Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
(не показана одна промежуточная версия этого же участника) | |||
Строка 8: | Строка 8: | ||
<li>Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\,\bigl(a^m=0\bigr)</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a</math> — нильпот. лин. оператор; тогда <math>\chi_a=x^{\dim V}</math></i>. | <li>Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\,\bigl(a^m=0\bigr)</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a</math> — нильпот. лин. оператор; тогда <math>\chi_a=x^{\dim V}</math></i>. | ||
<p><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i></p> | <p><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i></p> | ||
− | <li>Алгебраическая и | + | <li>Алгебраическая и безымянная кратности: <math>\alpha(a,c)</math> и <math>\beta(a,c)</math> — кратности <math>c</math> как корня многочлена <math>\chi_a</math> и многочлена <math>\mu_a</math>. Теорема о минимальном многочлене. |
<p><u>Теорема о минимальном многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\mu_a</math> делит <math>\chi_a</math><br>(и, значит, для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le\alpha(a,c)</math>), а также <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mu_a(c)=0\}</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о минимальном многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\mu_a</math> делит <math>\chi_a</math><br>(и, значит, для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le\alpha(a,c)</math>), а также <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mu_a(c)=0\}</math>.</i></p> | ||
<li><u>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>f\in K[x]</math>, то <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)</math> (то есть <math>\mathrm{Ker}\,f(a)</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство в <math>V</math>);<br>(2) если <math>f,g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)</math>;<br>(3) если <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]</math> и многочлены <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты, то <math>\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math><br>(и, значит, <math>(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math>).</i> | <li><u>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>f\in K[x]</math>, то <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)</math> (то есть <math>\mathrm{Ker}\,f(a)</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство в <math>V</math>);<br>(2) если <math>f,g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)</math>;<br>(3) если <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]</math> и многочлены <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты, то <math>\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math><br>(и, значит, <math>(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math>).</i> | ||
Строка 58: | Строка 58: | ||
<li>Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>). | <li>Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>). | ||
<li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. | <li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. | ||
− | <p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math> (и, значит, отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> —<br>¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>), а также <math>a^{**}\!=a</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, | + | <p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math> (и, значит, отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> —<br>¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>), а также <math>a^{**}\!=a</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}</math>.</i></p> |
<p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp</math>, а также <math>\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}</math>.</i></p> | <p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp</math>, а также <math>\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}</math>.</i></p> | ||
<li>Множество нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>. | <li>Множество нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>. | ||
Строка 75: | Строка 75: | ||
<h5>12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5> | <h5>12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5> | ||
<ul><li>Препятствия к диагонализ.-и над <math>\mathbb R</math>. <math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над <math>\mathbb R</math> с блоками разм. <math>1\!\times\!1</math> и блоками <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>. | <ul><li>Препятствия к диагонализ.-и над <math>\mathbb R</math>. <math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над <math>\mathbb R</math> с блоками разм. <math>1\!\times\!1</math> и блоками <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>. | ||
− | <li><math>\mathbb C</math>-Спектр линейного оператора <math>a</math> в конечномерном | + | <li><math>\mathbb C</math>-Спектр линейного оператора <math>a</math> в конечномерном вект. пр.-ве над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Пример: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math>. |
<li><u>Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\subseteq U</math> и, если <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>, то <math>a^*(U)\subseteq U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i> | <li><u>Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\subseteq U</math> и, если <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>, то <math>a^*(U)\subseteq U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i> | ||
<li><u>Спектральная теорема для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i> | <li><u>Спектральная теорема для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i> | ||
Строка 88: | Строка 88: | ||
<li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>v,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>b=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,b^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,b^\mathtt Tb-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det b</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det b))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}</math>.</i> | <li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>v,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>b=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,b^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,b^\mathtt Tb-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det b</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det b))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}</math>.</i> | ||
<li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>. | <li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>. | ||
− | <li>Пр.-во Минковского — | + | <li>Пр.-во Минковского — псевдоевклид. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (опр.-е не зависит от выбора базиса). |
<li>Спинорная модель пространства Минковского: <math>\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math>. Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>. | <li>Спинорная модель пространства Минковского: <math>\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math>. Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>. | ||
<li>Матрицы Паули: <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>. Утверждение: <i><math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k</math>, <math>\mathrm{tr}(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math> и <math>[\sigma_i,\sigma_j]=\sum_{k=1}^32\,\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k</math></i>. | <li>Матрицы Паули: <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>. Утверждение: <i><math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k</math>, <math>\mathrm{tr}(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math> и <math>[\sigma_i,\sigma_j]=\sum_{k=1}^32\,\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k</math></i>. |
Текущая версия на 15:00, 15 марта 2019
Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры
11 Линейные операторы (часть 2)
11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов
- Эвалюация — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором : .
