Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Алгебра») |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | == Векторные пространства и линейные операторы == | |
+ | |||
+ | === Отступление в первый семестр === | ||
+ | <ul><li>Обозначения из математической логики и теории множеств.</li> | ||
+ | <li>Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.</li> | ||
+ | <li>Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.</li></ul> | ||
+ | |||
+ | === Матрицы, базисы, координаты === | ||
+ | |||
+ | <b>Матрицы, столбцы, строки.</b> | ||
+ | <ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>\,K\!^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.</li> | ||
+ | <li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\,\{\,e_i^j\;\mid\;i\in\{1,\ldots,p\},\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\}</math>.</li> | ||
+ | <li>Стандартный базис пространства <math>K\!^p</math>: <math>\,\{\,e_i\;\mid\;i\in\{1,\ldots,p\}\,\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\,\{\,e^j\;\mid\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\}</math>.</li> | ||
+ | <li>Умножение матриц: <math>\,(b\cdot a)^i_k=\!\!\sum_{j=1}^pb^i_ja^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.</li> | ||
+ | <li>Выделение строк матрицы: <math>\,a^i=e^i\cdot a</math>. Выделение столбцов матрицы: <math>\,a_j=a\cdot e_j</math>. Утверждение: <math>\,(b\cdot a)^i=b^i\cdot a</math> и <math>\,(b\cdot a)_j=b\cdot a_j</math>.</li> | ||
+ | <li>Транспонирование матриц: <math>\,(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>.</li></ul> | ||
+ | |||
+ | <b>Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов.</b> | ||
+ | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбцы координат.</li> | ||
+ | <li>Матрицы гомоморфизмов. Композиция гомоморфизмов и умножение матриц.</li> | ||
+ | <li>Изоморфизм между кольцом эндоморфизмов и кольцом матриц.</li></ul> | ||
+ | |||
+ | <math>\forall\;e\in\mathrm{OB}(V),\;v\in V\;\;\;(\;v=e\cdot v^e\;)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\forall\;e\in\mathrm{OB}(V),\;h\in\mathrm{OB}(Y),\;a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\;\;\;(\;a(e)=h\cdot a_e^h\;)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\forall\;e\in\mathrm{OB}(V),\;h\in\mathrm{OB}(Y),\;a\in\mathrm{Hom}(V,Y),\;v\in V\;\;\;(\;a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\;)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\forall\;e\in\mathrm{OB}(V),\;f\in\mathrm{OB}(X),\;g\in\mathrm{OB}(Z),\;a\in\mathrm{Hom}(V,X),\;b\in\mathrm{Hom}(X,Z)\;\;\;(\;(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\;)</math> | ||
+ | |||
+ | <b>План лекции 15.02.2016.</b> | ||
+ | |||
+ | <b>Замена базиса.</b> | ||
+ | <ul><li>Матрица замены базиса. Матрица замены координат.</li> | ||
+ | <li>Преобразование координат векторов при замене базиса.</li> | ||
+ | <li>Преобразование координат гомоморфизмов при замене базиса.</li> | ||
+ | <li>Преобразование координат ковекторов при замене базиса.</li></ul> | ||
+ | |||
+ | <b>Элементарные преобразования матриц.</b> | ||
+ | <ul><li>Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.</li> | ||
+ | <li>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li></ul> |
Версия 23:03, 10 февраля 2016
Векторные пространства и линейные операторы
Отступление в первый семестр
- Обозначения из математической логики и теории множеств.
- Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
- Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.
Матрицы, базисы, координаты
Матрицы, столбцы, строки.
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матриц: . Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца .
Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов.
- Упорядоченные базисы. Столбцы координат.
- Матрицы гомоморфизмов. Композиция гомоморфизмов и умножение матриц.
- Изоморфизм между кольцом эндоморфизмов и кольцом матриц.
План лекции 15.02.2016.
Замена базиса.
- Матрица замены базиса. Матрица замены координат.
- Преобразование координат векторов при замене базиса.
- Преобразование координат гомоморфизмов при замене базиса.
- Преобразование координат ковекторов при замене базиса.
Элементарные преобразования матриц.
- Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
- Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.