Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Текущая версия на 00:00, 20 сентября 2018

Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы-
вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат
не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж-
дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку
этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь.

Ю.И. Манин. Математика и физика

Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и
становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались
чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих
закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем
и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а
не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.

П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1 Множества, отображения, отношения

1.1 Множества

Логические операции: $\lnot$ — отрицание («не»), $\lor$ — дизъюнкция («или»), $\land$ — конъюнкция («и»), $\Rightarrow$ — импликация («влечет»), $\Leftrightarrow$ — эквивалентность.
Кванторы: $\exists$ — существование («существует»), $\forall$ — всеобщность («для любых»), $\exists !$ — существование и единственность («существует единственный»).
Принадлежность: $\in$ . Равенство множеств: $X=Y\,\Leftrightarrow\,\forall\,z\;\bigl(z\in X\,\Leftrightarrow\,z\in Y\bigr)$ . Включение и строгое включение между множ.-вами: $X\subseteq Y$ и $X\subset Y$ .
Кванторы по элементам множества: $\exists\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)$ и $\forall\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)$ . Задание множества перечислением элементов: $\{\ldots \}$ . Пустое множество: $\varnothing$ .
Выделение подмножества: $\{x\in X\mid p(x)\}$ . Операции над мн.-вами: $\cup$ — объединение, $\cap$ — пересечение, $\setminus$ — разность, $\times$ — прямое произведение.
Теорема об операциях над множествами. Пусть $X,Y,Z$ — множества; тогда
(1) $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$ и $X\cup Y=Y\cup X$ , а также $(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$ и $X\cap Y=Y\cap X$ ;
(2) $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$ и $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)$ ;
(3) если $U$ — множество и $X,Y\subseteq U$ , то $U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)$ и $U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)$ .
Числовые множества: $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$ , $\mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$ ( $n\in \mathbb {N}$ ).
Множество подмножеств мн.-ва $X$ : $2^{X}$ . Прямая степень мн.-ва $X$ ( $n\in \mathbb {N} _{0}$ ): $X^{n}$ . Порядок (количество элементов) мн.-ва $X$ : $|X|$ ( $|X|\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$ ).

1.2 Отображения

Множество отображений, действующих из мн.-ва $X$ в мн.-во $Y$ : $\mathrm {Map} (X,Y)$ . Область отобр.-я $f$ : $\mathrm {Dom} \,f$ . Кообласть отобр.-я $f$ : $\mathrm {Codom} \,f$ . Примеры.
Образ множества $A$ относительно $f$ ( $A\subseteq X$ ): $f(A)$ , прообраз множества $B$ относительно $f$ ( $B\subseteq Y$ ): $f^{-1}(B)$ , образ отображения $f$ : $\mathrm {Im} \,f=f(X)$ .
Сужения отображения $f$ ( $A\subseteq X$ и $f(A)\subseteq B\subseteq Y$ ): $f|_{A}$ и $f|_{A\to B}$ . Сокращенная запись образа: $\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}$ .
Инъекции: $\mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}$ . Сюръекции: $\mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}$ .
Биекции: $\mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)$ . Композиция отображений $g$ и $f$ : $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . Тождественное отображение: $\mathrm {id} _{X}(x)=x$ .
Теорема о композиции отображений. Пусть $X,Y$ — множества и $f\in \mathrm {Map} (X,Y)$ ; тогда
(1) $f\circ \mathrm {id} _{X}=f$ , $\mathrm {id} _{Y}\circ f=f$ и, если $Z,W$ — множества, $g\in \mathrm {Map} (Y,Z)$ и $h\in \mathrm {Map} (Z,W)$ , то $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ ;
(2) если $X\neq \varnothing$ , то $f$ — инъекция, если и только если $\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\bigr)$ ;
(3) $f$ — сюръекция, если и только если $\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)$ ;
(4) $f$ — биекция, если и только если $\exists\,f'\!\in\mathrm{Map}(Y,X)\;\bigl(f'\circ f=\mathrm{id}_X\,\land\,f\circ f'=\mathrm{id}_Y\bigr)$ .
Отображение $f^{-1}$ , обратное к отображению $f$ : $f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X$ и $f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y$ . Пример: взаимно обратные биекции $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)$ и $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)$ .

