Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 47: Строка 47:
 
<li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)=\mathrm{Mat}(n,n,R)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(n,R)=\mathrm{Mat}(n,R)^\times</math>.
 
<li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)=\mathrm{Mat}(n,n,R)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(n,R)=\mathrm{Mat}(n,R)^\times</math>.
 
<li>Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
 
<li>Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
<li>Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей: <math>(\mathbf e_i)^k=\delta_i^k</math>, <math>(\mathbf e^j)_l=\delta^j_l</math>, <math>(\mathbf e_i^j)^k_l=\delta_i^k\,\delta^j_l</math>. Утверждение: <i><math>\mathbf e_i\cdot\mathbf e^j=\mathbf e_i^j</math>, <math>\mathbf e^j\cdot\mathbf e_i=\delta_i^j</math>, <math>\mathbf e_i^j\cdot\mathbf e_k^l=\delta^j_k\,\mathbf e_i^l</math></i>.
+
<li>Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями: <math>(\mathbf e_i)^k=\delta_i^k</math>, <math>(\mathbf e^j)_l=\delta^j_l</math>, <math>(\mathbf e_i^j)^k_l=\delta_i^k\,\delta^j_l</math>. Утверждение: <i><math>\mathbf e_i\cdot\mathbf e^j=\mathbf e_i^j</math>, <math>\mathbf e^j\cdot\mathbf e_i=\delta_i^j</math>, <math>\mathbf e_i^j\cdot\mathbf e_k^l=\delta^j_k\,\mathbf e_i^l</math></i>.
 
<li>Строки матрицы <math>a</math>: <math>a^i_\bullet=\mathbf e^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы <math>a</math>: <math>a^\bullet_j=a\cdot\mathbf e_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i_\bullet=b^i_\bullet\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_\bullet</math>, а также <math>(b\cdot a)^\bullet_k=b\cdot a^\bullet_k=\sum_{j=1}^pb^\bullet_j\,a^j_k</math></i>.
 
<li>Строки матрицы <math>a</math>: <math>a^i_\bullet=\mathbf e^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы <math>a</math>: <math>a^\bullet_j=a\cdot\mathbf e_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i_\bullet=b^i_\bullet\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_\bullet</math>, а также <math>(b\cdot a)^\bullet_k=b\cdot a^\bullet_k=\sum_{j=1}^pb^\bullet_j\,a^j_k</math></i>.
 
<li>Операторы умн.-я на матрицу между <math>R^n</math> и <math>R^p</math>: <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}</math> — группа по сложению. Теорема об операторах умножения на матрицу.
 
<li>Операторы умн.-я на матрицу между <math>R^n</math> и <math>R^p</math>: <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}</math> — группа по сложению. Теорема об операторах умножения на матрицу.
 
<p><u>Теорема об операторах умножения на матрицу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо и <math>n,p\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(p,n,R)&\to\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}\\a&\mapsto\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм групп по сложению и, если <math>n=p</math>, то это отобр.-е — изоморфизм колец;<br>(2) если <math>R</math> — комм. кольцо, то <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}=\{a\in\mathrm{Map}(R^n,R^p)\mid\forall\,v,v'\!\in R^n,\,c,c'\!\in R\;\bigl(a(c\,v+c'v')=c\,a(v)+c'a(v')\bigr)\}</math><br>(то есть множество операторов умножения на матрицу между <math>R^n</math> и <math>R^p</math> совпадает с множеством линейных операторов между <math>R^n</math> и <math>R^p</math>).</i></p>
 
<p><u>Теорема об операторах умножения на матрицу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо и <math>n,p\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(p,n,R)&\to\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}\\a&\mapsto\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм групп по сложению и, если <math>n=p</math>, то это отобр.-е — изоморфизм колец;<br>(2) если <math>R</math> — комм. кольцо, то <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}=\{a\in\mathrm{Map}(R^n,R^p)\mid\forall\,v,v'\!\in R^n,\,c,c'\!\in R\;\bigl(a(c\,v+c'v')=c\,a(v)+c'a(v')\bigr)\}</math><br>(то есть множество операторов умножения на матрицу между <math>R^n</math> и <math>R^p</math> совпадает с множеством линейных операторов между <math>R^n</math> и <math>R^p</math>).</i></p>
 
<li>Транспонирование матрицы <math>a</math>: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. След квадратн. матрицы <math>a</math>: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Линейность <math>{}^\mathtt T</math> и <math>\mathrm{tr}</math>. Теорема о свойствах транспонирования и следа.
 
