Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 49: Строка 49:
 
<ul><li>Обобщенные собственные подпространства: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j\le V</math>. Корневые подпространства: <math>V(a,c)=\bigcup_{j=0}^\infty V_j(a,c)\le V</math>.
 
<ul><li>Обобщенные собственные подпространства: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j\le V</math>. Корневые подпространства: <math>V(a,c)=\bigcup_{j=0}^\infty V_j(a,c)\le V</math>.
 
<li>Цепь <math>a</math>-инвариантных подпространств: <math>\{0\}<V_1(a,c)<\ldots<V_{p-1}(a,c)<V_p(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots</math>; вывод: <math>V(a,c)=V_p(a,c)</math>.
 
<li>Цепь <math>a</math>-инвариантных подпространств: <math>\{0\}<V_1(a,c)<\ldots<V_{p-1}(a,c)<V_p(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots</math>; вывод: <math>V(a,c)=V_p(a,c)</math>.
<li>Обобщенные геометрические кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math> и <math>\gamma(a,c)=\gamma_1(a,c)</math>. Утверждение: <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>.
 
 
<li>Относительные геометрические кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math> и <math>\gamma(a,c)=\gamma_1(a,c)</math>. Утверждение: <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>.
 
<li>Относительные геометрические кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math> и <math>\gamma(a,c)=\gamma_1(a,c)</math>. Утверждение: <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>.
 
<li><u>Теорема о диагонализуемых операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>;<br>тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть <math>\forall\,c\in\mathrm{Spec}(a)\;\bigl(\beta(a,c)=1\bigr)</math>);<br>(3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму собственных подпространств оператора <math>a</math>);<br>(3') <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
 
<li><u>Теорема о диагонализуемых операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>;<br>тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть <math>\forall\,c\in\mathrm{Spec}(a)\;\bigl(\beta(a,c)=1\bigr)</math>);<br>(3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму собственных подпространств оператора <math>a</math>);<br>(3') <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
Строка 68: Строка 67:
 
<ul><li>Жордановы клетки: <math>\mathrm{jc}_n(0)=\mathrm{se}_1^2+\mathrm{se}_2^3+\ldots+\mathrm{se}_{n-1}^n</math> и <math>\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathrm{jc}_n(0)</math>. Прямая сумма матриц: <math>a\oplus b\oplus\ldots=\!\Biggl(\begin{smallmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&\ddots\end{smallmatrix}\Biggr)</math>.
 
<ul><li>Жордановы клетки: <math>\mathrm{jc}_n(0)=\mathrm{se}_1^2+\mathrm{se}_2^3+\ldots+\mathrm{se}_{n-1}^n</math> и <math>\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathrm{jc}_n(0)</math>. Прямая сумма матриц: <math>a\oplus b\oplus\ldots=\!\Biggl(\begin{smallmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&\ddots\end{smallmatrix}\Biggr)</math>.
 
<li>Диаграммы Юнга. Жорданов блок: <math>\mathrm{jb}_\Delta(c)=\mathrm{jc}_{n_1}(c)\oplus\ldots\oplus\mathrm{jc}_{n_r}(c)</math>, где числа <math>n_1,\ldots,n_r</math> суть длины строк диаграммы Юнга <math>\Delta</math>.
 
<li>Диаграммы Юнга. Жорданов блок: <math>\mathrm{jb}_\Delta(c)=\mathrm{jc}_{n_1}(c)\oplus\ldots\oplus\mathrm{jc}_{n_r}(c)</math>, где числа <math>n_1,\ldots,n_r</math> суть длины строк диаграммы Юнга <math>\Delta</math>.
<li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> суть обобщенные геометрические кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>.
+
<li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> суть относительные геометрические кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>.
 
<li><u>Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>a</math> — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e=\mathrm{jb}_{\Delta(a,0)}(0)</math>.</i>
 
<li><u>Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>a</math> — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e=\mathrm{jb}_{\Delta(a,0)}(0)</math>.</i>
 
<li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math><br>и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для<br>любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что<br><math>a_e^e=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math> (то есть матрица <math>a_e^e</math> раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).</i>
 
<li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math><br>и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для<br>любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что<br><math>a_e^e=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math> (то есть матрица <math>a_e^e</math> раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).</i>

Версия 05:00, 16 апреля 2016

1  Линейная алгебра

Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-
научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-
щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического
анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-
нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство
приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.
Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности
малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы
является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной
алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной
двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-
лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.
А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия

Материал первой половины второго семестра курса алгебры

Содержание первой половины второго семестра курса алгебры

1.1  Матрицы, базисы, координаты
  • 1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
  • 1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
  • 1.1.3  Преобразования координат при замене базиса
  • 1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
1.2  Линейные операторы (часть 1)
  • 1.2.1  Ядро и образ линейного оператора
  • 1.2.2  Ранг линейного оператора
  • 1.2.3  Системы линейных уравнений
1.3  Конструкции над векторными пространствами
  • 1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
  • 1.3.2  Двойственное пространство
1.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель
  • 1.4.1  Отступление о симметрических группах
  • 1.4.2  Полилинейные отображения и формы объема
  • 1.4.3  Определитель линейного оператора
  • 1.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

Материал второй половины второго семестра курса алгебры

1.5  Линейные операторы (часть 2)

1.5.1  Многочлены от операторов
  • Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
  • Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
  • Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
  • Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
  • Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и ; тогда .
  • Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    , и , где , и попарно взаимно просты; тогда .
  • Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
  • Спектр оператора: ; если , то .
  • Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
  • Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
  • Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
  • Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
    (2) ;
    (3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора
  • Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
  • Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
  • Относительные геометрические кратности: и . Утверждение: .
  • Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (2) (то есть );
    (3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора );
    (3') .
  • Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) и .
  • Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
    это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
    (1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
    (2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующие факты:
    нильпотентный оператор, и (и, значит, ).

1.6  Линейные операторы (часть 3)

1.6.1  Относительные базисы
  • Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
  • Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.

    Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) — базис в относительно ;
    (1') — независимое подмножество в и ;
    (2) — максимальное независимое подмножество в относительно ;
    (3) — минимальное порождающее подмножество в относительно .

    Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
    (2) из любого конечного порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .

    Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
    относительно ; тогда — базис в относительно .

  • Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    обозначим через , , пространства , , соответственно; пусть — независимое подмножество в
    относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно .
  • Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и ; тогда .
1.6.2  Жорданова нормальная форма оператора
  • Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
  • Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть относительные геометрические кратности .
  • Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
    , — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что .
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
    любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
    (то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
  • Экспонента оператора: . Вычисление степеней и экспоненты оператора при помощи теоремы о жордановой нормальной форме.

1.7  Алгебры

1.7.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
1.7.2  Алгебра с делением (тело) кватернионов
1.7.3  Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных
1.7.4  Алгебры Ли (основные определения и примеры)

2  Билинейная алгебра

3  Полилинейная алгебра

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)
или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-
менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.
Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-
ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих
пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.
Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии
(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)
и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)