1.3 Отношения

Множество отношений между множествами $X$ и $Y$ : $\mathrm {Rel} (X,Y)$ . Область отношения $\Delta$ : $\mathrm {Dom} \,\Delta$ . Кообласть отношения $\Delta$ : $\mathrm {Codom} \,\Delta$ . Примеры.
Отношение эквивалентности $\sim$ на $X$ — такое отн.-е между $X$ и $X$ , что $\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\sim x\,\land\,(x\sim y\,\Rightarrow\,y\sim x)\,\land\,(x\sim y\,\land\,y\sim z\,\Rightarrow\,x\sim z)\bigr)$ .
Класс эквивалентности: $[x]_\sim\!=\{\breve x\in X\mid x\sim\breve x\}$ . Утверждение: $x\sim\breve x\;\Leftrightarrow\,[x]_\sim\!=[\breve x]_\sim$ . Фактормножество: $X/{\sim}=\{[x]_\sim\!\mid x\in X\}$ . Трансверсали.
Разбиение $\mathcal P$ множества $X$ — такое подмн.-во в $2^X\!\setminus\!\{\varnothing\}$ , что $\bigcup_{A\in\mathcal P}\!A=X$ и $\forall\,A,B\in\mathcal P\;\bigl(A\ne B\,\Rightarrow A\cap B=\varnothing\bigr)$ . Утверждение: $X/{\sim}$ — разбиение.
Отношение ${\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$ : $x\underset{\scriptscriptstyle f}\sim\breve x\;\Leftrightarrow\,f(x)=f(\breve x)$ . Мн.-во слоев отобр.-я $f$ : $\{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}$ ( $=X/{\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}$ ). Факторотображение $\Biggl(\!\begin{align}X/{\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}&\to\mathrm{Im}\,f\\{[x]_\underset{\scriptscriptstyle f}\sim}\!&\mapsto f(x)\end{align}\Biggr)$ — биекция.
Утверждение: $\sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|$ . Принцип Дирихле. Пусть $X,Y$ — множества и $|X|=|Y|<\infty$ ; тогда $\,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)$ .
Отношение порядка $\preceq$ на $X$ — такое отн.-е между $X$ и $X$ , что $\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\preceq x\,\land\,(x\preceq y\,\land\,y\preceq x\,\Rightarrow\,x=y)\,\land\,(x\preceq y\,\land\,y\preceq z\,\Rightarrow\,x\preceq z)\bigr)$ .
Наименьший эл.-т $a$ мн.-ва $X$ с отн.-ем порядка $\preceq$ : $\forall\,x\in X\;\bigl(a\preceq x\bigr)$ . Единственность наименьшего эл.-та. Наибольший эл.-т мн.-ва с отн.-ем порядка.

2 Группы (часть 1)

2.1 Множества с операцией

Внутренняя $n$ -арная операция на мн.-ве $S$ — отображение, действующее из $S^{n}$ в $S$ (нульарная операция на $S$ — выделенный элемент множества $S$ ).
Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: $\mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}$ .
Изоморфизмы: $\mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)$ . Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: $\mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)$ . Автоморфизмы: $\mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)$ .
Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $S,V,Y$ — множества с $n$ -арной операцией; тогда
(1) для любых $f\in \mathrm {Hom} (S,V)$ и $g\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ выполнено $g\circ f\in \mathrm {Hom} (S,Y)$ ;
(2) для любых $f\in \mathrm {Iso} (S,V)$ выполнено $f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)$ .
Операции над подмножествами: $o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}$ . Примеры: $\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$ , $\mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ .
Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: $\forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}$ ; коммутативность (абелевость): $\forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}$ .
Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.
Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть $S$ — полугруппа, $n\in \mathbb {N}$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ ; тогда значение выражения $s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}$ не зависит от
расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций $\mathrm {Func} (X,M)$ , моноиды отображений $\mathrm {Map} (X)$ , моноиды слов $\mathrm W(X)$ и $\mathrm W(X)^\mathtt{ab}$ .
Обратимые элементы: $M^\times\!=\{m\in M\mid\exists\,m'\!\in M\;\bigl(m'\,m=m\,m'=1\bigr)\}$ . Единственность обратного элемента. Утверждение: $M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }$ .
Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа $M^{\times }$ ( $M$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: $G\cong J$ .
Примеры: числовые группы, группы остатков $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ и $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$ , группы функций $\mathrm {Func} (X,G)$ , группы биекций $\mathrm {Bij} (X)$ , свободные группы $\mathrm F(X)$ .
Группа изометрий пр.-ва $\mathbb {R} ^{n}$ : $\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{g\in\mathrm{Bij}(\mathbb R^n)\mid\forall\,v,w\in\mathbb R^n\,\bigl(\|g(v)-g(w)\|=\|v-w\|\bigr)\}$ , где $\|(v^1,\ldots,v^n)\|=\!\sqrt{(v^1)^2+\ldots+(v^n)^2}$ .
Симметрические группы: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {Bij} (\{1,\ldots ,n\})$ . Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
Лемма о циклах. Пусть $l,m,n\in \mathbb {N}$ , $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}$ , числа $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k$ попарно различны и $u\in \mathrm {S} _{n}$ ; тогда
$(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$ , а также $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$ .
Степени эл.-та группы. Мультипликативные обозначения: $g\,h$ , $1$ , $g^{-1}$ и $g^{n}$ . Аддитивные обозн.-я в абелевой (коммутативной) группе: $a+b$ , $0$ , $-a$ и $n\,a$ .