<li>Транспонирование матрицы <math>a</math>: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. След квадратн. матрицы <math>a</math>: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Линейность <math>{}^\mathtt T</math> и <math>\mathrm{tr}</math>. Теорема о свойствах транспонирования и следа.
<p><u>Теорема о свойствах транспонирования и следа.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,R)</math> выполнено <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math> и, если <math>n=r</math>, то <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math>;<br>(2) для любых <math>a\in\mathrm{GL}(n,R)</math> выполнено <math>(a^{-1})^\mathtt T\!=(a^\mathtt T)^{-1}</math>, и для любых <math>v,w\in R^n</math> выполнено <math>v^\mathtt T\!\cdot w=\mathrm{tr}(v\cdot w^\mathtt T)=v^1\,w^1+\ldots+v^n\,w^n</math>.</i></p>
+
<p><u>Теорема о свойствах транспонирования и следа.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,R)</math> выполнено <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math> и, если <math>n=r</math>, то <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math>;<br>(2) для любых <math>a\in\mathrm{GL}(n,R)</math> выполнено <math>(a^{-1})^\mathtt T\!=(a^\mathtt T)^{-1}</math>, а также для любых <math>v,w\in R^n</math> выполнено <math>v^\mathtt T\!\cdot w=v^1\,w^1+\ldots+v^n\,w^n</math>.</i></p>
 
<li>Симметричные и антисимм. матрицы: <math>\mathrm{SMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=a\}</math>, <math>\mathrm{AMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=-a\,\land\,a^1_1=\ldots=a^n_n=0\}</math>.</ul>
 
<li>Симметричные и антисимм. матрицы: <math>\mathrm{SMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=a\}</math>, <math>\mathrm{AMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=-a\,\land\,a^1_1=\ldots=a^n_n=0\}</math>.</ul>
  
Строка 69: Строка 69:
 
<ul><li>Определитель квадр. матрицы <math>a</math> над коммут. кольцом: <math>\det a=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}a^{j_1}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{j_n}_n=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n\!</math>. Расстановки ладей и <math>\det</math>.
 
<ul><li>Определитель квадр. матрицы <math>a</math> над коммут. кольцом: <math>\det a=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}a^{j_1}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{j_n}_n=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n\!</math>. Расстановки ладей и <math>\det</math>.
 
<li>Примеры: <math>\det\bigl(v_1\;v_2\bigr)</math> — ориентированная площадь, <math>\det\bigl(v_1\;v_2\;v_3\bigr)\!=(v_1\times v_2\!\mid\!v_3)</math> — ориентиров. объем. Лемма об определителе набора столбцов.
 
<li>Примеры: <math>\det\bigl(v_1\;v_2\bigr)</math> — ориентированная площадь, <math>\det\bigl(v_1\;v_2\;v_3\bigr)\!=(v_1\times v_2\!\mid\!v_3)</math> — ориентиров. объем. Лемма об определителе набора столбцов.
<p><u>Лемма об определителе набора столбцов.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_n,v,v'\!\in R^n</math> и <math>c,c'\!\in R</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,c\,v+c'v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\!=c\,\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v\;\;v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\!+c'\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\bigr)</math>;<br>(2) если столбцы <math>v_1,\ldots,v_n</math> не попарно различны, то <math>\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)\!=0</math>;<br>(3) для любых <math>j_1,\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\det\bigl(v_{j_1}\;\ldots\;v_{j_n}\bigr)\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\!\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)</math>.</i></p>
+
<p><u>Лемма об определителе набора столбцов.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_n,v,v'\!\in R^n</math> и <math>c,c'\!\in R</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,c\,v+c'v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\!=c\,\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v\;\;v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\!+c'\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\bigr)</math>;<br>(2) если среди столбцов <math>v_1,\ldots,v_n</math> есть равные, то <math>\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)\!=0</math>;<br>(3) для любых <math>j_1,\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\det\bigl(v_{j_1}\;\ldots\;v_{j_n}\bigr)\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\!\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)</math>.</i></p>
<li><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,R)&\to R\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению, а также <math>\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\}</math> (доказ.-во только <math>\,\subseteq</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math> выполнено <math>\det\bigl(a\cdot v_1\;\ldots\;a\cdot v_n\bigr)\!=\det a\cdot\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)</math>, а также <math>b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i>
+
<li><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,R)&\to R\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению, а также <math>\,\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\}</math> (доказ.-во только <math>\,\subseteq</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math> выполнено <math>\det\bigl(a\cdot v_1\;\ldots\;a\cdot v_n\bigr)\!=\det a\cdot\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)</math>, а также <math>\,b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i>
 