- Минимальный многочлен лин. оператора : , нормирован, ; .
- Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: . Утверждение: пусть — нильпот. лин. оператор; тогда .
Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Алгебраическая и безымянная кратности: и — кратности как корня многочлена и многочлена . Теорема о минимальном многочлене.
Теорема о минимальном многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда делит
(и, значит, для любых выполнено ), а также . - Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если , то (то есть — -инвариантное подпространство в );
(2) если и делит , то ;
(3) если , и многочлены попарно взаимно просты, то
(и, значит, ). - Проектор (идемпотент): (). Отражение: (, если ).
- Ряд от лин. оператора ( — нормир. пр.-во): . Достат. условие сходимости ( — банах. пр.-во, ): .
- Экспонента от непрерывного линейн. оператора в банах. пр.-ве: . Пример: . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
Пусть — банахово пр.-во; тогда для любых выполнено , а также и .
11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
- Собственные подпространства: ; геометрическая кратность: . Лемма о собственных подпространствах.
Лемма о собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
попарно различны; тогда
(1) ;
(2) если и — независимые множества, то — независимое множество;
(3) если , то для любых выполнено . - Теорема о диагонализации линейных операторов. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
следующие утверждения эквивалентны:
(у1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
(у2) (то есть многочлен раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в );
(у3) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора );
(у4) . - Обобщенные собственные подпростр.-ва: ; относительные геометрич. кратности: .
- Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и ; тогда
(1) для любых выполнено и, если , то ;
(2) для любых выполнено ;
(3) и . - Корневые подпространства: . Нильпотентные части линейного оператора : .
- Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и многочлен расклад.-ся в
произв.-е многочленов степени в (если , то это условие выполнено для любых в силу алгебр. замкнутости поля ); тогда
(1) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора );
(2) для любых выполнено (и, значит, — нильпотентный линейный оператор) и . - Жорданова клетка: . Пример: если , то и .
11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора
- — независимое мн.-во относит.-но : . — порождающее мн.-во относит.-но : .
- Базис относительно — независимое и порождающее множ.-во относительно . Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).
Первая теорема об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства относительно ;
(у2) — независимое множество и (и, значит, если , то );
(у3) для любого вектора существуют единственные такие и , что ;
(у4) — максимальное независимое множество относительно ;
(у5) — минимальное порождающее множество относительно .Вторая теорема об относительных базисах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
(2) из любого порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно . - Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем и
, а также , , и ; тогда
(1) если — независимое подмножество в относительно , то — инъекция и — независимое подмножество в относительно ;
(2) если , то . - Диаграммы Юнга. Жорданов блок: — прямая сумма жордановых клеток , где — длины строк диаграммы Юнга .
- Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы — относительные геометрич. кратности . Корректность опред.-я.
- Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и многочлен раскладывается в
произведение многочленов степени в (если , то это условие выполнено для любых в силу алгебр. замкнутости поля );
тогда существует такой упорядоченный базис , что — прямая сумма жордановых блоков по всем . - Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: .
- Утверждение: , и , а также . Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть и ; обозначим через кривую ; тогда
(1) если , то , и, если , то ;
(2) если , то , а также, если , то , и, если , то .
12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
- Группа автоморфизмов простр.-ва с ¯-билинейной формой: .
- Утверждение: пусть и , или и ; тогда .
- Ортогональная группа ( — вект. пр. над , ): ; унитарная группа ( — вект. пр. над , ): .
- Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
(1) Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , , , и ; тогда
и, если форма невырождена, то условие "" можно убрать.
(2) Пусть — псевдоевклидово пространство сигнатуры и ; тогда .
(3) Пусть — псевдоунитарное пространство сигнатуры и ; тогда . - Матричные ортогонал. группы: , , и .
- Матричные унитарные группы: , , и .
- Примеры: , и .
- Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: . Теорема об описании изометрий.
Теорема об описании изометрий. Пусть — предгильбертово пространство над полем ; тогда , а также,
обозначая через , и группу и ее подгруппы и соответственно, имеем следующие
факты: , , и (и, значит, ).
12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
- Простр.-во симметричных операторов: ; условие в коорд.: .
- Простр.-во антисимм. операторов: ; условие в коорд.: .
- Множество полож. определенных операторов (, или ): .
- Пример: , и ; тогда — полож. определенный оператор.
- Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору ( невырождена): ().
- Сопряженный оператор в координатах: . Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
Теорема о свойствах сопряжения. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , и форма невырождена; тогда
(1) для любых и выполнено , и (и, значит, отобр.-е —
¯-антиэндоморфизм -алгебры ), а также и ;
(2) , и .Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , форма невырождена,
и ; тогда , а также и . - Множество нормальных операторов ( невырождена): ; условие в коорд. (): .
