Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Версия 01:32, 12 февраля 2016

Векторные пространства и линейные операторы

Отступление в первый семестр

• Обозначения из математической логики и теории множеств.
• Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
• Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.

Матрицы, базисы, координаты

Матрицы, столбцы, строки

• Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \({}^nK=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\): \(\bigl\{\,e_i^j\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
• Стандартный базис пространства \(K^p\): \(\bigl\{\,e_i\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}\). Стандартный базис пространства \({}^nK\): \(\bigl\{\,e^j\:\mid\:j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
• Умножение матриц: \((b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k\). Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо \(\mathrm{Mat}(n,K)\). Группа \(\mathrm{GL}(n,K)\).
• Выделение строк матрицы: \(a^i=e^i\cdot a\). Выделение столбцов матрицы: \(a_j=a\cdot e_j\). Утверждение: \((b\cdot a)^i=b^i\cdot a\,\) и \(\,(b\cdot a)_k=b\cdot a_k\).
• Транспонирование матрицы: \((a^\mathtt T)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).

Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: \(v=e\cdot v^e\). Изоморфизм векторных пространств между \(V\) и \(K^{\dim V}\).
• Матрица гомоморфизма: \((a_e^h)_j=a(e_j)^h\). Утверждение: \(a(e)=h\cdot a_e^h\,\) и \(\,\forall\:v\in V\;\bigl(\,a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\,\bigr)\). Утверждение: \((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\).
• Изоморфизм векторных пространств между \(\mathrm{Hom}(V,Y)\) и \(\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)\). Изоморфизм колец между \(\mathrm{End}(V)\) и \(\mathrm{Mat}(\dim V,K)\).

Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: \(\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e\). Матрица замены базиса: \(\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e\). Утверждение: \(\mathrm c_\tilde e^{\tilde{\tilde e}}\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^{\tilde{\tilde e}}\,\) и \(\,\mathrm c_e^\tilde e=\bigl(\mathrm c_\tilde e^e\bigr)^{-1}\).
• Преобразование базиса: \(\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e\). Преобразование координат вектора: \(v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e\). Покомпонентная запись: \(v^\tilde i=\sum_{k=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde iv^k\).
• Преобразование координат эндоморфизма: \(a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e\). Покомпонентная запись: \(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^la_l^k\).

Матрицы, столбцы, строки

• Пространство матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Пространство столбцов: ${\displaystyle \,K\!^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)}$. Пространство строк: ${\displaystyle \,{}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)}$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \,{\bigl \{}\,e_{i}^{j}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\},\;j\in \{1,\ldots ,n\}\,{\bigr \}}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K\!^{p}}$: ${\displaystyle \,{\bigl \{}\,e_{i}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\}\,{\bigr \}}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \,{\bigl \{}\,e^{j}\;\mid \;j\in \{1,\ldots ,n\}\,{\bigr \}}}$.
• Умножение матриц: ${\displaystyle \,{\bigl (}b\cdot a{\bigr )}_{k}^{i}=\!\!\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}a_{k}^{j}}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
• Выделение строк матрицы: ${\displaystyle \,a^{i}=e^{i}\cdot a}$. Выделение столбцов матрицы: ${\displaystyle \,a_{j}=a\cdot e_{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle \,{\bigl (}b\cdot a{\bigr )}^{i}=b^{i}\cdot a\,}$ и ${\displaystyle \,{\bigl (}b\cdot a{\bigr )}_{k}=b\cdot a_{k}}$.
• Транспонирование матрицы: ${\displaystyle \,{\bigl (}a^{\mathtt {T}}{\bigr )}_{j}^{i}=a_{i}^{j}}$. Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$.

Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle \,v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств между ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle K^{\dim V}}$.
• Матрица гомоморфизма: ${\displaystyle \,{\bigl (}a_{e}^{h}{\bigr )}_{j}=a(e_{j})^{h}}$. Утверждение: ${\displaystyle \,a(e)=h\cdot a_{e}^{h}\,}$ и ${\displaystyle \,\forall \;v\in V\;{\Bigl (}\,a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}\,{\Bigr )}}$. Утверждение: ${\displaystyle \,{\bigl (}b\circ a{\bigr )}_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.
• Изоморфизм векторных пространств между ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Mat} (\dim Y,\dim V,K)}$. Изоморфизм колец между ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Mat} (\dim V,K)}$.

Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}={\bigl (}\mathrm {id} _{V}{\bigr )}_{e}^{\widetilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}={\bigl (}\mathrm {id} _{V}{\bigr )}_{\widetilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{\widetilde {e}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}\,}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}={\bigl (}\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}{\bigr )}^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle \,{\widetilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle \,v^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle \,v^{\widetilde {i}}=\!\sum _{k=1}^{\dim V}{\bigl (}e_{k}{\bigr )}^{\widetilde {i}}v^{k}}$.
• Преобразование координат эндоморфизма: ${\displaystyle \,a_{\widetilde {e}}^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle \,a_{\tilde {j}}^{\widetilde {i}}=\!\sum _{k=1}^{\dim V}\sum _{l=1}^{\dim V}{\bigl (}e_{k}{\bigr )}^{\widetilde {i}}{\bigl (}e_{\tilde {j}}{\bigr )}^{l}a_{l}^{k}}$.

Элементарные преобразования матриц

• Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
• Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.