<li>Специальная линейная группа: <math>\mathrm{SL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,R)</math>. Геом. смысл: <math>a\in\mathrm{SL}(n,R)</math><math>\,\,\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>a</math> сохраняет ориент. объем<math>\bigr)</math>.
 
<li>Специальная линейная группа: <math>\mathrm{SL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,R)</math>. Геом. смысл: <math>a\in\mathrm{SL}(n,R)</math><math>\,\,\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>a</math> сохраняет ориент. объем<math>\bigr)</math>.
<li>Аффинная линейная группа: <math>\mathrm{AGL}(n,R)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a\in\mathrm{GL}(n,R),\,z\in R^n\bigr\}\le\mathrm{GL}(n+1,R)</math>. Геометрический смысл: <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)=\Bigl(\begin{smallmatrix}a\,\cdot\,v\,+\,z\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.
+
<li>Аффинная линейная группа: <math>\mathrm{AGL}(n,R)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a\in\mathrm{GL}(n,R),\,z\in R^n\bigr\}\le\mathrm{GL}(n+1,R)</math>. Геометрический смысл: <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)=\Bigl(\begin{smallmatrix}\!a\,\cdot\,v\,+\,z\!\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.
 
<li>Ортогональная группа: <math>\mathrm O(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb R)</math>. Специальная ортогонал. группа: <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb R)\cap\mathrm O(n)\trianglelefteq\mathrm O(n)</math>.
 
<li>Ортогональная группа: <math>\mathrm O(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb R)</math>. Специальная ортогонал. группа: <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb R)\cap\mathrm O(n)\trianglelefteq\mathrm O(n)</math>.
 
<li>Унитарная группа: <math>\mathrm U(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\overline a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb C)</math>. Специальная унитарная группа: <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb C)\cap\mathrm U(n)\trianglelefteq\mathrm U(n)</math>.
 
<li>Унитарная группа: <math>\mathrm U(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\overline a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb C)</math>. Специальная унитарная группа: <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb C)\cap\mathrm U(n)\trianglelefteq\mathrm U(n)</math>.
Строка 88: Строка 88:
 
<li>Свободное действие (<math>X</math> — свободное <math>G</math>-мн.-во): <math>\forall\,x\in X\;\bigl(\mathrm{St}_G(x)=\{1\}\bigr)</math>. Торсор — однородное свободное <math>G</math>-мн.-во: <math>\forall\,x,y\in X\;\,\exists!\,g\in G\;\bigl(y=g\,x\bigr)</math>.
 
<li>Свободное действие (<math>X</math> — свободное <math>G</math>-мн.-во): <math>\forall\,x\in X\;\bigl(\mathrm{St}_G(x)=\{1\}\bigr)</math>. Торсор — однородное свободное <math>G</math>-мн.-во: <math>\forall\,x,y\in X\;\,\exists!\,g\in G\;\bigl(y=g\,x\bigr)</math>.
 
<li>Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: <math>\mathrm{Fix}_X(g)=\{x\in X\mid g\,x=x\}</math>. Лемма Бернсайда. Пример: <math>\frac1{n!}\!\sum_{u\in\mathrm S_n}|\mathrm{Fix}(u)|=1</math>.
 
