Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 83: Строка 83:
 
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — векторное пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из <math>K</math>.
 
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — векторное пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из <math>K</math>.
 
<li>Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
 
<li>Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
<li>Примеры алгебр: <math>K</math>-алгебры <math>K[x]</math>, <math>K[[x]]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math> и <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением, <math>\mathrm C^0(\mathbb R^n)</math> и <math>\mathrm C^\infty(\mathbb R^n)</math>.
+
<li>Примеры алгебр: <math>K</math>-алгебры <math>K[x]</math>, <math>K[[x]]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{Map}(X,K)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением, <math>\mathrm{Func}(\mathbb R^n)</math>.
 
<li>Структурные константы алгебры: <math>\stackrel em\!\,^i_{j_1,j_2}\!=((e_{j_1}e_{j_2})^e)^i</math>. Утверждение: <i>массив <math>\bigl(\stackrel em\!\,^i_{j_1,j_2}\bigr)_{1\le i,j_1,j_2\le\dim A}</math> определяет умножение в <math>K</math>-алгебре <math>A</math></i>.
 
<li>Структурные константы алгебры: <math>\stackrel em\!\,^i_{j_1,j_2}\!=((e_{j_1}e_{j_2})^e)^i</math>. Утверждение: <i>массив <math>\bigl(\stackrel em\!\,^i_{j_1,j_2}\bigr)_{1\le i,j_1,j_2\le\dim A}</math> определяет умножение в <math>K</math>-алгебре <math>A</math></i>.
 
<li><u>Теорема Кэли для алгебр.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство над полем <math>K</math>,<br>получающееся из <math>K</math>-алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_{A,a}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_{A,a}</math> — эндоморфизм векторного<br>пространства <math>{}_K\!A</math> (то есть элемент <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}({}_K\!A)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{lm}_A</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_{A,a}\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_A</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i>
 
<li><u>Теорема Кэли для алгебр.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство над полем <math>K</math>,<br>получающееся из <math>K</math>-алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_{A,a}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_{A,a}</math> — эндоморфизм векторного<br>пространства <math>{}_K\!A</math> (то есть элемент <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}({}_K\!A)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{lm}_A</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_{A,a}\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_A</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i>

Версия 14:30, 19 мая 2016

1  Линейная алгебра

Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-
научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-
щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического
анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-
нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство
приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.
Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности
малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы
является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной
алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной
двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-
лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.
А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия

Материал первой половины второго семестра курса алгебры

Содержание первой половины второго семестра курса алгебры

1.1  Матрицы, базисы, координаты
  • 1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
  • 1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
  • 1.1.3  Преобразования координат при замене базиса
  • 1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
1.2  Линейные операторы (часть 1)
  • 1.2.1  Ядро и образ линейного оператора
  • 1.2.2  Ранг линейного оператора
  • 1.2.3  Системы линейных уравнений
1.3  Конструкции над векторными пространствами
  • 1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
  • 1.3.2  Двойственное пространство
1.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель
  • 1.4.1  Отступление о симметрических группах
  • 1.4.2  Полилинейные отображения и формы объема
  • 1.4.3  Определитель линейного оператора
  • 1.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

Материал второй половины второго семестра курса алгебры

1.5  Линейные операторы (часть 2)

1.5.1  Многочлены от операторов
  • Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
  • Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
  • Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
  • Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
  • Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и ; тогда .
  • Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    , и , где , и попарно взаимно просты; тогда .
  • Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
  • Спектр оператора: ; если , то .
  • Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
  • Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
  • Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
  • Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
    (2) ;
    (3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора
  • Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
  • Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
  • Относительные геометрические кратности: и . Утверждение: .
  • Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (2) (то есть раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
    (3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора );
    (3') .
  • Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) и .
  • Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
    это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
    (1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
    (2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующие факты: для любых
    выполнено , а также — нильпотентный оператор и .

1.6  Линейные операторы (часть 3)

1.6.1  Относительные базисы
  • Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
  • Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.

    Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) — базис в относительно ;
    (1') — независимое подмножество в и ;
    (2) — максимальное независимое подмножество в относительно ;
    (3) — минимальное порождающее подмножество в относительно .

    Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
    (2) из любого конечного порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .

    Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
    относительно ; тогда — базис в относительно .

  • Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    обозначим через , , пространства , , соответственно; пусть — независимое подмножество в
    относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно .
  • Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и ; тогда .
1.6.2  Жорданова нормальная форма оператора
  • Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
  • Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть относительные геометрические кратности .
  • Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
    , — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что .
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
    любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
    (то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
1.6.3  Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике
  • Утверждение: пусть и ; тогда . Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
  • Экспонента от оператора: . Утверждение: пусть ; тогда . Утверждение: .
  • Однородная система линейных дифференциальных уравнений: (, ). Решение: ().
  • Сведе́ние уравнения к системе уравнений . Фундаментальная система решений.
  • Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: и .
  • Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: — плотность вероятности, — энергия.

1.7  Алгебры

1.7.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • -Алгебра — векторное пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из .
  • Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
  • Примеры алгебр: -алгебры , , , , , ; -алгебры , с векторным умножением, .
  • Структурные константы алгебры: . Утверждение: массив определяет умножение в -алгебре .
  • Теорема Кэли для алгебр. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство над полем ,
    получающееся из -алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — эндоморфизм векторного
    пространства (то есть элемент -алгебры );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный гомоморфизм алгебр с .
  • Алгебра с делением: . Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
1.7.2  Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных
  • Тензорное произведение полилинейных форм: . Свойства операции .
  • Утверждение: пусть и ; тогда множество — базис пространства .
  • Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): . Утверждение: — ассоциативная -алгебра с .
  • Моном (слово) от свободных переменных степени : (). Моноид слов .
  • Пространство однородных многочленов степени : . Алгебра многочленов: .
  • Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; обозначим через число ;
    тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение , — изоморфизм алгебр с .
1.7.3  Тело кватернионов
  • -Алгебра кватернионов: , где и , , .
  • Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
  • Сопряжение: . Модуль: . Чистые кватернионы: .
  • Теорема о свойствах кватернионов.
    (1) Для любых и выполнено .
    (2) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
    (3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — антиавтоморфизм алгебры ).
    (4) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
  • Трехмерная сфера: . Утверждение: пусть ; тогда и .
  • Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение — инъективный
    гомоморфизм алгебр с , и его образ есть (и, значит, ).
1.7.4  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  • Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность () и тождество Якоби ().
  • Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : пространство с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
  • Примеры алгебр Ли: , , с векторным умножением ( в алгебре Ли ).
  • Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и -алгебра Ли; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — эндоморфизм векторного
    пространства (то есть элемент алгебры Ли );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — гомоморфизм алгебр Ли.
  • Алгебра дифференцирований алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
  • Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть ; обозначим через векторное пространство ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение (здесь ), имеем
    следующий факт: — дифференцирование алгебры (то есть элемент алгебры Ли );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный гомоморфизм
    векторных пространств, а также — подалгебра алгебры Ли ;
    (3) определим на векторном пространстве бинарную операцию так, что для любых выполнено
    (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию ); тогда для любых
    выполнено (здесь ), а также — алгебра Ли относительно операции .

2  Билинейная алгебра

3  Полилинейная алгебра

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)
или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-
менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.
Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-
ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих
пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.
Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии
(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)
и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)