Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Версия 22:20, 17 апреля 2016

1 Линейная алгебра

Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-
научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-
щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического
анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-
нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство
приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.
Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности
малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы
является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной
алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной
двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-
лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.

А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия

Материал первой половины второго семестра курса алгебры

Содержание первой половины второго семестра курса алгебры

1.1 Матрицы, базисы, координаты

1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

1.2 Линейные операторы (часть 1)

1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
1.2.2 Ранг линейного оператора
1.2.3 Системы линейных уравнений

1.3 Конструкции над векторными пространствами

1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
1.3.2 Двойственное пространство

1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель

1.4.1 Отступление о симметрических группах
1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
1.4.3 Определитель линейного оператора
1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица

Материал второй половины второго семестра курса алгебры

1.5 Линейные операторы (часть 2)

1.5.1 Многочлены от операторов

Многочлен от оператора: $f(a)=\sum _{k=0}^{\deg f}f_{k}a^{k}$ . Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм колец и векторных пространств.
Кольцо, порожденное оператором: $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm {Im} \,\mathrm {eval} _{a}$ — коммутативное подкольцо и подпространство в $\mathrm {End} (V)$ .
Минимальный многочлен оператора: $\mu _{a}(a)=0$ , $\mu _{a}$ приведен, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\setminus \{0\}\;\land \;f(a)=0\}$ ; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$ .
Утверждение: пусть $a\in \mathrm {End} (V)$ и $f\in K[x]$ ; тогда $a{\bigl (}\mathrm {Ker} \,f(a){\bigr )}\leq \mathrm {Ker} \,f(a)$ и, если $g\in K[x]$ и $f$ делит $g$ , то $\,\mathrm {Ker} \,f(a)\leq \mathrm {Ker} \,g(a)$ .
Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ ,
$f,g\in K[x]$ и $\gcd(f,g)=1$ ; тогда $\,\mathrm {Ker} \,(fg)(a)=\mathrm {Ker} \,f(a)\oplus \mathrm {Ker} \,g(a)$ .
Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ ,
$f\in K[x]$ , $f(a)=0$ и $f=\prod _{i=1}^{t}f_{i}$ , где $t\in \mathbb {N} _{0}$ , $f_{1},\ldots ,f_{t}\in K[x]$ и $f_{1},\ldots ,f_{t}$ попарно взаимно просты; тогда $V=\bigoplus _{i=1}^{t}\mathrm {Ker} \,f_{i}(a)$ .
Проектор (идемпотент): $a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(\mathrm {id} _{V}-a)\oplus \mathrm {Ker} \,a$ . Нильпотентный оператор: $\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}a^{m}=0{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}\mu _{a}=x^{m}{\bigr )}$ .

1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора

Спектр оператора: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}$ ; если $\dim V<\infty$ , то $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\neq \{0\}\}$ .
Характеристический многочлен матрицы: $\chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)$ . Характеристический многочлен оператора: $\chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}$ . Корректность определения.
Утверждение: $\chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a$ . Утверждение: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}$ (и, значит, $|\mathrm {Spec} (a)|\leq \dim V$ ).
Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда $\chi _{a}(a)=0$ .
Две кратности: $\alpha (a,c)$ — кратность $c$ как корня многочлена $\chi _{a}$ (алгебраическая кратность) и $\beta (a,c)$ — кратность $c$ как корня многочлена $\mu _{a}$ .
Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
(1) многочлен $\mu _{a}$ делит многочлен $\chi _{a}$ (и, значит, $\forall \,c\in K\;{\bigl (}\beta (a,c)\leq \alpha (a,c){\bigr )}$ );
(2) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$ ;
(3) если $a$ — нильпотентный оператор, то $\chi _{a}=x^{\dim V}$ .

