Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 37: Строка 37:
 
<p><u>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p>
 
<p><u>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p>
 
<li><u>Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i>
 
<li><u>Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i>
<li><u>Принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Bij}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)</math>.</i></ul>
+
<li><u>Принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Isom}(V,Y)</math>.</i></ul>
  
 
<h5>1.2.2&nbsp; Ранг линейного оператора</h5>
 
<h5>1.2.2&nbsp; Ранг линейного оператора</h5>
Строка 52: Строка 52:
 
<h5>1.3.1&nbsp; Прямая сумма векторных пространств и факторпространства</h5>
 
<h5>1.3.1&nbsp; Прямая сумма векторных пространств и факторпространства</h5>
 
<ul><li>Прямая сумма векторных пространств: <math>U\oplus W</math>. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
 
<ul><li>Прямая сумма векторных пространств: <math>U\oplus W</math>. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
<p><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U,W\le V</math>; обозначим через<br><math>\mathrm{add}_{U,W}</math> отображение, действующее из <math>U\oplus W</math> в <math>V</math> по правилу <math>(u,w)\mapsto u+w</math> для любых <math>u\in U</math> и <math>w\in W</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Hom}(U\oplus W,V)</math>, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{add}_{U,W}\cong U\cap W</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{add}_{U,W}=U+W</math>;<br>(2) если <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math>;<br>(3) <math>\mathrm{add}_{U,W}</math> — изоморфизм векторных пространств, если и только если <math>U\cap W=\{0\}</math> и <math>U+W=V</math>.</i></p>
+
<p><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U,W\le V</math>; обозначим через<br><math>\mathrm{add}_{U,W}</math> отображение, действующее из <math>U\oplus W</math> в <math>V</math> по правилу <math>(u,w)\mapsto u+w</math> для любых <math>u\in U</math> и <math>w\in W</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Hom}(U\oplus W,V)</math>, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{add}_{U,W}\cong U\cap W</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{add}_{U,W}=U+W</math>;<br>(2) если <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math>;<br>(3) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Isom}(U\oplus W,V)\,\Leftrightarrow\,\forall\,v\in V\;\exists!\,u\in U,\,w\in W\;\bigl(v=u+w\bigr)\,\Leftrightarrow\,U\cap W=\{0\}\;\land\;U+W=V</math>.</i></p>
 
<li>Инвариантное подпространство эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Вид матрицы эндоморфизма в случае наличия инвариантного подпространства.
 
<li>Инвариантное подпространство эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Вид матрицы эндоморфизма в случае наличия инвариантного подпространства.
 
<li>Вид матрицы эндоморфизма в случае наличия разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
 
<li>Вид матрицы эндоморфизма в случае наличия разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
<li>Факторпространство: <math>V/U</math>.</ul>
+
<li>Факторпространство <math>V/U</math>. Базис факторпространства.</ul>
  
 
<h5>1.3.2&nbsp; Двойственное пространство</h5>
 
<h5>1.3.2&nbsp; Двойственное пространство</h5>
 +
<ul><li>Двойственное пространство <math>V^*</math>.</ul>
  
 
<h3>1.4&nbsp; Полилинейные отображения и определитель</h3>
 
<h3>1.4&nbsp; Полилинейные отображения и определитель</h3>

Версия 00:40, 20 февраля 2016

1  Векторные пространства и линейные операторы

1.1  Матрицы, базисы, координаты

1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
  • Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
  • Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
  • Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
  • Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
  • Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
  • Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
  • Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
  • Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3  Преобразования координат при замене базиса
  • Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
  • Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
  • Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
  • Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
  • Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
  • Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
  • Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

    Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
    (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).

  • Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

1.2  Линейные операторы

1.2.1  Ядро и образ линейного оператора
  • Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: .
  • Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

    Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .

    Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .

  • Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
    и ; тогда .
  • Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
    тогда .
1.2.2  Ранг линейного оператора
  • Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
  • Утверждение: . Утверждение: и .
  • Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) для любых матриц и выполнено ;
    (2) существуют такие матрицы и , что ;
    (3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3  Системы линейных уравнений
  • Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: .
  • Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
  • Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .

1.3  Конструкции над векторными пространствами

1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
  • Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

    Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; обозначим через
    отображение, действующее из в по правилу для любых и ; тогда
    (1) , и ;
    (2) если , то ;
    (3) .

  • Инвариантное подпространство эндоморфизма: . Вид матрицы эндоморфизма в случае наличия инвариантного подпространства.
  • Вид матрицы эндоморфизма в случае наличия разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
  • Факторпространство . Базис факторпространства.
1.3.2  Двойственное пространство
  • Двойственное пространство .

1.4  Полилинейные отображения и определитель

1.4.1  Отступление о симметрических группах
1.4.2  Пространства полилинейных отображений
1.4.3  Определитель линейного оператора

1.5  Жорданова нормальная форма