<li>Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: <math>\mathrm{Fix}_X(g)=\{x\in X\mid g\,x=x\}</math>. Лемма Бернсайда. Пример: <math>\frac1{n!}\!\sum_{u\in\mathrm S_n}|\mathrm{Fix}(u)|=1</math>.
<p><u>Теорема о классах смежности по стабилизатору.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>x\in X</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G/\,\mathrm{St}_G(x)&\to X\\g\,\mathrm{St}_G(x)&\mapsto g\,x\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно, является инъективным гомоморфизмом <math>G</math>-множеств и его образ есть <math>Gx</math>;<br>(2) если <math>|G|<\infty</math>, то <math>|G|=|\mathrm{St}_G(x)|\,|Gx|</math> (и, значит, <math>|Gx|</math> делит <math>|G|</math>).</i></p>
+
<p><u>Теорема о классах смежности по стабилизатору.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>x\in X</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G/\,\mathrm{St}_G(x)&\to X\\g\,\mathrm{St}_G(x)&\mapsto g\,x\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно, является инъективным гомоморфизмом <math>G</math>-множеств и его образ есть <math>Gx</math>;<br>(2) если <math>|G|<\infty</math>, то <math>|G|=|Gx|\,|\mathrm{St}_G(x)|</math> (и, значит, <math>|Gx|</math> делит <math>|G|</math>).</i></p>
 
<p><u>Лемма Бернсайда.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>|G|<\infty</math>; тогда <math>|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\mathrm{Fix}_X(g)|</math>.</i></p></ul>
 
<p><u>Лемма Бернсайда.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>|G|<\infty</math>; тогда <math>|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\mathrm{Fix}_X(g)|</math>.</i></p></ul>
  
 
<h5>5.4&nbsp; Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп</h5>
 
<h5>5.4&nbsp; Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп</h5>
 
<ul><li>Группа автоморфизмов: <math>\mathrm{Aut}(G)</math>. Пример: <math>\mathrm{Aut}((\mathbb Z/n)^+)\cong(\mathbb Z/n)^\times</math>. Группа внутренних автоморф.-в: <math>\mathrm{Inn}(G)=\{\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\mid g\in G\}\le\mathrm{Aut}(G)</math>.
 
<ul><li>Группа автоморфизмов: <math>\mathrm{Aut}(G)</math>. Пример: <math>\mathrm{Aut}((\mathbb Z/n)^+)\cong(\mathbb Z/n)^\times</math>. Группа внутренних автоморф.-в: <math>\mathrm{Inn}(G)=\{\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\mid g\in G\}\le\mathrm{Aut}(G)</math>.
<li>Центр: <math>\mathrm Z(G)=\{g\in G\mid\forall\,x\in G\;\bigl(g\,x=x\,g\bigr)\}</math>. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов: <math>\mathrm{Out}(G)=\mathrm{Aut}(G)/\,\mathrm{Inn}(G)</math>.
+
<li>Центр группы <math>G</math>: <math>\mathrm Z(G)=\{g\in G\mid\forall\,x\in G\;\bigl(g\,x=x\,g\bigr)\}</math>. Пример: если <math>n\ne2</math>, то <math>\mathrm Z(\mathrm S_n)=\{\mathrm{id}_n\}</math>. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.
<p><u>Теорема о внутренних автоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Aut}(G)\\g&\mapsto\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп, его ядро есть <math>\,\mathrm Z(G)</math>,<br>его образ есть <math>\,\mathrm{Inn}(G)</math> (и, значит, <math>G/\,\mathrm Z(G)\cong\mathrm{Inn}(G)</math>) и, кроме того, <math>\mathrm{Inn}(G)\trianglelefteq\mathrm{Aut}(G)</math>.</i></p>
+
<p><u>Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Aut}(G)\\g&\mapsto\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп, его ядро<br>есть <math>\,\mathrm Z(G)</math>, его образ есть <math>\,\mathrm{Inn}(G)</math> (и, значит, <math>G/\,\mathrm Z(G)\cong\mathrm{Inn}(G)</math>), и, кроме того, <math>\mathrm{Inn}(G)\trianglelefteq\mathrm{Aut}(G)</math>.</i></p>
 
<li>Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): <math>[g_1,g_2]=g_1\,g_2\,g_1^{-1}g_2^{-1}</math>. Коммутант группы <math>G</math>: <math>[G,G]=\bigl\langle\{[g_1,g_2]\mid g_1,g_2\in G\}\bigr\rangle</math>.
 