2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы

Подгруппа: $H\le G\,\Leftrightarrow\,H\,H\subseteq H\,\land\,1\in H\,\land\,H^{-1}\!\subseteq H$ . Подгруппа, порожд. мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle$ — наименьш. относ.-но $\subseteq$ подгруппа, содержащая $D$ .
Утверждение: $\langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\!\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}$ (в частности, $\langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}$ ). Пример: $(\mathbb Z/n)^+\!=\langle1\rangle$ .
Отношения ${\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и ${\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ ( $H\leq G$ ): $g\,{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H$ ( $\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H$ ) и $g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\,{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H$ ( $\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}$ ). Утверждение: $[g]\!_\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\!=gH$ и $[g]_\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\!\!=Hg$ .
Множества классов смежности: $G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и $H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ . Теорема Лагранжа. Индекс: $|G:H|=|G/H|$ .
Теорема Лагранжа. Пусть $G$ — группа, $|G|<\infty$ и $H\leq G$ ; тогда $|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|$ (и, значит, $|H|$ делит $|G|$ ).
Порядок элемента: $\mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}$ ( $\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ ). Утверждение: пусть $n=\mathrm {ord} (g)<\infty$ ; тогда $\{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z}$ .
Лемма о порядке элемента. Пусть $G$ — группа и $g\in G$ ; тогда $\mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |$ и, если $|G|<\infty$ , то $\mathrm {ord} (g)$ делит $|G|$ и $g^{|G|}\!=1$ .
Теорема об обратимых остатках.
(1) Пусть $n\in \mathbb {N}$ и $a\in \mathbb {Z} /n$ ; тогда $\mathrm{ord}_{(\mathbb Z/n)^+\!}(a)=\frac n{\gcd(a,n)}$ .
(2) Пусть $n\in \mathbb {N}$ ; тогда $(\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}$ (в частности, если $p\in \mathbb {P}$ , то $(\mathbb {Z} /p)^{\times }\!=(\mathbb {Z} /p)\!\setminus \!\{0\}$ ).
(3) Пусть $p\in \mathbb {P}$ , $a\in \mathbb {Z}$ и $p$ не делит $a$ ; тогда $a^{p-1}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)$ (это малая теорема Ферма).
Циклическая группа: $\exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}$ . Примеры: $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ для любых $n\in \mathbb {N}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ , $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$ для некоторых $n\in \mathbb {N}$ . Теорема о циклических группах.
Теорема о циклических группах. Пусть $G$ — циклическая группа и $n=|G|$ ; тогда, если $n<\infty$ , то $G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ , и, если $n=\infty$ , то $G\cong \mathbb {Z} ^{+}$ .

2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

Нормальная подгруппа: $H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}$ . Пример: если $|G:H|=2$ , то $H\trianglelefteq G$ .
Сопряжение при помощи эл.-та $g$ : ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ . Отнош.-е сопряженности: ${\bigl (}$ $x$ и ${\breve {x}}$ сопряжены ${\bigr )}$ $\;\Leftrightarrow \;$ $\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}$ . Классы сопряженности.
Нормальная подгруппа, порожд. мн.-вом $T$ : $(T)$ — наименьш. относ.-но $\subseteq$ нормальная подгруппа, содержащая $T$ . Утверждение: $(T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }$ .
Ядро и образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)$ и $\mathrm {Im} \,f$ . Утверждение: $\mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq G$ и $\,\mathrm {Im} \,f\leq J$ . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда
(1) для любых $j\in J$ и $g_{0}\in f^{-1}(j)$ выполнено $f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f$ ;
(2) $f$ — инъекция, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}$ .
Факторгруппа: $G/H$ с фактороперациями ( $H\trianglelefteq G$ ). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ .
Теорема о гомоморфизме. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда $G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Задание групп образующими и соотношениями ( $D$ — множество, $T\subseteq\mathrm F(D)$ ): $\langle D\mid T\rangle=\mathrm F(D)/(T)$ . Пример: $\langle d_1,d_2\!\mid d_1^2,d_2^2,(d_1d_2)^2\rangle\cong(\mathbb Z/8)^\times$ .
Прямое произведение групп: $F\times H$ с покомпонентными операциями. Утверждение: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизмы групп.
Теорема о прямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$ ; обозначим через $\mathrm {mult}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ ; тогда
(1) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ , $\mathrm {mult} ^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} =FH$ ;
(2) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ ;
(3) если $|G|<\infty$ , то в пункте (2) условие " $G=FH\!$ " можно заменить на условие " $|G|=|F|\,|H|\!$ ".

