Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 110: Строка 110:
 
<li><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор на векторном<br>пространстве <math>{}_K\mathfrak g</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{ad}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i>
 
<li><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор на векторном<br>пространстве <math>{}_K\mathfrak g</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{ad}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i>
 
<li>Алгебра дифференцирований алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
 
<li>Алгебра дифференцирований алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
<li><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\,\mathbb R^n</math>; обозначим через <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math><br>векторные пространства <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> и <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math> соответственно; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm{Vect}(M)</math>, обозначая через <math>\mathrm{der}_v</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathrm{Func}(M)\\f&\mapsto\mathrm df\cdot v\end{align}\!\biggr)</math> (здесь <math>\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,{}^n\mathbb R)</math>), имеем следующий<br>факт: <math>\mathrm{der}_v</math> — дифференцирование алгебры <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{der}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathrm{der}_v\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{der}</math> — инъективный линейный оператор,<br>а также <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{der}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>;<br>(3) определим на векторном пространстве <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> бинарную операцию <math>[\,,\,]</math> так, что для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math> выполнено<br><math>\mathrm{der}_{[v,w]}=[\mathrm{der}_v,\mathrm{der}_w]</math> (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию <math>[\,,\,]</math>); тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math><br>выполнено <math>[v,w]=\mathrm dw\cdot v-\mathrm dv\cdot w</math> (здесь <math>\mathrm dv,\mathrm dw\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm{Mat}(n,\mathbb R))</math>), а также <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относительно операции <math>[\,,\,]</math>.</i></ul>
+
<li><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\,\mathbb R^n</math>; обозначим через <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math><br>алгебру <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> и векторное пространство <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math> соответственно; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm{Vect}(M)</math>, обозначая через <math>\mathrm{der}_v</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathrm{Func}(M)\\f&\mapsto\mathrm df\cdot v\end{align}\!\biggr)</math> (здесь <math>\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,{}^n\mathbb R)</math>), имеем следующий<br>факт: <math>\mathrm{der}_v</math> — дифференцирование алгебры <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{der}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathrm{der}_v\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{der}</math> — инъективный линейный оператор,<br>а также <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{der}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>;<br>(3) определим на векторном пространстве <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> бинарную операцию <math>[\,,\,]</math> так, что для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math> выполнено<br><math>\mathrm{der}_{[v,w]}=[\mathrm{der}_v,\mathrm{der}_w]</math> (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию <math>[\,,\,]</math>); тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math><br>выполнено <math>[v,w]=\mathrm dw\cdot v-\mathrm dv\cdot w</math> (здесь <math>\mathrm dv,\mathrm dw\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm{Mat}(n,\mathbb R))</math>), а также <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относительно операции <math>[\,,\,]</math>.</i></ul><br>
  
<h2>2&nbsp; Билинейная алгебра</h2>
+
<font size="3"><b>Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра курса алгебры</b></font>
 +
<ol><li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.5.1 «Многочлены от операторов».
 +
<li>Строки 5, 6, 7 пункта 1.5.1 «Многочлены от операторов».
 +
<li>Строки 1, 2, 3 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
 +
<li>Строки 1, 2, 4 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
 +
<li>Строки 2, 5, 6 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
 +
<li>Строки 1, 2, 3 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
 +
<li>Строки 1, 4 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
 +
<li>Строки 1, 5 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
 +
<li>Строки 1, 6 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
 +
<li>Строки 1, 2 пункта 1.6.1 «Относительные базисы».
 +
<li>Строки 3, 4 пункта 1.6.1 «Относительные базисы».
 +
<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
 +
<li>Строки 1, 2, 3, 5 пункта 1.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
 +
<li>Строки 1, 2 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
 +
<li>Строки 3, 4 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
 +
<li>Строки 5, 6 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
 +
<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
 +
<li>Строки 2, 5, 6 пункта 1.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
 +
<li>Строки 1, 2, 3 пункта 1.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
 +
<li>Строки 4, 5, 6 пункта 1.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
 +
<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.7.3 «Тело кватернионов».
 +
<li>Строки 5, 6 пункта 1.7.3 «Тело кватернионов».
 +
<li>Строки 1, 2, 3 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
 +
<li>Строки 1, 4 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
 +
<li>Строки 5, 6 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».</ol><br>
  