<li>Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): <math>[g_1,g_2]=g_1\,g_2\,g_1^{-1}g_2^{-1}</math>. Коммутант группы <math>G</math>: <math>[G,G]=\bigl\langle\{[g_1,g_2]\mid g_1,g_2\in G\}\bigr\rangle</math>.
 
<li>Утверждение: <math>[G,G]\trianglelefteq G</math>. Теорема о коммутанте. Пример: <math>[\mathrm S_n,\mathrm S_n]=\mathrm A_n</math> (доказ.-во только включения <math>\subseteq</math>). Абелианизация группы <math>G</math>: <math>G^\mathtt{ab}\!=G/[G,G]</math>.
 
<li>Утверждение: <math>[G,G]\trianglelefteq G</math>. Теорема о коммутанте. Пример: <math>[\mathrm S_n,\mathrm S_n]=\mathrm A_n</math> (доказ.-во только включения <math>\subseteq</math>). Абелианизация группы <math>G</math>: <math>G^\mathtt{ab}\!=G/[G,G]</math>.
 
<p><u>Теорема о коммутанте.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>H\trianglelefteq G</math>; тогда группа <math>G/H</math> абелева, если и только если <math>[G,G]\subseteq H</math> (и, значит, <math>G/[G,G]</math> абелева).</i></p>
 
<p><u>Теорема о коммутанте.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>H\trianglelefteq G</math>; тогда группа <math>G/H</math> абелева, если и только если <math>[G,G]\subseteq H</math> (и, значит, <math>G/[G,G]</math> абелева).</i></p>
 
<li>Простая группа: <math>|\{H\subseteq G\mid H\trianglelefteq G\}|=2</math>. Примеры: группы <math>\mathrm A_n</math> (<math>n\ge5</math>), <math>\mathrm{SL}(2,K)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}</math> (<math>K</math> — поле, <math>|K|\ge4</math>), <math>\mathrm{SO}(3)</math> простые (без доказ.-ва).
 
<li>Простая группа: <math>|\{H\subseteq G\mid H\trianglelefteq G\}|=2</math>. Примеры: группы <math>\mathrm A_n</math> (<math>n\ge5</math>), <math>\mathrm{SL}(2,K)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}</math> (<math>K</math> — поле, <math>|K|\ge4</math>), <math>\mathrm{SO}(3)</math> простые (без доказ.-ва).
<li>Полупрямое произвед.-е <math>F\underset\pi\leftthreetimes H</math> относ.-но действия <math>\pi</math> (<math>\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))</math>): <math>F\times H</math> с бинарной операцией <math>(f_1,h_1)\,(f_2,h_2)=(f_1\,\pi_{h_1}\!(f_2),h_1\,h_2)</math>.
+
<li>Полупрямое произв.-е <math>F\underset\pi\leftthreetimes H</math> относ.-но действия <math>\pi</math>, где <math>\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))</math>: <math>F\times H</math> с бинарной операцией <math>(f_1,h_1)\,(f_2,h_2)=(f_1\,\pi_{h_1}\!(f_2),h_1\,h_2)</math>.
 
<li>Утверждение: <i><math>\biggl(\!\begin{align}F\underset\pi\leftthreetimes H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп</i>. Пример: <math>\mathrm{AGL}(n,K)\cong(K^n)^+\underset\pi\leftthreetimes\mathrm{GL}(n,K)</math>, где <math>\,\forall\,a\in\mathrm{GL}(n,K),\,z\in K^n\,\bigl(\pi_a(z)=a\cdot z\bigr)</math>.
 
