Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Версия 19:50, 20 марта 2016

1  Линейная алгебра

1.1  Матрицы, базисы, координаты

1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Пространство столбцов: ${\displaystyle K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)}$. Пространство строк: ${\displaystyle {}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)}$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{e_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{e_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{e^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Умножение матриц: ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
• Выделение строк матрицы: ${\displaystyle a^{i}=e^{i}\cdot a}$. Выделение столбцов матрицы: ${\displaystyle a_{j}=a\cdot e_{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a}$ и ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}}$.
• Транспонирование матрицы: ${\displaystyle (a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}}$. Утверждение: отображение ${\displaystyle \,a\mapsto a^{\mathtt {T}}}$ — антиавтоморфизм кольца ${\displaystyle \,\mathrm {Mat} (n,K)}$.

1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств между ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle K^{\dim V}}$.
• Матрица гомоморфизма: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}}$. Утверждение: ${\displaystyle a(e)=h\cdot a_{e}^{h}}$ и ${\displaystyle \forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.
• Изоморфизм векторных пространств между ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Mat} (\dim Y,\dim V,K)}$. Изоморфизм колец между ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Mat} (\dim V,K)}$.

1.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}={\bigl (}\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}{\bigr )}^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{\dim V}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат эндоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{\dim V}\sum _{l=1}^{\dim V}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,e_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,e_{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)e_{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,e_{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{j}^{j})}$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle p,n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0}}$ и элементарные матрицы ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$ размера ${\displaystyle p\times p}$ над полем ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a}$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно ${\displaystyle \dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ (и, значит, не зависит от матриц ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

1.2  Линейные операторы

1.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: ${\displaystyle V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U=\dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle U=V}$.
• Ядро линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V}$. Образ линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$; тогда ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда выполнено ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V=\dim Y<\infty }$;
  тогда выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Isom} (V,Y)}$.

1.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a}$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)\leq \min(\dim V,\dim Y)}$. Утверждение: ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y}$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) для любых матриц ${\displaystyle g_{1}\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g_{2}\in \mathrm {GL} (n,K)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {rk} (g_{1}\cdot a\cdot g_{2})=\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g_{1}\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g_{2}\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g_{1}\cdot a\cdot g_{2}=e_{1}^{1}+e_{2}^{2}+\ldots +e_{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ и ${\displaystyle \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})}$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

1.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\cdot v_{0}=y}$; тогда ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle y\in K^{p}}$; тогда ${\displaystyle \exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))}$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.

1.3  Конструкции над векторными пространствами

1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства

• Прямая сумма векторных пространств: ${\displaystyle U\oplus W}$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$;
  обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана);
  (3) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Isom} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V}$.

• Инвариантное относительно эндоморфизма подпространство: ${\displaystyle a(U)\leq U}$. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
• Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
• Факторпространство ${\displaystyle V/U}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle A}$ — базис в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B}$ — базис в ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle A\subseteq B}$; тогда ${\displaystyle \{b+U\mid b\in B\setminus A\}}$ — базис в ${\displaystyle V/U}$.
• Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.

1.3.2  Двойственное пространство

• Двойственное пространство: ${\displaystyle V^{*}=\mathrm {Hom} (V,K)}$. Двойственный базис: ${\displaystyle e_{j}^{*}(v)=(v^{e})^{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\sum _{j=1}^{\dim V}\lambda (e_{j})e_{j}^{*}}$. Столбец ${\displaystyle e^{*}}$.
• Строка координат ковектора. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}^{*}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}}$, ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ и ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{\dim V}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$.
• Отождествление пространств ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{**}}$ в случае конечномерного пространства ${\displaystyle V}$ при помощи изоморфизма ${\displaystyle \,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Сводная таблица о координатах. (В таблице ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$.)