1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора

Обобщенные собственные подпространства: $V_{j}(a,c)=\mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})^{j}\leq V$ . Корневые подпространства: $V(a,c)=\bigcup _{j=0}^{\infty }V_{j}(a,c)\leq V$ .
Цепь $a$ -инвариантных подпространств: $\{0\}<V_{1}(a,c)<\ldots <V_{p-1}(a,c)<V_{p}(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots$ ; вывод: $V(a,c)=V_{p}(a,c)$ .
Относительные геометрические кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$ и $\gamma (a,c)=\gamma _{1}(a,c)$ . Утверждение: $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$ .
Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ;
тогда следующие условия эквивалентны:
(1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
(2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ );
(3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (это разложение пространства $V$ в прямую сумму собственных подпространств оператора $a$ );
(3') $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$ .
Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ , $c\in K$ ; тогда
(1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta (a,c)\leq j\,\Leftrightarrow \,V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{j}(a,c)$ ;
(2) $\beta (a,c)=\min\{j\in \mathbb {N} _{0}\mid V_{j}(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}$ и $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$ .
Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ ,
$\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$ , то
это условие выполнено для любого оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\mathbb {C}$ ); тогда
(1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (это разложение пространства $V$ в прямую сумму корневых подпространств оператора $a$ );
(2) для любых $c\in \mathrm {Spec} (a)$ , обозначая через $\mathrm {nil} (a,c)$ оператор $(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})|_{V(a,c)\to V(a,c)}$ , имеем следующие факты: для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$
выполнено $\,\mathrm {Ker} \,\mathrm {nil} (a,c)^{j}=V_{j}(a,c)$ , а также $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный оператор и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$ .

1.6 Линейные операторы (часть 3)

1.6.1 Относительные базисы

Независимое подмножество в $V$ относительно $U$ : $\sum _{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow \,f=0$ . Порождающее подмножество в $V$ относительно $U$ : $U+\langle D\rangle =V$ .
Базис в $V$ относительно $U$ : одновременно независимое и порождающее подмножество в $V$ относительно $U$ . Три леммы-упражнения.
Лемма 1 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $U\leq V$ , $E\subseteq V$ ; тогда следующие условия эквивалентны:
(1) $E$ — базис в $V$ относительно $U$ ;
(1') $E$ — независимое подмножество в $V$ и $U\oplus \langle E\rangle =V$ ;
(2) $E$ — максимальное независимое подмножество в $V$ относительно $U$ ;
(3) $E$ — минимальное порождающее подмножество в $V$ относительно $U$ .
Лемма 2 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $\dim V<\infty$ , $U\leq V$ ; тогда
(1) любое независимое подмножество в $V$ относительно $U$ можно дополнить до базиса в $V$ относительно $U$ ;
(2) из любого конечного порождающего подмножества в $V$ относительно $U$ можно выделить базис в $V$ относительно $U$ .
Лемма 3 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $U'\leq U\leq V$ , $E$ — базис в $V$ относительно $U$ , $E'$ — базис в $U$
относительно $U'$ ; тогда $E\cup E'$ — базис в $V$ относительно $U'$ .
Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $j\in \mathbb {N}$ ;
обозначим через $V_{j-1}$ , $V_{j}$ , $V_{j+1}$ пространства $\,\mathrm {Ker} \,a^{j-1}$ , $\mathrm {Ker} \,a^{j}$ , $\mathrm {Ker} \,a^{j+1}$ соответственно; пусть $C$ — независимое подмножество в $V_{j+1}$
относительно $V_{j}$ ; тогда $a|_{C\to a(C)}$ — биекция и $a(C)$ — независимое подмножество в $V_{j}$ относительно $V_{j-1}$ .
Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ ,
$\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $j\in \mathbb {N}$ ; тогда $\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j-1}\geq \dim \mathrm {Ker} \,a^{j+1}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}$ .

