Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Версия 00:08, 13 февраля 2016

Отступление в первый семестр

• Обозначения из математической логики и теории множеств.
• Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
• Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.

1 Векторные пространства и линейные операторы

1.1 Матрицы, базисы, координаты

1.1.1 Матрицы, столбцы, строки

1. Пространство матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Пространство столбцов: ${\displaystyle K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)}$. Пространство строк: ${\displaystyle {}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)}$.
2. Матричные единицы. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{e_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
3. Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{e_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{e^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
4. Умножение матриц: ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
5. Выделение строк матрицы: ${\displaystyle a^{i}=e^{i}\cdot a}$. Выделение столбцов матрицы: ${\displaystyle a_{j}=a\cdot e_{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a\,}$ и ${\displaystyle \,(b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}}$.
6. Транспонирование матрицы: ${\displaystyle (a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}}$. Утверждение: отображение ${\displaystyle a\mapsto a^{\mathtt {T}}}$ — антиавтоморфизм кольца ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$.

1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств между ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle K^{\dim V}}$.
• Матрица гомоморфизма: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}}$. Утверждение: ${\displaystyle a(e)=h\cdot a_{e}^{h}\,}$ и ${\displaystyle \,\forall \,v\in V\;{\bigl (}\,a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}\,{\bigr )}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.
• Изоморфизм векторных пространств между ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Mat} (\dim Y,\dim V,K)}$. Изоморфизм колец между ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Mat} (\dim V,K)}$.

Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}\,}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}={\bigl (}\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}{\bigr )}^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{\dim V}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат эндоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{\dim V}\sum _{l=1}^{\dim V}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

Элементарные преобразования и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,e_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,e_{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)e_{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,e_{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{j}^{j})}$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle p,n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
(1) существуют такие число ${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0}}$ и элементарные матрицы ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$ размера ${\displaystyle p\times p}$, что ${\displaystyle g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a}$ — ступенчатая по строкам матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой по строкам матрицы из пункта (1) равно ${\displaystyle \dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ (и, значит, не зависит от матриц ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$).