<li>Утверждение: <i><math>\biggl(\!\begin{align}F\underset\pi\leftthreetimes H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп</i>. Пример: <math>\mathrm{AGL}(n,K)\cong(K^n)^+\underset\pi\leftthreetimes\mathrm{GL}(n,K)</math>, где <math>\,\forall\,a\in\mathrm{GL}(n,K),\,z\in K^n\,\bigl(\pi_a(z)=a\cdot z\bigr)</math>.
 
<li><u>Теорема о полупрямом произведении.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>F,H\le G</math>; обозначим через <math>\mathrm{mult}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\exists\,\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))\;\bigl(\mathrm{mult}\in\mathrm{Hom}(F\underset\pi\leftthreetimes H,G)\bigr)\Leftrightarrow\,\forall\,h\in H\;\bigl(h\,F\,h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>, <math>\mathrm{mult}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{mult}=FH</math>;<br>(2) <math>\exists\,\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))\;\bigl(\mathrm{mult}\in\mathrm{Iso}(F\underset\pi\leftthreetimes H,G)\bigr)\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,h\in H\;\bigl(h\,F\,h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>;<br>(3) если <math>|G|<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>\,G=FH</math>" можно заменить на условие "<math>\,|G|=|F|\,|H|</math>".</i></ul>
 
<li><u>Теорема о полупрямом произведении.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>F,H\le G</math>; обозначим через <math>\mathrm{mult}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\exists\,\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))\;\bigl(\mathrm{mult}\in\mathrm{Hom}(F\underset\pi\leftthreetimes H,G)\bigr)\Leftrightarrow\,\forall\,h\in H\;\bigl(h\,F\,h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>, <math>\mathrm{mult}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{mult}=FH</math>;<br>(2) <math>\exists\,\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))\;\bigl(\mathrm{mult}\in\mathrm{Iso}(F\underset\pi\leftthreetimes H,G)\bigr)\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,h\in H\;\bigl(h\,F\,h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>;<br>(3) если <math>|G|<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>\,G=FH</math>" можно заменить на условие "<math>\,|G|=|F|\,|H|</math>".</i></ul>

Текущая версия на 23:00, 10 ноября 2018

Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры

4   Кольца (часть 2)

4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммутат. кольце : ; ; .
  • Утверждение: пусть — обл. цел.-сти, и ; тогда и . Обозн.-е в обл. цел.-сти.
  • Наибольший относ.-но общий делитель и : ; наименьшее относ.-но общее кратное и : ; и опред.-ны с точностью до .
  • Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
  • Главный идеал — идеал вида . Пример неглавн. идеала: в . Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные.
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) ; ; ; ;
    (2) если идеал главный, то , и, если идеал главный, то ;
    (3) если в кольце все идеалы главные, то и существуют, а также .
  • Неприводимые и простые эл.-ты: и .
  • Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если — область главных идеалов, то ;
    (3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
    (4) если — область главных идеалов, то для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) ,
    (у3) — область целостности и (у4) — поле.
4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  • Евклидова норма — такая функция , что относ.-но можно делить с остатком на ненул. эл.-ты и не убывает относ.-но на .
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) в невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в не существует такой бесконечной послед.-сти , что );
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) — область главных идеалов (в частности, кольца и , где — поле, являются областями главных идеалов).
  • Факториальное кольцо — обл. цел.-сти с единств. (с точн.-ю до и перестановок) разложением любого ненул. эл.-та в произвед.-е неприводимых эл.-тов.
  • Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
  • Теорема о факториальности евклидовых колец.
    (1) Пусть — область целостности, в невозможна бесконечная строгая делимость и ; тогда — факториальное кольцо.
    (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца и , где — поле, являются факториальными кольцами).
  • Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и .
4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  • Соотношение Безу для эл.-тов и евклидова кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда, если , то .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах функции Эйлера.
    (1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Производная многочлена: . Правило Лейбница. Пусть — кольцо и ; тогда .
  • Корень кратности многочлена : (). Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
    (2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
    (3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
    такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: , где и , .
  • Теорема о поле частных. Отождествл.-е и . Примеры: , — поле рационал. дробей.