<h2>3&nbsp; Полилинейная алгебра</h2>
+
<font size="3"><b>Правила проведения экзамена</b></font>
 +
<ul><li>На экзамене можно использовать только написанные выше план материала курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
 +
<li>«Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в плане материала курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.5.1),<br>либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 1.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9).
 +
<li>При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,<br>то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть полностью доказаны).
 +
<li>На экзамене нужно ответить на два вопроса: один с номером от 1 до 16 (то есть по пунктам о линейных операторах), один с номером от 17 до 25<br>(то есть по пунктам об алгебрах). Кроме того, будут заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по<br>всем пунктам второй половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично», будет дана задача.
 +
<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать<br>на экзамене план материала курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).</ul><br>
 +
 
 +
<h2>2&nbsp; Билинейная и полилинейная алгебра</h2>
 
<table cellpadding="6" cellspacing="0">
 
<table cellpadding="6" cellspacing="0">
 
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-<br>менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-<br>ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих<br>пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr><tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии</i>]</td></tr></table></td></tr>
 
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-<br>менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-<br>ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих<br>пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr><tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии</i>]</td></tr></table></td></tr>
 
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)<br>и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)</td></tr></table></td></tr></table>
 
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)<br>и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)</td></tr></table></td></tr></table>

Версия 04:00, 5 июня 2016

1  Линейная алгебра

Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-
научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-
щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического
анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-
нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство
приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.
Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности
малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы
является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной
алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной
двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-
лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.
А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия
Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса,
особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики.
Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и
до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести
квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли
правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться
игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения)
также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной.
То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за
листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб-
разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю-
щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго
пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст-
венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело-
век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-)
По мотивам комментария в Живом Журнале (avva.livejournal.com/2932837.html)

Материал первой половины второго семестра курса алгебры

Содержание первой половины второго семестра курса алгебры

1.1  Матрицы, базисы, координаты
  • 1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
  • 1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
  • 1.1.3  Преобразования координат при замене базиса
  • 1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
1.2  Линейные операторы (часть 1)
  • 1.2.1  Ядро и образ линейного оператора
  • 1.2.2  Ранг линейного оператора
  • 1.2.3  Системы линейных уравнений
1.3  Конструкции над векторными пространствами
  • 1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
  • 1.3.2  Двойственное пространство
1.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель
  • 1.4.1  Отступление о симметрических группах
  • 1.4.2  Полилинейные отображения и формы объема
  • 1.4.3  Определитель линейного оператора
  • 1.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

Материал второй половины второго семестра курса алгебры

1.5  Линейные операторы (часть 2)

1.5.1  Многочлены от операторов
  • Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
  • Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
  • Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
  • Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
  • Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и ; тогда .
  • Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    , и , где , и попарно взаимно просты; тогда .
  • Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
  • Спектр оператора: ; если , то .
  • Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
  • Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
  • Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
  • Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
    (2) ;
    (3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора
  • Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
  • Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
  • Относительные геометрические кратности: и . Утверждение: .
  • Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (2) (то есть раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
    (3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора );
    (3') .
  • Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) и .
  • Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
    это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
    (1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
    (2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующий факт: для любых
    выполнено , а также — нильпотентный оператор и .

1.6  Линейные операторы (часть 3)

1.6.1  Относительные базисы
  • Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
  • Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.

    Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) — базис в относительно ;
    (1') — независимое подмножество в и ;
    (2) — максимальное независимое подмножество в относительно ;
    (3) — минимальное порождающее подмножество в относительно .

    Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
    (2) из любого конечного порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .

    Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
    относительно ; тогда — базис в относительно .

  • Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    обозначим через , , пространства , , соответственно; пусть — независимое подмножество в
    относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно .
  • Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и ; тогда .
1.6.2  Жорданова нормальная форма оператора
  • Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
  • Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть относительные геометрические кратности .
  • Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
    , — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что .
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
    любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
    (то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
1.6.3  Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике
  • Утверждение: пусть и ; тогда . Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
  • Экспонента от оператора: . Утверждение: пусть ; тогда . Утверждение: .
  • Однородная система линейных дифференциальных уравнений: (, ). Решение: ().
  • Сведе́ние уравнения к системе уравнений . Фундаментальная система решений.
  • Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: и .
  • Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: — плотность вероятности, — энергия.

