Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 16: Строка 16:
 
<li>Транспонирование матрицы: \(\,\bigl(a^\mathtt T\bigr)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).</li></ul>
 
<li>Транспонирование матрицы: \(\,\bigl(a^\mathtt T\bigr)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).</li></ul>
  
−
<b>Матрицы, столбцы, строки</b>
 
−
<ul><li>Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(\,K\!^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \(\,{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).</li>
 
−
<li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>\,K\!^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>\,{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.</li>
 
−
<li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\,\bigl\{\,e_i^j\;\mid\;i\in\{1,\ldots,p\},\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}</math>.</li>
 
−
<li>Стандартный базис пространства <math>K\!^p</math>: <math>\,\bigl\{\,e_i\;\mid\;i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\,\bigl\{\,e^j\;\mid\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}</math>.</li>
 
−
<li>Умножение матриц: <math>\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i_k=\!\!\sum_{j=1}^pb^i_ja^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.</li>
 
−
<li>Выделение строк матрицы: <math>\,a^i=e^i\cdot a</math>. Выделение столбцов матрицы: <math>\,a_j=a\cdot e_j</math>. Утверждение: <math>\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i=b^i\cdot a\,</math> и <math>\,\bigl(b\cdot a\bigr)_k=b\cdot a_k</math>.</li>
 
−
<li>Транспонирование матрицы: <math>\,\bigl(a^\mathtt T\bigr)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>.</li></ul>
 
  
−
<b>Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</b>
 
−
<ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>\,v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств между <math>V</math> и <math>K^{\dim V}</math>.</li>
 
−
<li>Матрица гомоморфизма: <math>\,\bigl(a_e^h\bigr)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <math>\,a(e)=h\cdot a_e^h\,</math> и <math>\,\forall\;v\in V\;\Bigl(\,a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\,\Bigr)</math>. Утверждение: <math>\,\bigl(b\circ a\bigr)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.</li>
 
−
<li>Изоморфизм векторных пространств между <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)</math> и изоморфизм колец между <math>\mathrm{End}(V)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim V,K)</math>.</li></ul>
 
−
 
−
<b>Преобразования координат при замене базиса</b>
 
−
<ul><li>Матрица замены координат: <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_e^\widetilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_\widetilde e^e</math>. Утверждение: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^\widetilde e\cdot\mathrm c_e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\,</math> и <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm c_\widetilde e^e\bigr)^{-1}</math>.</li>
 
−
<li>Преобразование базиса: <math>\,\widetilde e=e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>\,v^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,v^\widetilde i=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde iv^k</math>.</li>
 
−
<li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>\,a_\widetilde e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,a^\widetilde i_\tilde j=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde i\bigl(e_\tilde j\bigr)^la_l^k</math>.</li></ul>
 
  
 
<b>Элементарные преобразования матриц</b>
 
<b>Элементарные преобразования матриц</b>
 
<ul><li>Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.</li>
 
<ul><li>Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.</li>
 
<li>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li></ul>
 
<li>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li></ul>

Версия 00:38, 12 февраля 2016

Векторные пространства и линейные операторы

Отступление в первый семестр

  • Обозначения из математической логики и теории множеств.
  • Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
  • Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.

Матрицы, базисы, координаты

Матрицы, столбцы, строки

  • Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(\,K\!^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \(\,{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).
  • Матричные единицы. Стандартный базис пространства \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\): \(\,\bigl\{\,e_i^j\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\},\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
  • Стандартный базис пространства \(K\!^p\): \(\,\bigl\{\,e_i\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}\). Стандартный базис пространства \({}^n\!K\): \(\,\bigl\{\,e^j\:\mid\:j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
  • Умножение матриц: \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i_k=\!\!\sum_{j=1}^pb^i_ja^j_k\). Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо \(\mathrm{Mat}(n,K)\). Группа \(\mathrm{GL}(n,K)\).
  • Выделение строк матрицы: \(\,a^i=e^i\cdot a\). Выделение столбцов матрицы: \(\,a_j=a\cdot e_j\). Утверждение: \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i=b^i\cdot a\,\) и \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)_k=b\cdot a_k\).
  • Транспонирование матрицы: \(\,\bigl(a^\mathtt T\bigr)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).


Элементарные преобразования матриц

  • Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
  • Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Источник — «http://mit.spbau.ru/sewiki/index.php?title=Алгебра_phys_1_весна_2016&oldid=7311»