    Теорема о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
    для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Несократимая запись: (, нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: (). Выделение правил. дроби.
  • Примарная дробь: (, нормир., , ). Простейшая дробь: (, нормир., , ).
  • Метод неопределенных коэффиц.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
4.5  Матрицы, столбцы, строки
  • Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо , группа .
  • Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
  • Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями: , , . Утверждение: , , .
  • Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
  • Операторы умн.-я на матрицу между и : — группа по сложению. Теорема об операторах умножения на матрицу.

    Теорема об операторах умножения на матрицу. Пусть — кольцо и ; тогда
    (1) — изоморфизм групп по сложению и, если , то это отобр.-е — изоморфизм колец;
    (2) если — комм. кольцо, то
    (то есть множество операторов умножения на матрицу между и совпадает с множеством линейных операторов между и ).

  • Транспонирование матрицы : . След квадратн. матрицы : . Линейность и . Теорема о свойствах транспонирования и следа.

    Теорема о свойствах транспонирования и следа. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) для любых и выполнено и, если , то ;
    (2) для любых выполнено , а также для любых выполнено .

  • Симметричные и антисимм. матрицы: , .

5   Группы (часть 2)

5.1  Символ Леви-Чивиты и симметрические группы
  • Транспозиции: (). Фундаментальные транспозиции: . Мн.-во инверсий: .
  • Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .
  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа , упорядоченные
    по неубыванию (то есть и ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что .
  • Символ Леви-Чивиты: , если числа попарно различны; иначе . Пример: .
  • Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: ; ().

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это сюръективный гомоморфизм групп;
    (2) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
    (3) для любых выполнено , где — количество циклов четной длины в цикловой записи перестановки ;
    (4) для любых и выполнено .

  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    неупорядоченные наборы длин циклов в цикловой записи перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
  • Задание группы образующими и соотношениями: порождена образ.-ми с соотн.-ми инволютивности, локальности и кос (без док.-ва).
5.2  Определитель матрицы и группы матриц
  • Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Расстановки ладей и .
  • Примеры: — ориентированная площадь, — ориентиров. объем. Лемма об определителе набора столбцов.

    Лемма об определителе набора столбцов. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если среди столбцов есть равные, то ;
    (3) для любых выполнено .

  • Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) — гомоморфизм моноидов по умножению, а также (доказ.-во только );
    (2) для любых и выполнено , а также ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) для любых , , и выполнено .
  • Специальная линейная группа: . Геом. смысл: сохраняет ориент. объем.
  • Аффинная линейная группа: . Геометрический смысл: .
  • Ортогональная группа: . Специальная ортогонал. группа: .
  • Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
  • Изометрии в : (доказ.-во только ). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.

    Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. Отображение — изоморфизм колец, и
    , а также отображение — изоморфизм групп.

5.3  Действия групп на множествах
  • Действие группы на множ.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
  • Примеры: действует на , группы матриц действуют на , группа действует на (где ) умножением слева и на сопряжением.
  • Теорема Кэли. Точное действие: — инъекция. Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем — мн.-во с действием группы .

    Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм групп.

  • -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
  • Орбита точки : (, где ). Множество орбит: — разбиение мн.-ва .
  • Транзитивное действие ( — однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Стабилизаторы платоновых тел в .
  • Свободное действие ( — свободное -мн.-во): . Торсор — однородное свободное -мн.-во: .
  • Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .

    Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, -множество и ; тогда
    (1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть ;
    (2) если , то (и, значит, делит ).

    Лемма Бернсайда. Пусть — группа, -множество и ; тогда .

5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  • Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутренних автоморф.-в: .
  • Центр группы : . Пример: если , то . Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.

    Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро
    есть , его образ есть (и, значит, ), и, кроме того, .

  • Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
  • Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (доказ.-во только включения ). Абелианизация группы : .

    Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).

  • Простая группа: . Примеры: группы (), ( — поле, ), простые (без доказ.-ва).
  • Полупрямое произв.-е относ.-но действия , где : с бинарной операцией .
  • Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
  • Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".