1.7  Алгебры

1.7.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • -Алгебра — векторное пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из .
  • Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
  • Примеры алгебр: -алгебры , , , , , ; -алгебры , с векторным умножением, .
  • Структурные константы алгебры: . Утверждение: массив определяет умножение в -алгебре .
  • Теорема Кэли для алгебр. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство над
    полем , получающееся из -алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
    пространстве (то есть элемент -алгебры );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный гомоморфизм алгебр с .
  • Алгебра с делением: . Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
1.7.2  Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных
  • Тензорное произведение полилинейных форм: . Свойства операции .
  • Утверждение: пусть и ; тогда множество — базис пространства .
  • Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): . Утверждение: — ассоциативная -алгебра с .
  • Моном (слово) от свободных переменных степени : (). Моноид слов .
  • Пространство однородных многочленов степени : . Алгебра многочленов: .
  • Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; обозначим через число ;
    тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение , — изоморфизм алгебр с .
1.7.3  Тело кватернионов
  • -Алгебра кватернионов: , где и , , .
  • Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
  • Сопряжение: . Модуль: . Чистые кватернионы: .
  • Теорема о свойствах кватернионов.
    (1) Для любых и выполнено .
    (2) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
    (3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — антиавтоморфизм алгебры ).
    (4) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
  • Трехмерная сфера: . Утверждение: пусть ; тогда и .
  • Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение — инъективный
    гомоморфизм алгебр с , и его образ есть (и, значит, ).
1.7.4  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  • Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность (), тождество Якоби ().
  • Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : пространство с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
  • Примеры алгебр Ли: , , с векторным умножением ( в алгебре Ли ).
  • Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и -алгебра Ли; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
    пространстве (то есть элемент алгебры Ли );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — гомоморфизм алгебр Ли.
  • Алгебра дифференцирований алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
  • Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть и — открытое подмножество в ; обозначим через и
    алгебру и векторное пространство соответственно; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение (здесь ), имеем следующий
    факт: — дифференцирование алгебры (то есть элемент алгебры Ли );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный линейный оператор,
    а также — подалгебра алгебры Ли ;
    (3) определим на векторном пространстве бинарную операцию так, что для любых выполнено
    (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию ); тогда для любых
    выполнено (здесь ), а также — алгебра Ли относительно операции .

Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра курса алгебры

  1. Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.5.1 «Многочлены от операторов».
  2. Строки 5, 6, 7 пункта 1.5.1 «Многочлены от операторов».
  3. Строки 1, 2, 3 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
  4. Строки 1, 2, 4 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
  5. Строки 2, 5, 6 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
  6. Строки 1, 2, 3 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
  7. Строки 1, 4 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
  8. Строки 1, 5 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
  9. Строки 1, 6 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
  10. Строки 1, 2 пункта 1.6.1 «Относительные базисы».
  11. Строки 3, 4 пункта 1.6.1 «Относительные базисы».
  12. Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
  13. Строки 1, 2, 3, 5 пункта 1.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
  14. Строки 1, 2 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
  15. Строки 3, 4 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
  16. Строки 5, 6 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
  17. Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
  18. Строки 2, 5, 6 пункта 1.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
  19. Строки 1, 2, 3 пункта 1.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
  20. Строки 4, 5, 6 пункта 1.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
  21. Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.7.3 «Тело кватернионов».
  22. Строки 5, 6 пункта 1.7.3 «Тело кватернионов».
  23. Строки 1, 2, 3 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
  24. Строки 1, 4 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
  25. Строки 5, 6 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».

Правила проведения экзамена

  • На экзамене можно использовать только написанные выше план материала курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
  • «Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в плане материала курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.5.1),
    либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 1.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9).
  • При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,
    то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть полностью доказаны).
  • На экзамене нужно ответить на два вопроса: один с номером от 1 до 16 (то есть по пунктам о линейных операторах), один с номером от 17 до 25
    (то есть по пунктам об алгебрах). Кроме того, будут заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по
    всем пунктам второй половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично», будет дана задача.
  • При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать
    на экзамене план материала курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).

2  Билинейная и полилинейная алгебра

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)
или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-
менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.
Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-
ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих
пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.
Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии
(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)
и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)