1.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

1.4.1  Отступление о симметрических группах

• Симметрическая группа: ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})}$. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
• Утверждение: ${\displaystyle (i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})}$. Утверждение: ${\displaystyle u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))}$.
• Транспозиции ${\displaystyle \{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}}$ и фундаментальные транспозиции ${\displaystyle \{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}}$. Число циклов ${\displaystyle \kappa (u)}$.
• Лемма об умножении на транспозицию. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}$, ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$, ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i<j}$; тогда
  (1) если числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежат одному циклу в перестановке ${\displaystyle u}$, то ${\displaystyle \kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1}$;
  (2) если числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежат разным циклам в перестановке ${\displaystyle u}$, то ${\displaystyle \kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1}$.
• Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$; обозначим через ${\displaystyle l}$ число ${\displaystyle n-\kappa (u)}$; тогда
  (1) существуют такие транспозиции ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}}$, что ${\displaystyle u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}}$;
  (2) для любого ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$ из существования таких транспозиций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}}$, что ${\displaystyle u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}}$, следует, что ${\displaystyle t\geq l}$ и ${\displaystyle t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)}$.
• Знак перестановки: ${\displaystyle \mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {sgn} }$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: ${\displaystyle \mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\!\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}\trianglelefteq \mathrm {S} _{n}}$.

1.4.2  Полилинейные отображения и формы объема

• Пространства полилинейных отображений ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k};Y)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Multi} ^{k}(V;Y)}$ и полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k})}$ и ${\displaystyle \mathrm {Multi} ^{k}V}$.
• Пространство симметричных полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {SMulti} ^{k}V}$. Пространство антисимметричных полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {AMulti} ^{k}V}$.
• Лемма об антисимметричных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {Multi} ^{k}V}$; тогда
  следующие условия эквивалентны (если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=2}$, то исключаются импликации (2)${\displaystyle \;\Rightarrow \,}$(1) и (3)${\displaystyle \;\Rightarrow \,}$(1)):
  (1) ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} ^{k}V}$;
  (2) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ и таких ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$, что ${\displaystyle u}$ — транспозиция, выполнено ${\displaystyle \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$;
  (3) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$ выполнено ${\displaystyle \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$.
• Пространство форм объема ${\displaystyle \mathrm {AMulti} ^{n}V}$, где ${\displaystyle n=\dim V}$. Форма объема, связанная с базисом: ${\displaystyle \mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}}$.
• Теорема о формах объема. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} ^{n}V}$ выполнено ${\displaystyle \omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ множество ${\displaystyle \{\mathrm {vol} ^{e}\}}$ — базис пространства ${\displaystyle \,\mathrm {AMulti} ^{n}V}$;
  (3) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} ^{n}V\setminus \{0\}}$ выполнено ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0}$.

1.4.3  Определитель линейного оператора

• Определитель линейного оператора: ${\displaystyle \omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))=\det a\cdot \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})}$, где ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} ^{n}V\setminus \{0\}}$. Корректность определения.
• Теорема о главных свойствах определителя. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \det a\neq 0\}}$ (напоминание: ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }}$);
  (2) для любых ${\displaystyle a,b\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \det(a\circ b)=\det a\cdot \det b}$
  (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {GL} (V)&\to K^{\times }\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ определено корректно и является гомоморфизмом групп).
• Определитель матрицы: ${\displaystyle \det a=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,a_{1}^{u(1)}\!\ldots a_{n}^{u(n)}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда ${\displaystyle \det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \det a=\det a^{\mathtt {T}}}$ и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
• Специальные линейные группы: ${\displaystyle \mathrm {SL} (V)=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (V)}$ и ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,K)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (n,K)}$.