1.6.2 Жорданова нормальная форма оператора

Жордановы клетки: $\mathrm {jc} _{n}(0)=\mathrm {se} _{1}^{2}+\mathrm {se} _{2}^{3}+\ldots +\mathrm {se} _{n-1}^{n}$ и $\mathrm {jc} _{n}(c)=c\cdot \mathrm {id} _{n}+\mathrm {jc} _{n}(0)$ . Прямая сумма матриц: $a\oplus b\oplus \ldots =\!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&\ddots \end{smallmatrix}}{\Biggr )}$ .
Диаграммы Юнга. Жорданов блок: $\mathrm {jb} _{\Delta }(c)=\mathrm {jc} _{n_{1}}(c)\oplus \ldots \oplus \mathrm {jc} _{n_{r}}(c)$ , где числа $n_{1},\ldots ,n_{r}$ суть длины строк диаграммы Юнга $\Delta$ .
Диаграмма Юнга $\Delta (a,c)$ : высоты столбцов диаграммы $\Delta (a,c)$ суть относительные геометрические кратности $\gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)$ .
Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$ , $\dim V<\infty$ ,
$a\in \mathrm {End} (V)$ , $a$ — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что $a_{e}^{e}=\mathrm {jb} _{\Delta (a,0)}(0)$ .
Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$
и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$ , то это условие выполнено для
любого оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\mathbb {C}$ ); тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что
$a_{e}^{e}=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\mathrm {jb} _{\Delta (a,c)}(c)$ (то есть матрица $a_{e}^{e}$ раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
Экспонента от оператора: $\mathrm {e} ^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Вычисление многочленов и рядов от матриц при помощи теоремы о жордановой нормальной форме.
Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками. Спектр и собственные функции.

1.7 Алгебры

1.7.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами

1.7.2 Алгебра с делением (тело) кватернионов

1.7.3 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных

1.7.4 Алгебры Ли (основные определения и примеры)

2 Билинейная алгебра

3 Полилинейная алгебра

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)
или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-
менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.
Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-
ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих
пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.

Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии

(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)
и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)

@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 <li>Цепь <math>a</math>-инвариантных подпространств: <math>\{0\}<V_1(a,c)<\ldots<V_{p-1}(a,c)<V_p(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots</math>; вывод: <math>V(a,c)=V_p(a,c)</math>.
 <li>Относительные геометрические кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math> и <math>\gamma(a,c)=\gamma_1(a,c)</math>. Утверждение: <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>.
-<li><u>Теорема о диагонализуемых операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>;<br>тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть <math>\forall\,c\in\mathrm{Spec}(a)\;\bigl(\beta(a,c)=1\bigr)</math>);<br>(3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму собственных подпространств оператора <math>a</math>);<br>(3') <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
+<li><u>Теорема о диагонализуемых операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>;<br>тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть <math>\mu_a</math> раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math>);<br>(3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму собственных подпространств оператора <math>a</math>);<br>(3') <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
 <li><u>Лемма об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\,\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(2) <math>\beta(a,c)=\min\{j\in\mathbb N_0\mid V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}</math> и <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>.</i>
-<li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то<br>это условие выполнено для любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму корневых подпространств оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>, обозначая через <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> оператор <math>(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> —<br>нильпотентный оператор, <math>\mu_{\mathrm{nil}(a,c)}=x^{\beta(a,c)}</math> и <math>\chi_{\mathrm{nil}(a,c)}=x^{\alpha(a,c)}</math> (и, значит, <math>\alpha(a,c)=\dim V(a,c)</math>).</i></ul>
+<li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то<br>это условие выполнено для любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму корневых подпространств оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>, обозначая через <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> оператор <math>(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>, имеем следующие факты: для любых <math>j\in\mathbb N_0</math><br>выполнено <math>\,\mathrm{Ker}\,\mathrm{nil}(a,c)^j=V_j(a,c)</math>, а также <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный оператор и <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>.</i></ul>
 <h3>1.6&nbsp; Линейные операторы (часть 3)</h3>
@@ Строка 70: / Строка 70: @@
 <li><u>Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>a</math> — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e=\mathrm{jb}_{\Delta(a,0)}(0)</math>.</i>
 <li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math><br>и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для<br>любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что<br><math>a_e^e=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math> (то есть матрица <math>a_e^e</math> раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).</i>
-<li>Экспонента оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Вычисление степеней и экспоненты оператора при помощи теоремы о жордановой нормальной форме.</ul>
+<li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Вычисление многочленов и рядов от матриц при помощи теоремы о жордановой нормальной форме.
+<li>Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками. Спектр и собственные функции.</ul>
 <h3>1.7&nbsp; Алгебры</h3>