3 Кольца (часть 1)

3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами

Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
Примеры: числовые кольца, кольца остатков $\mathbb Z/n$ , кольца функций $\mathrm{Func}(X,R)$ . Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца $R$ : $R^{+}$ и $R^{\times }$ .
Подкольцо: $S\le R\,\Leftrightarrow\,S+S\subseteq S\,\land\,0\in S\,\land\,-S\subseteq S\,\land\,S\,S\subseteq S\,\land\,1\in S$ . Подкольцо, порожд. мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle$ (в частности, $S[r]=\langle S\cup\{r\}\rangle$ ).
Идеал: $I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow\,I+I\subseteq I\,\land\,0\in I\,\land\,R\;I\,R\subseteq I$ . Идеал, порожденный мн.-вом $T$ : $(T)$ . Пример: если $R$ — коммут. кольцо и $r\in R$ , то $(r)=rR$ .
Ядро и образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,f$ . Факторкольцо: $R/I$ с фактороперациями ( $I\trianglelefteq R$ ). Корректность. Теорема о гомоморфизме.
Теорема о гомоморфизме. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$ ; тогда $R/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Прямое произв.-е колец: $Q\times S$ с покомпонент. операциями. Характеристика кольца $R$ : $\mathrm{char}\,R=\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)$ , если $\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)<\infty$ ; иначе $\mathrm{char}\,R=0$ .
Кольцо без делителей нуля: $\forall\,r,s\in R\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(r\,s\ne0\bigr)$ и $R\neq \{0\}$ . Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: $K^{\times }\!=K\!\setminus \!\{0\}$ .
Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p$ , где $p\in \mathbb {P}$ . Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.

3.2 Кольца многочленов

Множество многочленов от переменной $x$ над кольцом $R$ : $R[x]=\mathrm{FinFunc}(\mathrm W(x),R)$ ; общий вид многочлена: $f_nx^n+\ldots+f_0$ ; операции в $R[x]$ .
Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в $R[x]$ ( $R$ — коммут. кольцо): $g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)$ .
Лемма о степени многочлена. Пусть $R$ — кольцо без делителей нуля и $f,g\in R[x]$ ; тогда $\deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g$ , а также $R[x]^{\times }\!=R^{\times }$ .
Неприводимые многочл. ( $R$ — обл. цел.): $\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\}$ . Пример: если $K$ — поле и $\deg f=1$ , то $f\in\mathrm{Irr}(K[x])$ .
Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f,g\in R[x]$ и старший коэффициент многочлена $f$ обратим; тогда
существуют единственные такие многочлены $q,t\in R[x]$ , что $g=q\,f+t$ и $\deg t<\deg f$ (обозначения: $q=g\;\mathrm{div}\,f$ и $t=g\;\mathrm{mod}\,f$ ).
Кольцо остатков по модулю многочлена $f$ ( $K$ — поле, $f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}$ ): $K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}$ . Утверждение: $K[x]/(f)\cong K[x]/f$ .
Сопост.-е многочлену полиномиал. функции ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {pf} _{A}\colon R[x]&\to \mathrm {Func} (A,A)\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto {\bigl (}a\mapsto f_{n}a^{n}+\ldots +f_{0}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм ( $R\leq A$ , $\forall\,a\in A,\,r\in R\;\bigl(a\,r=r\,a\bigr)$ ).
Сокращенная запись: $f(a)={\bigl (}\mathrm {pf} _{A}(f){\bigr )}(a)$ . Корень $a$ многочлена $f$ в кольце $A$ : $f(a)=0$ . Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.
Теорема Безу. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f\in R[x]$ и $r\in R$ ; тогда $f\;\mathrm {mod} \;(x-r)=f(r)$ (и, значит, $(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0$ ).

