Алгебра, 1 семестр, 2014/15 — различия между версиями

Версия 13:26, 6 октября 2014

ДЗ на 08.09

1. Найдите наибольший возможный порядок в группе перестановок на 15 элементах.
2. 1. Выпишите всевозможные цикловые типы четных и нечетных перестановок в группе перестановок на 5 элементах
   2. Докажите, что перестановка четна если в разложении её на циклы количество четных циклов четно (а иначе нечетна).
3. Докажите, что любую перестановку на 5 элементах можно записать как произведение циклов длины 3.

ДЗ на 24.09.

1. Пусть ${\displaystyle X}$ - множество всех делителей ${\displaystyle 2002^{2002}}$. Обозначим НОД чисел за ${\displaystyle (a,b)}$, а НОК за ${\displaystyle [a,b]}$. Введём отношение эквивалентности: ${\displaystyle a\sim b\iff \left({\frac {[a,b]}{(a,b)}},77\right)=1}$. Сколько элементов в фактормножестве ${\displaystyle X/\sim }$?
2. Найти минимальное отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$, содержащее данное отношение ${\displaystyle R}$ (т.е. ${\displaystyle \sim }$ есть транзитивное замыкание ${\displaystyle R}$) и количество элементов в фактормножестве ${\displaystyle X/\sim }$.
   1. ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{+}}$ (положительные числа); ${\displaystyle aRb\iff ab(b+1)>a^{2}+b^{3}}$
   2. ${\displaystyle X=\mathbb {Z} }$; ${\displaystyle aRb\iff (a-3b)\vdots 121}$ (${\displaystyle x\vdots b}$ обозначает "${\displaystyle x}$ делится на ${\displaystyle y}$ без остатка")
3. Найти количество отображений ${\displaystyle f:\{1,2,3,\dots ,n\}\to \{1,2,3,\dots ,n\}}$, обладающих указанными свойствами:
   1. ${\displaystyle f(f(x))=x}$ при любом x
   2. ${\displaystyle f(f(x))=1}$ при любом x.