- Форма, связанная с линейным оператором : . Форма в коорд.: . Лемма о форме, связанной с оператором.
Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если форма невырождена, то отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) и ;
(3) если или , то .
12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах
- Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда для любых
выполнено , а также для любых таких , что , выполнено . - Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
(1) — диагональная матрица;
(2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
(3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
(4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
(5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали. - Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
, , , . - Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть и ; тогда
(1) — диагональная матрица;
(2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
(3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
(4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
(5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали. - Теорема о спектральном разложении. Пусть — унитарное пр.-во и ; для любых обозначим через оператор ; тогда
(1) для любых таких , что , выполнено и , а также , и ;
(2) если для любых заданы операторы , удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых выполнено . - Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
Пусть — предгильбертово пространство над полем и ; тогда для любого собственного числа оператора
выполнено , , , , а также для любых различных
собственных чисел и оператора выполнено . - Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).
12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах
- Препятствия к диагонализ.-и над . -Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над с блоками разм. и блоками , где и .
- -Спектр линейного оператора в конечномерном вект. пр.-ве над : . Пример: .
- Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
(1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
(2) если , то для любых выполнено . - Спектральная теорема для евклидовых пространств. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
(1) — -диагональная матрица;
(2) — -диагон. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали;
(3) — диагональная матрица;
(4) — -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали;
(5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали. - Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
, , , . - Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть и ; тогда
(1) — -диагональная матрица;
(2) — -диагон. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали;
(3) — диагональная матрица;
(4) — -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали;
(5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали. - Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пр.-во с ориентацией, и ; тогда существуют такие и
, что (и, значит, — оператор поворота на угол против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором ). - Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пр.-во, и — лин. оператор, соответств.
форме относит.-но изоморфизма (то есть ); тогда в сущ.-т ортонормированный базис,
ортогональный относит.-но формы (то есть ), а также .
12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Движение со скоростью света: , где (). Теорема о сохранении скорости света. Матричная группа Лоренца: .
Теорема о сохранении скорости света.
Пусть ; тогда след. утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) , где . - Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: и . - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пр.-во Минковского — псевдоевклид. пр.-во сигнатуры ; (опр.-е не зависит от выбора базиса).
- Спинорная модель пространства Минковского: . Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: .
- Матрицы Паули: , , . Утверждение: , и .
- Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
(2) Сужение на формы из пункта (1), взятое с противопол. знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и .
(3) Для любых и таких , что , выполнено , и . - Теорема о бустах и поворотах. (1) Пусть , и ; тогда — буст с быстротой вдоль оси с направляющим
вектором , а также — поворот на угол вокруг оси с направляющим вектором (эскиз доказательства).
(2) Спинорные представления и — изоморфизмы групп (без док.-ва).
13 Многообразия (часть 1)
13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями
- -Мерная система координат на топол. пр.-ве — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в и ; отн.-е согласованности: — диффеоморфизм.
- -Мерный атлас на — множество попарно согласованных -мерных систем координат на , области определения которых покрывают . Примеры.
- -Мерное многообразие — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во с максимальным -мерным атласом . Примеры: , откр. мн.-ва в , .
- Отобр. между многообр. и гладкое в , если существ. такие и , что , и отобр. гладкое в .
- Утверждение: гладкость отображения не зависит от выбора систем координат. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми и : .
- — множество кривых, проходящих через . — -алгебра функций.
- Скорость кривой в координатах (, ): ; -я компонента скорости: .
- Матрица Якоби замены коорд.: ; -я компон.: . Лемма о замене координат.
Лемма о замене координат. Пусть — многообразие, , , , и ; тогда
(1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(2) (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).
13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства
- Отнош.-е касания в (): . Инвариантная скорость: .
- Касательное простр.-во в точке : . Базисные векторы, определяемые координатами: .
- Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат на : и .
Теорема о касательных пространствах. Пусть — многообразие, , , и ; тогда
(1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через столбец , имеем следующий факт:
столбец не зависит от выбора кривой ;
(2) отображение — биекция; определим на структуру вект. простр.-ва над так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом
вект. простр.-в (то есть ); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;
(3) , и для любых выполнено (это разложение по базису в ). - Кокасательное пр.-во в точке : . Базисные ковекторы, опред. координатами: . Строка координат ковектора: .
- Разложение по базису в : . Преобр.-я при замене координат: и .
- Теорема о дифференциале функции. Пусть — многообразие, и ; тогда
(1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через число , имеем следующий
факт: число не зависит от выбора кривой ;
(2) для любых и таких , что , выполнено ;
(3) обозначая через отображение , имеем следующий факт: . - Дифференциал функции в коорд. (): ; -я компон. дифф.-ла: .
- Произв. Ли функции вдоль вект.: . Пример: . Утверждение: .