Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 28: | Строка 28: | ||
<li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. | ||
<p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p> | <p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p> | ||
− | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, | + | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul> |
<h3>1.2 Линейные операторы</h3> | <h3>1.2 Линейные операторы</h3> | ||
Строка 60: | Строка 60: | ||
<h5>1.3.2 Двойственное пространство</h5> | <h5>1.3.2 Двойственное пространство</h5> | ||
<ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e_j^*(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\sum_{j=1}^{\dim V}\lambda(e_j)e_j^*</math>. Столбец <math>e^*</math>. | <ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e_j^*(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\sum_{j=1}^{\dim V}\lambda(e_j)e_j^*</math>. Столбец <math>e^*</math>. | ||
− | <li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <i><math>\tilde e^*=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^{\dim V}(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math></i>.</ul> | + | <li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <i><math>\tilde e^*=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^{\dim V}(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math></i>. |
+ | <li>Отождествление пространств <math>V</math> и <math>V^{**}</math> в случае конечномерного пространства <math>V</math> при помощи изоморфизма <math>v\mapsto\bigl(\lambda\mapsto\lambda(v)\bigr)</math>.</ul> | ||
<h3>1.4 Полилинейные отображения и определитель</h3> | <h3>1.4 Полилинейные отображения и определитель</h3> | ||
− | |||
<h5>1.4.1 Отступление о симметрических группах</h5> | <h5>1.4.1 Отступление о симметрических группах</h5> | ||
+ | <ul><li>Симметрические группы: <math>\mathrm S_n=\mathrm S(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановки. | ||
+ | <li>Утверждение: <math>(i_1\;\,\ldots\;\,i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\,\ldots\;\,j_m)=(i_1\;\,\ldots\;\,i_l\;\,k\;\,j_1\;\,\ldots\;\,j_m)</math>. Утверждение: <math>u\circ(i_1\;\,\ldots\;\,i_l)\circ u^{-1}=(u(i_1)\;\,\ldots\;\,u(i_l))</math>. | ||
+ | <li>Транспозиции <math>\{(i\;\,j)\mid i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i<j\}</math> и фундаментальные транспозиции <math>\{(i\;\,i+1)\mid i\in\{1,\ldots,n-1\}\}</math>. Число циклов <math>\kappa(u)</math>. | ||
+ | <li><u>Лемма об умножении на транспозицию.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\setminus\{1\}</math>, <math>u\in\mathrm S_n</math>, <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i\ne j</math>; тогда<br>(1) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат одному циклу в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)+1</math>;<br>(2) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат разным циклам в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)-1</math>.</i> | ||
+ | <li><u>Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>u\in\mathrm S_n</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>n-\kappa(u)</math>; тогда<br>(1) существуют такие транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_l</math>;<br>(2) для любого <math>t\in\mathbb N_0</math> из существования таких транспозиций <math>u_1,\ldots,u_t\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_t</math>, следует, что <math>t\ge l</math> и <math>t\equiv l\;(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i> | ||
+ | <li>Знак перестановки: <math>\mathrm{sgn}(u)=(-1)^{n-\kappa(u)}</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{sgn}</math> — гомоморфизм групп</i>. Знакопеременная группа: <math>\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}</math>.</ul> | ||
<h5>1.4.2 Пространства полилинейных отображений</h5> | <h5>1.4.2 Пространства полилинейных отображений</h5> |
Версия 03:45, 21 февраля 2016
1 Векторные пространства
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; обозначим через
отображение, действующее из в по правилу для любых и ; тогда
(1) , и ;
(2) если , то ;
(3) . - Инвариантное подпространство эндоморфизма: . Вид матрицы эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
- Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
- Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
- Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2 Двойственное пространство
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
- Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
- Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
1.4 Полилинейные отображения и определитель
1.4.1 Отступление о симметрических группах
- Симметрические группы: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановки.
- Утверждение: . Утверждение: .
- Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
- Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
(1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
(2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то . - Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
(1) существуют такие транспозиции , что ;
(2) для любого из существования таких транспозиций , что , следует, что и . - Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .