Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 84: Строка 84:
 
<h5>10.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5>
 
<h5>10.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5>
 
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — вект. пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>.
 
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — вект. пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>.
<li>Примеры: <math>K</math>-алгебры <math>\mathrm{Func}(X,K)</math>, <math>K[x]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>, <math>K[a]</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>, <math>\mathrm C^0\!(X,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> и <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением.
+
<li>Примеры: <math>\mathrm{Func}(X,K)</math>, <math>K[x]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>, <math>\mathrm C^0\!(X,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. Структурные константы алгебры: <math>m^i_{j_1,j_2}\!\!=(e_{j_1}e_{j_2})^i</math>.
<li>Структурные константы алгебры: <math>m^i_{j_1,j_2}\!\!=((e_{j_1}e_{j_2})^e)^i</math>. Утверждение: <i>массив <math>\bigl(m^i_{j_1,j_2}\bigr)_{1\le i,j_1,j_2\le\dim A}</math> однозначно определяет умножение в алгебре <math>A</math></i>.
+
 
<li>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъект. гомоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb R)\,\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math>.
 
<li>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъект. гомоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb R)\,\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math>.
 
<p><u>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство<br>над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></p>
 
<p><u>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство<br>над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></p>
 
<li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math> и <math>A\ne\{0\}</math>. Примеры: <math>K</math>, <math>K(x)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры с делением <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> и алгебра октонионов (октав) <math>\mathbb O</math>.
 
<li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math> и <math>A\ne\{0\}</math>. Примеры: <math>K</math>, <math>K(x)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры с делением <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> и алгебра октонионов (октав) <math>\mathbb O</math>.
<li>Теорема Фробениуса: пусть <math>A</math> — ассоц. <math>\mathbb R</math>-алгебра с делением и <math>\dim A<\infty</math>; тогда <math>A\cong\mathbb R\,\lor\,A\cong\mathbb C\,\lor\,A\cong\mathbb H</math> (без док.-ва; см. п. 2 в § 4 главы 4 в [4]).
 
 
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умножение в <math>K[M]</math>: свертка.
 
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умножение в <math>K[M]</math>: свертка.
<li>Тензорное произв.-е полилин. форм: <math>(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}')=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_1',\ldots,v_{k'}')</math>. Билинейность и внешняя ассоц.-сть операции <math>\otimes</math>.
 
<li>Базис в пространстве <math>\mathrm{Multi}_kV</math>: <math>\{e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\mid j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. Разложение формы по базису: <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}</math>.
 
<li>Обозначение: <math>\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!=\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})</math>. Пример: <math>(\mathrm{vol}^e)_{j_1,\ldots,j_n}\!\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}</math>. Преобраз.-е при замене базиса: <math>\omega_{\tilde j_1,\ldots,\tilde j_k}\!=\!\!\!\sum_{1\le l_1,\ldots,l_k\le n}\!\!\!(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_k})^{l_k}\,\omega_{l_1,\ldots,l_k}</math>.
 
<li>Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathrm{Multi}(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathrm{Multi}_kV</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Multi}(V)</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math></i>.
 
 
<li>Алгебра многочленов от свободных переменных: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math>. Степень. Однородные многочлены.
 
<li>Алгебра многочленов от свободных переменных: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math>. Степень. Однородные многочлены.
<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}\!&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>;<br>(2) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> изоморфизм из пункта (1) отображает пространство однородных многочленов степени <math>k</math> в пространство <math>\mathrm{Multi}_kV</math>.</i>
 
 
<li>Алгебра многочленов от коммут. перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{j_k}</math> (<math>j_1\le\ldots\le j_k</math>). Степень. Однор. многочлены.
 
<li>Алгебра многочленов от коммут. перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{j_k}</math> (<math>j_1\le\ldots\le j_k</math>). Степень. Однор. многочлены.
 
<li>Алгебра многочленов от антикоммут. перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1\otimes x_1,\ldots,x_n\otimes x_n\}\bigr)</math>.</ul>
 
<li>Алгебра многочленов от антикоммут. перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1\otimes x_1,\ldots,x_n\otimes x_n\}\bigr)</math>.</ul>

Версия 23:00, 15 января 2018

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры

8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

8.1  ¯-Билинейные формы
  • Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
  • Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
  • Матрица Грама (): . Форма в координ.-х (): .
  • Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
  • Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
  • Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: и .
  • Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
  • Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
8.2  ¯-Квадратичные формы
  • Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
  • ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
  • Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующие факты:
    — симметричная билинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем
    следующие факты: — полуторалинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , , .
  • Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
  • Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
  • Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
  • Топологич. невырожденность ( или , — нормир. вект. пр.-во, ): — биекция.
  • Пример: или , и ; тогда топологич. невырождена (без док.-ва).
  • Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
  • Нахождение координат вектора при помощи невырожд. формы: . Теорема о базисах и невырожденных формах.

    Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , ,
    и ; тогда , если и только если и форма невырождена.

  • Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополн.-е: .
  • Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
    (1) , , и ;
    (2) если и форма невырождена, то , а также и ;
    (3) и, если , то форма невырождена;
    (4) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : ).
8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  • Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогонал. коорд. (): .
  • Ортонормированный базис ( или ): — диагональн. матрица с на диагонали.
  • Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
    тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор).
  • Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

    Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
    (2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).

    Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
    (1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
    (2) если или , то сущ. такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали.

  • Утверждение: пусть , , форма невырождена и ; тогда .
  • Теорема об определителе матрицы Грама. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , , ,
    , , и , а также форма невырождена; обозначим через
    вектор ; тогда .
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
    и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
    матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
    обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено и ,
    а также (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
  • Ортогонал. системы функций: и (), (), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

9   Геометрия в векторных пространствах над или

9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  • Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: и .
  • Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: и .
  • Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть или , — вект. пр.-во над и ; тогда
    (1) если и , то и, если , то форма невырождена и ;
    (2) если , то , если и только если ;
    (3) если и , то , если и только если .
  • Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
    для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если .
  • Индексы инерции формы : и .
  • Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
    (1) (и, значит, число не зависит от базиса );
    (2) (и, значит, число не зависит от базиса );
    (3) .
  • Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — векторные пространства над полем , ,
    и ; тогда , если и только если , и .
  • Сигнатура формы : (или ). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
9.2  Предгильбертовы пространства
  • Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
  • Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
  • Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
  • Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
    (1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
    (2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
    (3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля).
  • Метрика: . Расст. между подмн.-вами: . Теорема о расстояниях и проектировании.

    Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть — предгильбертово пространство и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) если , то для любых выполнено ;
    (3) если , то для любых и выполнено и (это нерав.-во Бесселя).

  • Метод наименьших квадратов: замена системы , где , и , на систему .
  • Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
  • Псевдоевклидовопсевдоунитарное пр.-во сигнатуры — кон.-мерн. вект. пр.-во над с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры .
9.3  Ориентация, объем, векторное произведение
  • Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
  • Ориентация кон.-мерн. вект. пр.-ва над — выбор элемента множества . Знак набора векторов: .
  • Теорема о знаке базиса и формах объема. Мн.-во положит. форм объема в вект. пр.-ве с ориентацией: , где .

    Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — вект. простр.-во с ориентацией и ; тогда .

  • Каноническая форма объема в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
  • Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.

    Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
    и, если попарно ортогональны, то .

  • Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
  • Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то .
  • Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
  • Векторное произведение в коорд.-х: . Теорема о векторном произведении.

    Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
    (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
    (2) и .

10   Алгебры

10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • -Алгебра — вект. пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из .
  • Примеры: , , , , ; -алгебры , , , . Структурные константы алгебры: .
  • Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъект. гомоморфизмы -алгебр: и .

    Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство
    над полем , получающееся из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм алгебр с .

  • Алгебра с делением: и . Примеры: , ; -алгебры с делением , и алгебра октонионов (октав) .
  • Моноидная алгебра ( — моноид): ; общий вид эл.-та: (); умножение в : свертка.
  • Алгебра многочленов от свободных переменных: . Одночлены: . Степень. Однородные многочлены.
  • Алгебра многочленов от коммут. перем.: . Одночлены: (). Степень. Однор. многочлены.
  • Алгебра многочленов от антикоммут. перем.: .
10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  • -Алгебра Ли — -алгебра, умножение в которой антисимметрично () и удовлетворяет тождеству Якоби ().
  • Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : вект. простр.-во с операцией . Утверждение: алгебра — алгебра Ли.
  • Примеры: , , с векторным умножением — алгебра Ли, так как в алгебре Ли .
  • Матричные алгебры Ли: , , , , .
  • Утверждение: и (здесь или ), а также , , .
  • Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы -алгебр Ли: , и .

    Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и -алгебра Ли; обозначим через векторное пространство над полем , получающееся
    из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — гомоморфизм алгебр Ли.

  • Алгебра дифференцирований -алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
  • Пример: пусть — открытое подмножество в и ; тогда — дифференцирование алгебры .