1.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

• Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: ${\displaystyle \mathrm {adj} (a)_{j}^{i}=(-1)^{i+j}}$${\displaystyle {\bigl (}}$дополнительный минор матрицы ${\displaystyle a}$ в позиции ${\displaystyle (j,i)}$${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Теорема о базисном миноре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)}$ равен максимальному среди всех таких чисел
  ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$, что в матрице ${\displaystyle a}$ существует такая подматрица ${\displaystyle a'}$ размера ${\displaystyle t\times t}$, что ${\displaystyle \det a'\neq 0}$.
• Теорема о присоединенной матрице. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,K)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \forall \,i,k\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}{\Bigr )}}$ и ${\displaystyle \forall \,j,l\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}{\Bigr )}}$ (в частности, при ${\displaystyle i=k}$ и при ${\displaystyle j=l}$
  выполнено ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a{\Bigr )}}$ и ${\displaystyle \forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a{\Bigr )}}$ соответственно);
  (2) ${\displaystyle a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}} }$ и, если ${\displaystyle a\in \mathrm {GL} (n,K)}$, то ${\displaystyle a^{-1}=(\det a)^{-1}\!\cdot \mathrm {adj} (a)}$.
• Правило Крамера. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {GL} (n,K)}$, ${\displaystyle y\in K^{n}}$ и ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n\}}$; тогда ${\displaystyle (a^{-1}\!\cdot y)^{j}={\frac {\det \!{\bigl (}a_{1}\;\ldots \;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots \;a_{n}{\bigr )}}{\det a}}}$.

1.5  Линейные операторы (revisited)

1.5.1  Многочлены от операторов

• Многочлен от оператора: ${\displaystyle f(a)=\sum _{k=0}^{\deg f}f_{k}a^{k}}$. Эвалюация ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм колец и векторных пространств.
• Кольцо, порожденное оператором: ${\displaystyle K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm {Im} \,\mathrm {eval} _{a}}$ — коммутативное подкольцо и подпространство в ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$.
• Минимальный многочлен оператора: ${\displaystyle \mu _{a}(a)=0}$, ${\displaystyle \mu _{a}}$ приведен, ${\displaystyle \deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\setminus \{0\}\;\land \;f(a)=0\}}$; ${\displaystyle (\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]}$.
• Лемма о многочленах и операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,f(a)\leq \mathrm {Ker} \,(fg)(a)}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,(fg)(a)\leq \mathrm {Im} \,f(a)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle f\in K[x]}$ выполнено ${\displaystyle a{\bigl (}\mathrm {Ker} \,f(a){\bigr )}\leq \mathrm {Ker} \,f(a)}$ и ${\displaystyle a{\bigl (}\mathrm {Im} \,f(a){\bigr )}\leq \mathrm {Im} \,f(a)}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$,
  ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ и ${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,(fg)(a)=\mathrm {Ker} \,f(a)\oplus \mathrm {Ker} \,g(a)}$.
• Проектор (идемпотент): ${\displaystyle a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(\mathrm {id} _{V}-a)\oplus \mathrm {Ker} \,a}$. Нильпотентный оператор: ${\displaystyle \exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}a^{m}=0{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}\mu _{a}=x^{m}{\bigr )}}$.

1.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора

• Спектр оператора: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}}$; если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\neq \{0\}\}}$.
• Характеристический многочлен матрицы: ${\displaystyle \chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)}$. Характеристический многочлен оператора: ${\displaystyle \chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}}$. Корректность определения.
• Утверждение: ${\displaystyle \chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}}$ (и, значит, ${\displaystyle |\mathrm {Spec} (a)|\leq n}$).
• Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \chi _{a}(a)=0}$.
• Две кратности: ${\displaystyle \alpha (a,c)}$ — кратность ${\displaystyle c}$ как корня многочлена ${\displaystyle \chi _{a}}$ (алгебраическая кратность) и ${\displaystyle \beta (a,c)}$ — кратность ${\displaystyle c}$ как корня многочлена ${\displaystyle \mu _{a}}$.
• Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) многочлен ${\displaystyle \mu _{a}}$ делит многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ (и, значит, ${\displaystyle \forall \,c\in K\;{\bigl (}\beta (a,c)\leq \alpha (a,c){\bigr )}}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}}$;
  (3) если ${\displaystyle a}$ — нильпотентный оператор, то ${\displaystyle \chi _{a}=x^{\dim V}}$.