Алгебра phys 2 осень 2017 — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 16: | Строка 16: | ||
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.<br><br> | [5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.<br><br> | ||
− | <font size="3"><b><u>Содержание | + | <font size="3"><b><u>Содержание третьего семестра курса алгебры</u></b></font> |
<h3>3 Билинейная и полилинейная алгебра</h3> | <h3>3 Билинейная и полилинейная алгебра</h3> | ||
Строка 42: | Строка 42: | ||
<ul><li>3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа | <ul><li>3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа | ||
<li>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</ul> | <li>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</ul> | ||
− | <h5>3.7 Многообразия (часть 2)</h5><br> | + | <h5>3.7 Многообразия (часть 2)</h5> |
+ | <ul><li>3.7.1 Тензорные поля, дифференциальные формы, ориентация многообразия | ||
+ | <li>3.7.2 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</ul><br> | ||
[[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]] | [[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]] | ||
− | [[Алгебра_phys_2_ноябрь–декабрь|<font size="3"><b>Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]] | + | [[Алгебра_phys_2_ноябрь–декабрь|<font size="3"><b>Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br> |
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Информация об экзамене</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <h5>Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра</h5> | ||
+ | <ol><li>Тензорное произведение пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. | ||
+ | <li>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения. | ||
+ | <li>Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов. | ||
+ | <li>Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах. | ||
+ | <li>Тензоры типа <math>(p,q)</math>. Примеры тензоров типа <math>(p,q)</math>. Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа <math>(p,q)</math>. | ||
+ | <li>Тензоры типа <math>(p,q)</math> в координатах. Преобразование кооординат тензоров. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре. | ||
+ | <li>Тензоры с пропусками индексов. Кронекерово произведение матриц. Перестановка компонент тензоров. | ||
+ | <li>Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности. | ||
+ | <li>Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание и подъем индекса. Опускание и подъем индекса в координатах. | ||
+ | <li>Симметрическая степень. Внешняя степень. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. | ||
+ | <li>Операторы симметризации и альтернирования. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведение векторов. | ||
+ | <li>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. | ||
+ | <li>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора. | ||
+ | <li>Симметрическое и внешнее произведение тензоров. Симметрическое и внешнее произведение тензоров в координатах. | ||
+ | <li>Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. | ||
+ | <li>Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. | ||
+ | <li>Каноническая форма объема. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. | ||
+ | <li>Векторное произведение. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении. | ||
+ | <li>Оператор Ходжа. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. | ||
+ | <li>Теорема о матричной группе Лоренца. Матричная специальная ортохронная группа Лоренца. Бусты и повороты. | ||
+ | <li>Пространство Минковского. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. | ||
+ | <li>Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензорные поля типа <math>(p,q)</math>. Тензорные поля в координатах. Преобразование координат тензорных полей. | ||
+ | <li>Дифференциальные формы. Дифференциальные формы в координатах. Алгебра дифференциальных форм. Теорема о внешнем дифференциале. | ||
+ | <li>Внешний дифференциал в координатах. Замкнутые и точные формы. Ориентация многообразия. Положительные системы координат. | ||
+ | <li>Метрический тензор. Римановы и псевдоримановы многообразия. Дифференциальные операции на псевдоримановых многообразиях с ориентацией. | ||
+ | <li>Символы Кристоффеля. Ковариантная производная. Длина кривой. Условие на геодезическую кривую. Тензоры Римана и Риччи. Скалярная кривизна.</ol> | ||
+ | |||
+ | <h5>Правила проведения экзамена</h5> | ||
+ | <ul><li>В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список<br>вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса, так как их будет<br>можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). | ||
+ | <li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса на специальном<br>столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 13, второй номер будет от 14 до 26) и затем<br>начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к<br>«столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса. | ||
+ | <li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны). | ||
+ | <li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй<br>половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. | ||
+ | <li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul> |
Текущая версия на 23:00, 7 января 2018
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/1.
Преподаватель практики у подгруппы 201/2: Максим Владимирович Карев.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/2.
Дополнительная литература
[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
Содержание третьего семестра курса алгебры
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
- 3.1.1 ¯-Билинейные формы
- 3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- 3.1.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
- 3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
3.2 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 1)
- 3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
- 3.2.2 Предгильбертовы пространства
3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
- 3.3.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
- 3.3.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
- 3.3.3 Спектральная теория в унитарных пространствах
- 3.3.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
- 3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- 3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- 3.4.3 Операции над тензорами
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
- 3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- 3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
- 3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- 3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
3.7 Многообразия (часть 2)
- 3.7.1 Тензорные поля, дифференциальные формы, ориентация многообразия
- 3.7.2 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры
Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры
Информация об экзамене
Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра
- Тензорное произведение пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения.
- Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов.
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
- Тензоры типа . Примеры тензоров типа . Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа .
- Тензоры типа в координатах. Преобразование кооординат тензоров. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
- Тензоры с пропусками индексов. Кронекерово произведение матриц. Перестановка компонент тензоров.
- Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
- Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание и подъем индекса. Опускание и подъем индекса в координатах.
- Симметрическая степень. Внешняя степень. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
- Операторы симметризации и альтернирования. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведение векторов.
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
- Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
- Симметрическое и внешнее произведение тензоров. Симметрическое и внешнее произведение тензоров в координатах.
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
- Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
- Каноническая форма объема. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.
- Векторное произведение. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
- Оператор Ходжа. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
- Теорема о матричной группе Лоренца. Матричная специальная ортохронная группа Лоренца. Бусты и повороты.
- Пространство Минковского. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
- Расслоение тензоров типа . Тензорные поля типа . Тензорные поля в координатах. Преобразование координат тензорных полей.
- Дифференциальные формы. Дифференциальные формы в координатах. Алгебра дифференциальных форм. Теорема о внешнем дифференциале.
- Внешний дифференциал в координатах. Замкнутые и точные формы. Ориентация многообразия. Положительные системы координат.
- Метрический тензор. Римановы и псевдоримановы многообразия. Дифференциальные операции на псевдоримановых многообразиях с ориентацией.
- Символы Кристоффеля. Ковариантная производная. Длина кривой. Условие на геодезическую кривую. Тензоры Римана и Риччи. Скалярная кривизна.
Правила проведения экзамена
- В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список
вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций иили подробный план курса, так как их будет
можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). - Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 13, второй номер будет от 14 до 26) и затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
«столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса. - Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны). - После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. - При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).