Теорема о количестве корней многочлена. Пусть $R$ — область целостности и $f\in R[x]\!\setminus \!\{0\}$ ; тогда $|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\leq \deg f$ , а также,
если $|R|=\infty$ , то существует такой элемент $r\in R$ , что $f(r)\ne0$ (и, значит, $\mathrm{pf}_R$ — инъекция).
Теорема Виета. Пусть $R$ — кольцо, $n\in \mathbb {N}$ , $f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R$ и $x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)$ ; тогда для
любых $k\in\{0,\ldots,n-1\}$ выполнено $f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}$ (в частности, $f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n$ и $f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)$ ).

3.3 Поле комплексных чисел

Кольцо комплексных чисел: $\mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=-1$ . Утверждение: $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ . Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ .
Вещественная и мнимая части: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta$ . Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i}$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}$ .
Теорема о свойствах комплексных чисел.
(1) Для любых $a\in \mathbb {C}$ выполнено $a\,{\overline {a}}=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {C}$ — поле).
(2) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb {C}$ ).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Группа $\mathrm S^1$ : $\mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}$ . Утверждение: $\mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1$ . Экспонента от компл. числа $a$ : $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}$ , а также $\mathrm e^0\!=1$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$ .
(2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ выполнено $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i$ (и, значит, $\mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}$ и $\,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z$ ).
Тригонометрическая запись: $r\,(\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i)=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$ . Группа корней $n$ -й степ. из $1$ : $\mathrm C_n\!=\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=1\}=\{1,\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i},\ldots,\mathrm e^{\frac{2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\langle\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i}\rangle$ .
Первообразные корни $n$ -й степени из $1$ . Корни $n$ -й степени из $r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$ : $\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\}=\{\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i},\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi}n\mathrm i},\ldots,\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i}\,\mathrm C_n$ .
«Основная теорема алгебры»: $\mathbb {C}$ — алгебраически замкнутое поле, то есть $\forall\,f\in\mathbb C[x]\!\setminus\!\mathbb C^\times\;\exists\,a\in\mathbb C\;\bigl(f(a)=0\bigr)$ (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
(1) Пусть $f\in \mathbb {R} [x]$ , $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$ ; тогда $f(\alpha+\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,f(\alpha-\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,(x^2-2\alpha\,x+\alpha^2+\beta^2)\,|\,f$ .
(2) $\mathrm {Irr} (\mathbb {R} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0\}\cup \{a\,x^{2}+b\,x+c\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,\,b^{2}-4a\,c<0\}$ и $\,\mathrm{Irr}(\mathbb C[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb C,\,a\ne0\}$ .

3.4 Тело кватернионов

Кольцо кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$ , а также $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$ , $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$ , $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$ .
Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k}$ .
Чистые кватернионы: $\mathbb H_\mathrm{vect}\!=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}(v)=0\}$ . Скалярное произвед.-е, векторное произвед.-е, норма в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ : $(v\!\mid\!w)$ , $v\times w$ , $\|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}$ .
Утверждение: пусть $v,w\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ ; тогда $\,v\,w=-(v\!\mid\!w)+v\times w$ . Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\|\mathrm {Im} (a)\|^{2}}}$ .
Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых $a\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {H}$ — тело).
(2) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — антиавтоморфизм тела $\,\mathbb {H}$ ).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Группа $\mathrm {S} ^{3}$ : $\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}$ . Утверждение: $\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3$ . Экспонента от кватерниона $a$ : $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b$ , а также $\mathrm e^0\!=1$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$ .
(2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ и таких $u\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ , что $\|u\|=1$ , выполнено $\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u$ (и, значит, $\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid\varphi\in[0;\pi],\,u\in\mathbb H_\mathrm{vect},\,\|u\|=1\}$ ).
Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
(1) Пусть $\varphi \in \mathbb {R}$ ; тогда $\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)$ — поворот на угол $\varphi$ против часовой стрелки вокруг нуля.
(1') $\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}$ (доказательство только включения $\,\supseteq$ ).
(2) Пусть $\varphi \in \mathbb {R}$ , $u\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ и $\|u\|=1$ ; тогда $\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)$ — поворот на угол $2\varphi$ против час. стрелки вокруг оси с напр. вектором $u$ .
(2') $\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}$ (доказательство только включения $\,\supseteq$ ).