Основы алгебры

1.1 Множества, отображения, отношения

1.1.1 Множества

1.1.2 Отображения

1.1.3 Отношения

1.2 Группы (часть 1)

1.2.1 Множества с операцией

1.2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)

1.2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы

1.2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

1.3 Кольца (часть 1)

1.3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами

1.3.2 Кольца многочленов

1.3.3 Поле комплексных чисел

1.4 Кольца (часть 2)

1.5 Группы (часть 2)

2 Линейная алгебра

2.1 Матрицы, базисы, координаты

2.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк

2.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

2.1.3 Преобразования координат при замене базиса

2.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

2.2 Линейные операторы (часть 1)

2.2.1 Ядро и образ линейного оператора

2.2.2 Ранг линейного оператора

2.2.3 Системы линейных уравнений

2.3 Конструкции над векторными пространствами

2.3.1 Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

2.3.2 Двойственное пространство

2.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1 Отступление о симметрических группах

2.4.2 Полилинейные отображения и формы объема

2.4.3 Определитель линейного оператора

2.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица

Навигация

Поиск